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出版者:Wiley

作者:Pijush K. Ghosh

出品人:

页数:264

译者:

出版时间:2008-3-21

价格:USD 165.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780470823071

丛书系列:

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几何形状描述的数学理论：从经典到现代的深度探索 本书导读： 《几何形状描述的数学理论》是一部旨在为读者提供一个全面、深入、且结构严谨的几何形状描述理论框架的专著。它并非仅仅罗列已有的技术或算法，而是致力于揭示这些技术背后的数学原理、逻辑基础以及演变脉络。本书的重点在于建立一种通用的语言和严谨的分析工具，用以精确、高效地量化、表示和比较各种复杂形态的几何信息。 核心内容聚焦： 本书的叙事线索围绕着“描述”这一核心动作展开，将几何形状的描述过程分解为从基础数学结构到高级抽象模型的多个层次。 第一部分：基础数学与离散化（Foundational Mathematics and Discretization） 本部分是全书的基石，重点探讨了将连续的几何实体转化为可计算、可操作的数学对象所必需的工具集。 1. 拓扑学基础在形状分析中的应用： 详细阐述了同调群（Homology Groups）、基本群（Fundamental Groups）以及形变收缩（Retraction）等拓扑概念如何用于捕获形状的“洞”和“连通性”，从而提供一种与尺度、度量无关的本质描述。讨论了持久同调（Persistent Homology）如何量化拓扑特征在不同尺度下的稳定性，为噪声数据的分析打下基础。 2. 度量几何与测地线距离： 探讨了在黎曼流形（Riemannian Manifolds）上的距离定义——测地线（Geodesics）。这部分内容将超越欧几里得空间，关注在曲面上或更一般空间中形状边界的内在距离性质，例如测地线球的构造及其在形状匹配中的应用。 3. 离散化方法与网格理论： 深入分析了如何将复杂的曲面或体元表示为三角剖分、四面体网格或更通用的细胞复形（Cell Complexes）。重点讨论了网格质量的数学判据（如光滑度、形状因子），以及在离散域上保持微分几何属性（如曲率、法向量）的方法，例如有限元方法（FEM）的基础结构在几何建模中的映射。 第二部分：特征提取与不变性理论（Feature Extraction and Invariance Theory） 描述一个形状的关键在于识别那些对特定变换（如旋转、平移、缩放、弯曲）保持不变或可预测变化的特征。 1. 微分几何视角下的局部特征： 严格推导了高斯曲率（Gaussian Curvature）、平均曲率（Mean Curvature）的定义及其在曲面上分布的意义。讨论了曲率的各向异性及其在尖锐特征检测中的作用。引入了主曲率（Principal Curvatures）作为描述局部弯曲度的主要工具。 2. 全局特征的谱理论方法： 这是本书的重点之一。详细阐述了拉普拉斯-贝尔特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator）在紧致黎曼流形上的本征值问题。本书强调，这些本征值（谱特征）提供了一组对刚性运动和同胚变换高度敏感的全局描述符。对本征函数的几何解释，例如它们如何描绘“振动模式”，进行了深入的讨论。 3. 对称性与群论描述： 从群论的角度审视形状的对称性。讨论了点群、晶体群在描述晶体结构或人工对象的对称性中的数学结构。引入了非刚性变换下的“近似不变性”概念，以及如何利用群作用的轨道结构来简化形状的参数空间。 第三部分：形状表示模型与形变分析（Shape Representation Models and Deformation Analysis） 本部分关注如何构建有效的数学模型来存储和比较形状，并分析形状随时间的演化。 1. 参数化表示与坐标系建立： 探讨了如何将复杂的三维形状“展平”到一个二维参数空间（如平面或球面）上，以简化后续的分析。讨论了坐标系选择（如最小扭曲参数化）的数学挑战，以及参数空间中测地线距离的计算方法。 2. 概率模型与随机形状描述： 引入了概率分布来描述形状的不确定性或变异性。重点介绍诸如高斯过程（Gaussian Processes）在表面重建和插值中的应用，以及如何使用形状的概率密度函数（PDF）进行统计形状分析（SSA）。 3. 形变场与度量空间上的分析： 本节专注于描述形状如何从一个状态$S_A$过渡到另一个状态$S_B$。核心内容是计算和分析形变梯度张量（Deformation Gradient Tensor）。此外，本书还将形变空间视为一个特定的度量空间（例如，基于Log-Euclidean框架或Diffeomorphic Mapping），并探讨了该空间上的测地线（即最小能耗的形变路径）的数学性质。 4. 形状比较的距离函数： 比较了不同描述方法下的距离度量，例如：基于特征向量距离的谱距离、基于迭代最近点（ICP）的刚性匹配距离、以及基于最优传输（Optimal Transport，特别是Wasserstein距离）的全局密度分布距离。每种距离函数的数学优劣势和适用场景被进行了细致的剖析。 本书的学术价值与目标读者： 本书的编写力求严谨，避免使用模糊的定性描述，所有概念均建立在坚实的代数、分析和微分几何基础之上。它旨在服务于对形状分析理论有深入探究需求的数学家、计算机科学家、工程师以及物理学家。对于希望从基础原理出发，构建或理解高级形状描述算法的读者而言，本书提供了不可或缺的理论深度和数学工具箱。它强调的不是“如何做”，而是“为什么这样做是合理的”以及“在什么数学约束下这种描述是有效的”。

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让我感到有些困惑的是书中对某些术语的选用和定义，它们似乎更偏向于纯粹的代数几何领域，而非计算几何的常见语境。例如，在描述形状拓扑结构时，作者大量使用了群论和范畴论的概念，这使得即便是对数学稍有涉猎的读者，也需要花费额外的时间去重新校准自己的知识体系。我原本希望这本书能提供一个统一的、适用于不同维度和不同类型形状（比如离散点集、网格、体素）的描述框架。但实际上，这本书的论述似乎是针对欧几里得空间中连续、光滑的几何对象展开的，对于现实世界中那些充满了孔洞、自交、数据稀疏的非完美对象，其理论的适用性存疑。如果一本书的理论框架太过依赖于理想化的数学模型，那么它在处理真实世界数据时的鲁棒性和泛化能力自然会受到限制。因此，在尝试将书中的理论应用于例如医学影像分割或地理信息系统数据分析时，我发现自己需要进行大量的“翻译”和“修正”工作，这极大地削弱了原著的指导意义。

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读完这本书的感受，就像是完成了一次漫长而枯燥的数学马拉松。我对其中关于“不变性”和“特征提取”的部分颇感兴趣，因为在信息检索和模式识别领域，找到对旋转、缩放、形变鲁棒的描述子是至关重要的。然而，作者对这个主题的探讨，总是围绕着复杂的测度理论和高维空间中的距离度量展开。我尝试着去关联一些更具象的例子，比如用这本书里的某个度量标准去比较两张人脸图片的相似性，或者用来区分两种不同植物叶片的形状差异。结果发现，书中的理论框架过于宏大和抽象，缺乏将这些精妙的数学概念与实际数据点进行有效连接的桥梁。理论是完美的，每一个步骤都无懈可击，但当我想把它“翻译”成可执行的代码时，便陷入了迷茫。例如，书中多次提到的黎曼流形上的测地线距离，在实际计算机中如何高效地近似计算？这个问题，这本书并未给出明确的算法或实现思路，只是停留在“理论上是成立的”这个层面。这种理论与实践之间的巨大鸿沟，让这本书的实用价值大打折扣，它更像是对数学美学的一种颂扬，而不是对工程挑战的实用回应。

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这本书的章节安排有一种强烈的“自上而下”的逻辑推进感，这对于习惯于“先看应用，再探原理”的读者来说，无疑是一种挑战。我尤其关注了关于“曲面光滑性”的章节，因为在3D扫描和逆向工程中，原始数据的噪声处理和曲面的重构精度是决定最终产品质量的关键。我希望能找到一些关于如何利用特定的微分算子来最小化曲面能量的实用方法，或者至少是关于如何选择合适的正则化参数来平衡拟合度和光滑度的经验法则。然而，作者似乎对“如何做”不感兴趣，而更专注于“为什么可以做”。他花了大量的篇幅去证明某些能量泛函的变分原理的唯一解的存在性，以及这些解在特定拓扑空间中的良好性质。这种对存在性和唯一性的执着，虽然在数学上令人敬佩，但在工程应用中，我们更需要的是一个足够好且计算效率高的近似解。整本书读下来，我感觉自己像是被迫接受了一次高等数学的强化训练，而非学习一门面向形状描述的具体技术。

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这本书的排版和注释系统也给我留下了深刻印象，它的严谨程度几乎达到了教科书的最高标准。每一个引理、每一个推论都有着清晰的上下文关联，参考文献的引用也极为详尽，显示出作者深厚的学术功底和扎实的文献积累。从这个角度看，它无疑是一部具有高度学术价值的著作。然而，这种极端的严谨性也带来了一个副作用：阅读体验非常“劝退”。书中几乎没有穿插任何视觉辅助材料，比如图示、流程图或者简单的示意性插图，来帮助读者理解那些复杂的空间关系或变换过程。例如，描述一个复杂的高阶微分张量是如何描述局部形状特征的，如果能配上一张直观的图例，理解起来会事半功倍。但在这本书中，所有这些都必须依赖读者在脑海中构建一个完美的、纯粹的数学模型。这种对读者的“心智负担”的忽视，使得这本书更像是一份高度浓缩的理论备忘录，而不是一本旨在启发和教学的专业书籍。对于希望通过阅读获得“顿悟”或“灵感”的读者来说，这本书提供的更多是深度的“理论挖掘”，而非广度的“知识启发”。

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这本号称“形状描述数学”的著作，拿到手里沉甸甸的，光是封面设计就透露着一股严肃的学术气息，但翻开第一页，我立刻被那种直扑面而来的数学严谨性给“劝退”了。它似乎对读者有着极高的门槛要求，每一个定义、每一个定理都仿佛是建立在某种只有专业人士才能理解的抽象基石之上。我原本期待能看到一些与计算机图形学、图像处理中实际应用相关的直观案例，比如如何用数学工具来完美勾勒出一个不规则物体的轮廓，或者如何通过数值方法来分析三维模型的曲率变化。然而，书中充斥的却是大量篇幅的拓扑学、微分几何以及泛函分析的理论推导。每当我想深入了解某个概念时，作者总是不厌其烦地引用更深层次的数学分支作为支撑，使得阅读过程如同攀登一座陡峭的冰山，每一步都需要耗费巨大的精力去理解其背后的逻辑链条，而最终能获得的“形状描述”的实际操作感却少之又少。坦白说，对于一个想快速解决实际工程问题的工程师来说，这本书更像是一本晦涩难懂的“武功秘籍总纲”，而非一本即学即用的“招式手册”。我猜想，这本书的价值更多地体现在为理论研究者提供坚实的数学基础，而非指导具体的建模实践。

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