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isbn号码:9780007247264

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好的，这是一本图书的简介，该书的名称为《GCSE高等数学复习指南》，但其内容将完全不涉及您提到的《GCSE基础数学复习指南》中的任何主题或知识点。 --- 书名： GCSE高等数学复习指南 (GCSE Higher Tier Mathematics Revision Guide) 面向读者： 准备参加GCSE（普通中等教育证书）数学考试，目标定位于高等等级（Higher Tier）的学生。 本书定位： 本指南旨在为志在冲击A至C等级的学生提供全面、深入且高度针对性的复习资源。它完全聚焦于高等等级所涵盖的、比基础等级更复杂、更抽象的数学概念和解题技巧。本书假设读者已经掌握了基础等级所需的所有核心算术、代数和几何知识，并致力于将学习者的技能提升到能够应对最高难度试题的水平。 --- 第一部分：深入代数——超越线性方程 本书的第一部分将引导学生深入研究代数的高级应用，这是高等等级考试中区分高分与中等分数的关键领域。 1. 二次函数与曲线分析 (Quadratic Functions and Curve Sketching): 深入理解根的性质： 不仅是求解二次方程，更重要的是探讨判别式（Discriminant）如何决定根的性质（实数、相等、共轭复数等）。 顶点形式与配方法 (Completing the Square)： 详细解析配方法在确定抛物线顶点坐标、对称轴以及最小/最大值中的核心作用。我们将探讨配方法在代数证明中的应用，例如证明某个表达式恒为正。 坐标几何中的二次函数： 如何利用二次函数模型描述物理或工程中的抛物线轨迹，以及求解两条曲线的交点问题（可能涉及联立方程的复杂情况）。 2. 代数分数与有理函数 (Algebraic Fractions and Rational Functions): 复杂分式的化简与运算： 涵盖涉及多个变量、涉及因式分解后约简的复杂代数分数。 有理方程的求解： 如何识别并处理可能导致“虚假解”的步骤，特别是当分母为零时的情况。 反比例关系与图像： 详细分析$y = k/x$类型的函数图像，包括渐近线（Asymptotes）的确定及其在实际问题建模中的意义。 3. 不等式的高级处理 (Advanced Inequalities): 二次不等式的求解： 使用图形法、关键点分析法求解复杂二次不等式，例如$ax^2 + bx + c > 0$。 涉及绝对值的代数不等式： 系统性地讲解如何处理含有绝对值的方程和不等式，如$|2x - 1| < 5$，并将其解集在数轴上清晰表示。 第二部分：高级几何与三角学 高等等级对几何的考察要求学生能够将代数工具应用于空间和平面图形的分析中。 4. 向量基础与几何应用 (Introduction to Vectors): 向量表示法： 区分标量与向量，掌握基底向量 ($mathbf{i}, mathbf{j}$) 的使用，以及如何进行向量的加减法和标量乘法。 位移与几何图形： 使用向量方法证明平行四边形、三角形中线定理等经典几何结论。例如，使用向量证明一个四边形的中点连线构成平行四边形。 点积（Dot Product，若课程大纲包含）： 引入点积的概念，用于判断向量的垂直性，并在几何背景下计算角度。 5. 圆的几何与代数连接 (Circle Theorems and Algebraic Links): 圆周角定理的深入应用： 解决需要多步推理才能确定角度的复杂图形问题。 圆的方程： 详细解析圆的标准方程 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，以及如何通过配方法从一般形式推导出标准形式。 切线与半径的关系： 利用微积分前的知识（如斜率互为负倒数）来求解与圆相切的直线的方程。 6. 三维三角学与连结 (3D Trigonometry and Connections): 三维空间中的距离与角度： 掌握利用毕达哥拉斯定理在三维立方体或棱柱中计算对角线长度。 正弦、余弦法则的拓展： 确保对斜角三角形的熟练应用，特别是在需要首先确定边长或角度才能继续求解下一部分的问题中。 体积与表面积的复杂计算： 涉及锥体、球体和复合体的体积计算，强调在涉及$pi$和根号的计算中保持精确度直到最后一步。 第三部分：函数、概率与数列 这是高等等级知识体系中难度最高的部分，涉及函数变换、统计推断和序列的模式识别。 7. 函数的变换与反函数 (Transformations and Inverse Functions): 图像的平移、反射与拉伸： 系统学习$f(x) ightarrow f(x pm a)$（水平平移）、$f(x) ightarrow f(x) pm a$（垂直平移）、$f(x) ightarrow af(x)$（垂直拉伸）等变换对图像和函数表达式的影响。 复合函数与反函数： 掌握求一个函数的反函数$f^{-1}(x)$的步骤，并理解函数与其反函数图像关于$y=x$对称的几何意义。 8. 统计推断与误差分析 (Statistical Inference and Error Bounds): 累计频率图与中位数： 如何准确地从累计频率图（Ogive）中估算中位数、四分位数间距，并对数据分布进行描述。 误差范围的严格计算： 深入讲解如何根据测量精度（例如到最近的整数或小数位）计算一个数的上界和下界，并对涉及到四则运算的组合量（如面积或体积）的误差范围进行精确计算。 9. 概率与期望值 (Probability and Expectation): 条件概率 (Conditional Probability)： 详细介绍使用树状图（Tree Diagrams）和两路表（Two-Way Tables）解决涉及“已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率”的复杂问题。 期望值 (Expected Value)： 在涉及金钱或风险的场景中，计算多次试验的期望回报，这要求学生能熟练处理分母不同、概率相加的乘法和加法。 10. 数列进阶 (Sequences Revisited): 二次数列 (Quadratic Sequences)： 识别并找到二次数列的通项公式$T_n = an^2 + bn + c$，这需要利用二阶差分法来确定系数$a, b, c$。 递推关系 (Recurrence Relations)： 理解并应用形式为$T_{n+1} = aT_n + b$的数列定义，并计算后续项。 本书特点总结 本书的每章均包含大量的“挑战性问题”和“高难度陷阱分析”，专门模拟考试中最难的6-9分大题。我们强调多步骤推理和代数精确性，确保学生不仅知道“如何做”，更明白“为什么这样做”是最高效的路径。本书的结构完全围绕高等等级考试的深度和广度设计，是向更高分数迈进的必备工具。 ---

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这本书的“自我诊断”功能设计得极其人性化，完全颠覆了我以往对传统练习册的刻板印象。我通常很讨厌做那些写着“自我测试”但其实答案就在下一页的练习。这本书的结构是这样的：它将知识点拆分得非常细致，每一个小节后面都紧跟着一个“Quick Check”环节。这些小测验的题目量控制得恰到好处，大概在五到六道题之间，足以检验你刚刚学到的知识点是否真正掌握，但又不会让人感到疲劳。更妙的是，它在提供答案的同时，还附带了“常见错误分析”。比如，在计算圆的体积时，很多同学容易混淆半径和直径的使用，这本书就会特别指出：“如果你算出来的答案比预期大很多，请检查你是否错误地将直径代入了公式。”这种预判性的错误指导，比你自己做错题再回头找原因要高效得多。它仿佛有一个经验丰富的老师在你身边，在你犯错之前就给你提了个醒。这种即时反馈和错误预警机制，极大地提高了我的学习效率，让我能够立刻修正思维定式，避免在后续的综合练习中重蹈覆辙。

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我必须得说，这本书的实用性体现在细节的打磨上，特别是对于那些经常被忽略的“单位和度量衡”部分。在我的数学学习生涯中，这是最容易失分却又最让人恼火的部分之一——单位换算简直是个噩梦。这本书在处理这个问题上简直是教科书级别的典范。它没有把单位换算当作一个孤立的章节，而是将其无缝地融入到每一个相关的知识模块中。例如，在讲解速度、距离和时间的关系时，它会专门花篇幅讨论如何将‘千米每小时’换算成‘米每秒’，并且强调了在最终答案中必须附带正确单位的重要性，否则会被扣分。它甚至细致到解释了在不同类型的应用题中，你需要把所有单位统一成国际标准（SI单位）的思维路径。此外，对于体积和表面积的计算，它特意配上了清晰的、彩色的三维模型图示，并标注了长、宽、高的对应关系，这对于那些空间想象能力较弱的学习者来说，无疑是巨大的帮助。这种面面俱到、不放过任何可能失分细节的处理方式，体现了编者对Foundation级别考生实际学习痛点的深刻理解。

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这本书简直是为我这种数学基础薄弱的人量身定做的！我前段时间因为对代数部分感到非常吃力，尤其是那些关于因式分解和解二次方程的题目，每次看到它们就头大。市面上的很多复习资料要么讲得太抽象，要么就是只堆砌题目，完全没有针对性地去剖析难点。但这本书的厉害之处在于它真的能把那些晦涩的概念，用一种近乎“讲故事”的方式讲清楚。比如，它在讲解函数图像的平移和反射时，不是简单地抛出公式，而是结合生活中的实际例子，让我瞬间就明白了为什么那个‘x’要‘+2’或‘-3’。而且，它的例题选择非常巧妙，从最基础的运算到稍微复杂一点的实际应用题，难度梯度过渡得非常自然，让人感觉每完成一章的练习，自己的信心都能提升一个台阶。最让我惊喜的是，它对几何部分的讲解，尤其是欧几里得几何的证明题，简直是救星。它没有直接给出冗长的证明步骤，而是先引导你思考“我们需要证明什么？”、“我们已知什么？”、“中间缺失的逻辑链条在哪里？”，这种引导式的学习方法，彻底改变了我对数学证明的恐惧感。这本书的排版也十分清晰，重点信息用不同的颜色和字体标注出来，查找起来非常方便，不像有些参考书，看着都让人眼花缭乱，学起来效率自然也高。

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作为一名希望冲击高等级（Grade 7及以上）的学生，我发现市面上绝大多数的“基础复习指南”都止步于达到Grade 5或6的水平，它们的内容广度上去了，但深度远远不够。然而，这本《GCSE Foundation Maths Revision Guide》在Foundation级别的内容中，却巧妙地融入了许多Higher Tier的“种子”知识点。这对于我来说太有价值了，因为它让我在巩固基础的同时，也提前接触到了更深层次的概念。例如，在讲解百分比和比例时，它没有停留在简单的增长与衰减计算上，而是引入了简易的复利概念，这在Foundation考试中虽然不常见，但对于理解更高阶的函数增长非常有帮助。再者，它对图形的理解要求也明显高于同类产品。它不仅仅要求你画出正确的抛物线或线性图，更要求你分析图表中斜率和截距的实际意义，甚至是判断在特定区间内函数的增减性。这种对概念的“追根溯源”式的考察，迫使我必须真正理解数学背后的逻辑，而不是仅仅记住公式的死记硬背。对我这种追求卓越的学生来说，这本书提供的不仅仅是复习材料，更像是一套进阶思维训练手册。

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我对这本书的看法，主要集中在它对于考试技巧的深度挖掘上。坦白说，GCSE的数学考试不仅仅是考察你懂不懂知识点，更考验你在有限时间内的应试策略。我之前总是在计算题上浪费太多时间，导致最后几道大题根本来不及做，或者草草了事。这本书在每一章的末尾都设置了一个“时间管理与得分最大化”的专栏，这个部分简直是金玉良言。它会明确指出哪些类型的题目是必得分点，哪些是可以适当放弃的“陷阱题”，并且给出了清晰的步骤来确保我们能稳稳拿下基础分。比如，在处理统计学中的中位数和四分位数问题时，它不仅教你怎么算，还强调了如果数据量很大，应该如何快速定位位置而不是把所有数字排序浪费时间。另一个我非常欣赏的地方是它对“非纯数学”应用题的处理。这类题目往往是区分高分和中等的关键。这本书提供了一套系统性的“翻译”方法，教我们如何把现实世界中的情景（比如预算、利率、建筑比例）准确地转换成数学模型，这种建模能力在其他教材中是很少被如此系统性强调的。这本书不是在教你做题，它是在教你如何“赢得”考试。

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