奥林匹克数学中的几何问题-奥赛经典 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:湖南师大

作者:沈文选//张垚//冷岗松

出品人:

页数:523

译者:

出版时间:2009-5

价格:36.00元

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isbn号码:9787564800260

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数学思维的殿堂：非欧几何与拓扑学导论 内容概要 本书旨在为对数学前沿领域——非欧几何与拓扑学抱有浓厚兴趣的读者，提供一个系统而深入的导引。全书结构严谨，逻辑清晰，从基础概念的建立到高级理论的探索，层层递进，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾读者的理解需求。 第一部分：欧氏几何的边界与非欧几何的诞生 本部分将带领读者回顾经典欧几里得几何的基石，特别是第五公设（平行公设）。我们将详细剖析历史学家和数学家们对该公设的长期困惑与尝试，为引入非欧几何的必然性做铺垫。 第一章：欧氏几何的逻辑体系与局限 1.1 欧氏几何公理体系的重温： 深入探讨欧几里得五大公设的内在联系与独立性。 1.2 第五公设的争议与尝试： 梳理从普罗克洛斯到奥布里·沃利斯（John Wallis）等历代数学家试图证明或修正第五公设的努力及其失败的根本原因。 1.3 几何直觉的挑战： 探讨我们日常生活经验在面对极端空间尺度时可能产生的偏差，为接受抽象的几何模型做心理准备。 第二章：双曲几何的构建与特性 本章聚焦于与欧氏几何截然不同的双曲几何（Lobachevskian Geometry），这是最早被成功建立的非欧几何体系。 2.1 罗巴切夫斯基的开创性工作： 介绍罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）如何通过否定第五公设，提出“过直线外一点有无数条平行线”的假设，并由此构建起完整的几何系统。 2.2 庞加莱圆盘模型（Poincaré Disk Model）： 详细讲解这一最直观的双曲几何模型。我们不仅会描述如何定义“点”和“线”（测地线），更重要的是，会深入分析在这种模型中，角度、距离和三角形内角和的计算方式。 案例分析： 比较双曲三角形与欧氏三角形的内角和差异，以及这种差异如何体现在庞加莱圆盘的边界收缩效应上。 2.3 射影模型与克莱因模型： 对比庞加莱模型与克莱因模型（Klein Model）的异同。重点讨论克莱因模型虽然保持直线是“直线”，但在角度量度上与实际双曲几何的差异，及其在特定应用中的优势。 2.4 双曲几何中的关键定理： 探讨双曲空间中与欧氏几何相对应的定理，例如双曲律的推导，以及“垂线定理”在双曲空间中的表现。 第三章：椭圆几何的重构 本章转向与双曲几何相对的另一种非欧空间——椭圆几何（Elliptic Geometry），即球面几何的推广。 3.1 球面几何的直观基础： 以地球表面为例，解释球面几何中“直线”（大圆）的性质，例如任意两条“直线”必然相交（无平行线）。 3.2 费利克斯·克莱因对椭圆几何的理解： 从射影几何的角度审视球面几何，理解其与双曲几何在数学结构上的对偶性。 3.3 几何性质的对比： 详述椭圆几何中三角形内角和恒大于180度的特性，并探讨其在微分几何中的重要地位。 第二部分：从度量到形变——拓扑学的引入 在非欧几何建立起对“距离”和“角度”概念的重新审视后，本部分将视角提升一个维度，探讨那些与度量无关、仅关注空间“连通性”和“连续形变”的数学分支——拓扑学。 第四章：拓扑学的基本概念与不动点 拓扑学，常被称为“橡皮泥几何学”，是研究空间在连续形变（拉伸、扭曲，但不撕裂、不粘合）下保持不变的性质的学科。 4.1 连续函数与同胚： 严格定义拓扑空间、开集、闭集，并引入“同胚”（Homeomorphism）的概念，阐明拓扑等价的含义。 4.2 拓扑不变量的探索： 介绍早期拓扑学研究的核心问题——寻找在所有同胚变换下保持不变的量。 案例分析： 区分圆环、球面与咖啡杯（马克杯）的拓扑等价性，以及它们与球体的本质区别。 4.3 欧拉示性数（Euler Characteristic）： 介绍欧拉示性数 $chi = V - E + F$ （顶点数 - 边数 + 面数）在多面体和球面上的应用，探讨它如何成为一个基本的拓扑不变量。 第五章：连通性、孔洞与亏格 本章深入探讨拓扑学中描述空间“洞”的特征。 5.1 连通性与路径连通性： 区分完全连通空间和由多个分离部分构成的空间。 5.2 亏格（Genus）的概念： 将亏格定义为空间中“独立孔洞”的数量。详细说明二维流形（如曲面）的分类定理，理解不同亏格的曲面如何通过连续形变相互区分。 5.3 莫比乌斯带的奇妙结构： 深入分析莫比乌斯带（Möbius Strip）作为非定向曲面的构造方法、性质（只有一个面、一条边界），及其在拓扑学中的历史地位。 第六章：布朗运动与流形概念的初步接触 本章将非欧几何与拓扑学进行初步的交汇，引入更高维度的概念。 6.1 流形的定义： 解释“流形”（Manifold）的概念，即在局部看起来像欧氏空间的拓扑空间。重点讨论一维、二维流形（曲线和曲面）的例子。 6.2 黎曼几何的萌芽： 简要介绍黎曼（Bernhard Riemann）如何将非欧几何与微分学结合，奠定了度量几何在弯曲空间中的应用基础。 6.3 拓扑学在现代科学中的展望： 讨论拓扑学在数据分析、网络理论以及理论物理（如弦理论）中的前沿应用，展现其超越纯数学的美感和实用价值。 结语 本书旨在展示几何学并非一成不变的线性发展，而是一个不断自我反思、推翻旧有框架、建立全新世界的壮丽过程。通过理解非欧几何对“直线”和“空间”的重新定义，以及拓扑学对“形变”和“连通性”的抽象化，读者将能更深刻地领悟数学思维的灵活性与创造力。

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这本书的编排逻辑简直是教科书级别的典范。它不像市面上很多奥赛辅导书那样，将各种难度的题目简单地堆砌在一起，而是构建了一个严密的知识体系。从基础的欧几里得几何的公理化基础讲起，逐步深入到仿射几何、射影几何的初步概念，最后过渡到三角学与向量法在解析几何中的灵活运用。每章的难度递进都处理得非常自然，前一章的知识点无缝衔接到下一章，形成了一个完整的知识网络。我尤其喜欢它在每个主题后面设置的“历史回溯与思想演变”小节，这让学习过程不再枯燥，而是充满了探索的乐趣，了解这些数学工具是如何一步步被人类智慧打磨出来的，极大地提升了学习的内驱力。这种结构性的梳理，对于系统性提升几何解题能力，远比零散地刷题要有效得多。

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这本书的排版和印刷质量真的令人印象深刻。纸张厚实，墨迹清晰，即使是复杂的几何图形也能看得非常清楚。装帧设计也很有品味，拿在手里很有分量感，让人觉得这是一本经过精心打磨的专业书籍。我特别欣赏它在处理一些经典定理和证明时的细致入微。很多复杂的步骤都被拆解得非常透彻，配有清晰的图示辅助理解，即便是初学者也能跟上思路。作者在讲解过程中不仅仅是罗列公式，更注重引导读者思考背后的几何直觉和思想方法，这点对于培养真正的几何思维非常有帮助。读起来感觉像是在和一位经验丰富的数学导师对话，他总能在关键时刻给出恰当的启发。这种沉浸式的阅读体验，让我在不知不觉中掌握了不少解题技巧，尤其是那些看似无从下手的问题，通过这本书的指引，思路一下子就打开了。对于准备参加高水平数学竞赛的学生来说，这本书的价值是无可替代的。

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我是一个比较注重实战演练的读者，对于理论部分我通常只是走马观花。但这本书的习题设计完全抓住了我的胃口。它的难度梯度设置非常巧妙，从基础巩固到高阶难题，过渡得水到渠成。而且，不像某些辅导材料，它的习题往往不是那种一眼就能看出套路题型的，而是需要读者进行深入的思考和创造性的联想。每道题后面都附带有详细的“解题提示”区域，这个设计非常人性化，在你卡住的时候提供一个方向性的指引，而不是直接给出答案，保证了独立思考的过程得以完整保留。我感觉，每做完它后面的一组练习题，我的“数学肌肉”都会得到一次有效的拉伸和强化。这本书的实战价值，远远超出了其定价。

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坦率地说，我对市面上很多声称是“奥赛经典”的书籍都抱持着怀疑态度，因为它们往往内容陈旧或者难度设置不合理。然而，这本让我眼前一亮。它的选材非常具有前瞻性，收录的许多例题和习题都来自近些年国际和国内顶级数学竞赛的真题，确保了内容的实用性和挑战性。更难能可贵的是，它不仅仅给出了最终的答案，而是提供了至少两种以上的解题路径——例如，一种是纯粹的传统几何作图法，另一种则是利用坐标系或向量代数的方法进行检验和求解。这种多角度的思考训练，极大地拓宽了我的解题视野，教会我如何根据题目特点选择最高效的工具。对于那些渴望突破瓶颈，冲击更高奖项的选手，这本书提供的思维深度是决定性的。

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阅读这本书的过程，更像是一场智力上的探险，充满了惊喜与挑战。作者的文笔非常精炼且富有张力，尤其在描述那些精巧的几何构造时，简直如同在描绘一件艺术品。我记得有一道关于圆锥曲线的题目，原以为只能用繁琐的代数运算来解决，但书中展示了一种极其优雅的透视图解法，瞬间将复杂问题简化成了一个简单的角度关系。这种“顿悟”的时刻，是阅读这本书最大的乐趣所在。它不仅是知识的传授，更是一种美学的熏陶。它让我重新审视几何学这门学科，认识到几何的魅力远不止于计算，更在于其内在的和谐与对称之美。我强烈推荐给那些对纯数学抱有敬畏之心，并渴望体会数学之美的学习者。

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编书到了这个地步 NB

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几乎是数学联赛二试必读书目

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省一全靠张角定理。

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我的青春

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