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出版者:浙江大学出版社

作者:丁保荣

出品人:

页数:450

译者:

出版时间:2009-4

价格:42.00元

装帧:

isbn号码:9787308066556

丛书系列:

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深入探索：高中数学思维拓展与应用精讲 面向对象： 高中生、数学竞赛爱好者、对高等数学有初步兴趣的初高中衔接阶段学生。 核心理念： 本书旨在超越高中现行课程标准的要求，为渴望在数学领域深耕的读者提供一套系统、深入且富有启发性的思维训练体系。我们着重于培养学生发现问题、分析问题和解决问题的核心能力，尤其关注那些需要创新性思维和综合运用知识的挑战性题目。 --- 第一章：数论的奇思妙想——从基础到进阶的整数世界 本章聚焦于数论这一古老而常新的数学分支，它不仅是数学的基石，更是培养逻辑严密性和抽象思维的绝佳载体。 1.1 整数的可除性与同余理论的基石 基础概念重申与深化： 深入剖析最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的性质，引入欧几里得算法的几何意义和扩展形式（求解不定方程 $ax+by=c$ 的整数解）。 同余关系的应用： 详细阐述模运算的性质，包括加法、乘法、幂运算的性质。重点讲解如何利用中国剩余定理（CRT）求解涉及多个模的同余方程组。理论部分辅以大量关于周期性、循环性的实际问题。 1.2 质数的奥秘与分布规律 质数判定与筛选： 介绍试除法以外的更高效的素性测试方法（如米勒-拉宾测试的原理介绍，尽管不进行复杂计算），以及埃拉托斯特尼筛法的高效实现。 数论函数： 详细讲解欧拉 $phi$ 函数、因子和函数 $sigma(n)$、莫比乌斯 $mu$ 函数的定义、性质及其在容斥原理中的应用。通过实例展示如何计算特定数列中与质数相关的项数。 1.3 丢番图方程的魅力 线性丢番图方程： 结合第一节的扩展欧几里得算法，系统讲解这类方程的通解构造。 费马方程与勾股数： 探讨费马平方和定理的证明思想，并利用参数法生成所有的本原勾股数，深入理解其内在的代数结构。 --- 第二章：代数结构的探索——从函数到群论的萌芽 本章将高中阶段所学的函数、多项式、数列概念提升至更高维度，引入抽象代数的初步概念，为未来学习微积分和抽象代数打下基础。 2.1 多项式的深度挖掘 根的分布与关系： 深入探究韦达定理在高次方程中的推广应用。引入根的判别式，分析实根和复根的数量及性质。 多项式的运算与分解： 重点讲解因式分解在求解复杂方程组中的巧妙运用。介绍多项式除法的新方法（如综合除法、牛顿法求根的迭代思路）。 有理函数与渐近性： 讨论有理函数的性质，包括垂直、水平和斜渐近线的精确求法，并从几何上理解这些特性的物理意义。 2.2 不等式的艺术——构造与转化 基本不等式的变体： 深入分析均值不等式（AM-GM, HM, QM, GM）的适用条件和推广形式。重点讲解如何通过变量代换、加权平均等技巧处理复杂的约束条件。 柯西-施瓦茨不等式的威力： 详细阐述柯西-施瓦茨不等式的两种主要形式（代数形式和向量形式），并通过解析几何的视角展示其几何意义，解决涉及平方和与乘积和的最值问题。 放缩法与构造函数法： 介绍利用函数单调性或凸凹性来构造辅助函数，从而证明复杂不等式的技巧。 2.3 数列的极限思想预备 递推关系的求解： 不仅限于等差、等比数列，重点分析二阶线性常系数齐次递推数列的通项公式求解（特征方程法），并扩展到非齐次方程的求解思路。 数列的收敛性直观理解： 虽然严格的极限定义在本书范围外，但本节将通过图形和性质讨论数列有界性和单调性如何保证其存在一个“稳定点”（极限）。 --- 第三章：几何的精确表达——解析几何与空间想象力 本章旨在将几何直觉转化为代数语言，并从二维提升至三维，训练读者在抽象空间中进行精确计算的能力。 3.1 解析几何的精炼与深化 圆锥曲线的统一方程： 深入探讨二次型判别式 ($Delta = B^2 - 4AC$) 如何统一判断曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线）。 切线、法线与极线： 讲解如何利用导数（仅作概念引入，不要求严格计算）或中点弦公式快速求出圆锥曲线的切线方程。重点讲解极线理论在“过焦点”和“过定点”问题中的应用。 向量在平面几何中的应用： 使用向量的内积和外积（仅需理解其几何意义，如面积、垂直性）来简洁地解决角度、距离和共线问题。 3.2 立体几何的逻辑构建 空间向量法： 详述如何建立空间直角坐标系，并将点、线、面的方程转化为向量形式。重点掌握利用空间法向量求二面角、线面角和点面距离的标准化流程。 投影与体积： 讲解利用向量投影的概念来计算三维图形的面积和体积（如棱锥、圆锥的侧面积和表面积的解析求法）。 --- 第四章：组合世界的计数艺术——概率与图论的初探 本章着重于处理离散结构，培养读者对“排列组合”问题的深度理解和系统建模能力。 4.1 容斥原理的灵活运用 多重交集与并集： 从集合论的基本原理出发，系统讲解二元、三元及多元容斥原理。 经典应用： 解决错排问题、分配问题中的“至少一个”、“没有一个”等复杂条件下的计数。 4.2 概率模型的建立 古典概型的高级拓展： 引入条件概率和独立事件的概念，讨论贝叶斯公式在逆向概率推理中的基础应用。 随机变量的初步认识： 简要介绍离散型随机变量的期望和方差的直观概念，用于评估随机实验的平均结果和分散程度。 4.3 图论的萌芽——网络与连接 基本概念： 介绍图（Graph）、顶点的度数、路径、回路等基本术语。 欧拉路径与哈密顿回路： 阐述欧拉路径存在的充要条件（度数分析），并讨论哈密顿回路的不可行性难题，引导读者体会计算复杂性。 --- 结语： 本书提供的知识体系，是连接高中基础教育与大学数学的桥梁。通过对这些高级主题的系统学习，读者将不再满足于“套用公式”，而是能够从底层逻辑理解数学概念的构建过程，为未来的学术挑战做好充分的准备。

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总而言之，《初中数学竞赛教程解题手册》是一本非常值得推荐的书籍，它不仅仅是为参加数学竞赛的学生准备的，对于任何想要深入理解和掌握初中数学，提升逻辑思维能力和解题能力的同学来说，这本书都是一个绝佳的选择。它内容丰富、讲解清晰、思路深刻，真正做到了“教程”与“手册”的完美结合，能够帮助我不断突破自我，在数学的道路上越走越远。

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这本书最大的亮点在于其对解题思路的挖掘。它不仅仅是罗列解法，更重要的是剖析了问题背后的数学思想。我记得其中一道关于几何证明的题目，题目本身并不算特别复杂，但传统的证明方法往往绕来绕去。然而，这本书介绍了一种利用向量或者复数来简化证明的思路，这完全打破了我原有的思维定势。作者在讲解时，会花很多笔墨去解释为什么这种新的思路可行，以及它在哪些情况下更具优势。这种“授人以鱼不如授人以渔”的教学理念，让我觉得这本书的价值远远超过了其定价。

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初次接触这本书，我最直观的感受便是其内容的深度和广度。它并没有止步于初中数学课程的课本知识，而是将目光投向了数学竞赛的常见领域，比如数论、几何、代数等。尤其是数论部分，我一直觉得是初中数学中比较抽象和难以掌握的部分，但这本书的讲解方式让我豁然开朗。作者似乎非常了解初学者的困惑，从最基本的定义和性质入手，一步步引导我们构建起对质数、约数、同余等概念的深刻理解。每当书中出现一个定理或公式，它都会通过多个不同类型的例题来加以巩固，并且这些例题的难度梯度设计得非常合理，从易到难，让我能够逐步提升自己的解题能力。

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这本书的语言风格非常亲切，虽然内容是竞赛数学，但作者并没有使用过于晦涩的术语，而是用通俗易懂的语言进行讲解。我曾经尝试过一些其他号称是竞赛数学的书籍，但常常因为语言 demasiado 难懂而放弃。而这本书，让我感觉像是有一位经验丰富的老师在身边耐心指导。每一个概念的引入都伴随着生动的解释，每一个定理的推导都清晰明了，让我能够沉浸其中，享受数学的乐趣。

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在练习题的设计上，这本书也下了不少功夫。除了基础的例题讲解，每章节后面都附有大量的针对性练习题，这些题目涵盖了该章节的各个知识点，并且难度有所区分。更重要的是，书中对其中一部分难题提供了详细的解答，这对我这种喜欢钻研的学生来说，简直是福音。能够对照解答，分析自己的思路与书本的异同，是我提升最快的方式之一。

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这本书的内容组织非常有条理，每一章都围绕着一个数学主题展开，并层层递进。例如，在代数章节，它从基础的方程和不等式入手，逐渐过渡到函数、数列，甚至是一些更进阶的代数技巧，如韦达定理、均值不等式等。这些内容对于准备数学竞赛的学生来说至关重要，很多题目都需要灵活运用这些工具。书中对每一个知识点都进行了深入的剖析，并且配有丰富的练习题，这些练习题的难度和类型都非常有代表性，能够有效地检验我是否真正掌握了相关的知识。

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对于几何部分，我一直感到头疼，总觉得图形变化多端，很难找到切入点。《初中数学竞赛教程解题手册》在这一点上做得非常出色。它不仅仅提供了常见的几何定理和公式，更重要的是，它通过大量的插图和详细的标注，让复杂的几何图形变得直观易懂。我特别欣赏的是，书中有很多“一题多解”的例子，同一道几何题，它会用不同的方法来求解，比如纯几何法、坐标法、三角函数法等，这样我不仅能学到多种解题技巧，还能体会到不同数学工具的魅力和适用范围。

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作为一名对初中数学充满热情的学生，我一直在寻找一本能够帮助我深入理解竞赛数学，并且能够提供足够高质量解题思路和方法的书籍。《初中数学竞赛教程解题手册》这个名字，本身就带有一种强烈的吸引力，它承诺的不仅仅是解题技巧，更是“教程”和“手册”的结合，意味着它能引导我学习，又能在我遇到难题时提供可靠的参考。拿到这本书，我首先被它厚实的体量所震撼，这预示着里面蕴含的内容绝非浅尝辄止。我迫不及待地翻开第一章，立刻被其严谨的逻辑和清晰的排版所吸引。不同于市面上一些堆砌题目、缺乏讲解的参考书，这本书的每道例题都配有详尽的解题步骤，并且在关键步骤处标注了思考的出发点，让我能理解“为什么这么做”，而不是仅仅记住“怎么做”。

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作为一个长期与数学打交道的学生，我深知一本好的参考书的价值在于它的“启发性”。《初中数学竞赛教程解题手册》恰恰拥有这样的特质。它不只是给我答案，更是引导我去思考，去探索。我常常在做完一道题后，会回头去研究书中的解题思路，试图从中提炼出通用的方法论。书中对一些“陷阱”题的处理也格外细致，会明确指出常见的错误思路，并解释其根源，这对于避免我犯同样的错误非常有帮助。

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这本书给我最大的提升，是在于我解决复杂问题的能力。过去，遇到一些复杂的数学问题，我常常束手无策。但通过学习这本书，我学会了如何将复杂问题分解成若干个小的、易于解决的部分，并且能够灵活运用各种数学工具来解决这些小问题，最终拼凑出整个问题的答案。书中对一些“数学建模”类的题目也有涉及，教会我如何将实际问题转化为数学模型，并运用数学方法去解决。

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