代數拓撲簡明教程 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:世界圖書齣版公司

作者:J. P. May

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出版時間:

價格:42.00元

裝幀:平裝

isbn號碼:9787519266592

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圖書標籤:

• 數學
• 代數拓撲
• 代數拓撲
• 拓撲學
• 數學
• 教程
• 高等教育
• 數學分析
• 抽象代數
• 同調論
• 縴維叢
• 代數幾何

《代數拓撲簡明教程》 概述 《代數拓撲簡明教程》是一部旨在為初學者係統介紹代數拓撲這一數學分支的著作。代數拓撲學是一門融閤瞭代數方法與拓撲思想的學科，它利用代數工具來研究拓撲空間的性質，特彆是那些在連續形變下保持不變的性質。本書緻力於以清晰、循序漸進的方式，將代數拓撲的核心概念、基本理論和關鍵方法呈現給讀者，使其能夠理解如何運用代數結構來洞察幾何空間的內在聯係。 核心概念與方法 本書的首要目標是讓讀者掌握代數拓撲的基本語言和研究範式。我們將從最基礎的拓撲空間概念齣發，例如開集、閉集、連續映射、同胚等，為後續的代數化處理奠定堅實的基礎。隨後，我們將引入同倫（homotopy）和同倫等價（homotopy equivalence）等核心概念，這是代數拓撲研究中最根本的等價關係之一。同倫思想允許我們將兩個連續映射視為等價，隻要它們之間存在一個連續的“形變”過程。這種形變概念是理解為何某些拓撲性質具有“拓撲不變性”的關鍵。 本書的一個重要側重點是基本群（fundamental group）。基本群是代數拓撲中最早期也是最成功的代數不變量之一。我們將詳細闡述如何為拓撲空間構造基本群，並深入理解其代數性質，如群的結構、生成元、關係等。基本群的計算是代數拓撲中的一個核心任務，我們將通過一係列具體的例子，例如圓周、球麵、環麵等的例子，演示如何計算它們的が基本群，並揭示其與空間幾何形狀的深刻聯係。例如，我們將會發現，圓周的基本群是一個無限循環群，而球麵則有一個平凡的基本群。這些計算不僅鞏固瞭基本群的概念，也直觀地展示瞭代數工具在刻畫幾何特徵方麵的強大威力。 除瞭基本群，本書還將介紹更高階的同倫群（homotopy groups）。雖然高階同倫群的計算通常比基本群復雜得多，但它們提供瞭更精細的拓撲不變量，能夠區分那些基本群相同的但拓撲性質不同的空間。我們將闡述同倫群的定義、基本性質以及它們在分析高維空間結構中的作用。 本書的另一大支柱是同調論（homology theory）。同調論是代數拓撲中最強大、最係統化的工具之一。它通過構造一係列代數不變量——同調群（homology groups），來研究拓撲空間的“洞”或“連通性”。我們將從鏈復形（chain complex）和鏈映射（chain map）等代數結構齣發，逐步構建鏈復形，並定義同調群。同調群的計算通常涉及綫性代數和群論的知識，本書將詳細展示如何運用這些代數工具來計算不同空間的同調群。 我們將重點介紹奇異同調（singular homology）和胞腔同調（cell homology）兩種重要的同調理論。奇異同調基於嵌入空間的單純形（simplex）來構造鏈復形，具有普適性強、定義清晰等優點。胞腔同調則更側重於空間的可胞腔分解（CW decomposition），在研究具有特定結構的拓撲空間時，計算效率更高。本書將通過大量實例，如球麵、射影空間、環麵等的例子，展示奇異同調和胞腔同調的計算過程，並強調它們在刻畫空間“洞”的維度和數量上的作用。例如，我們將看到，一個球麵的所有同調群（除瞭0維）都為零，而一個環麵的同調群則揭示瞭它有兩個“洞”。 此外，本書還將探討上同調（cohomology）理論。上同調群與同調群密切相關，但研究方嚮有所不同，它為代數拓撲提供瞭另一種視角和更豐富的代數結構，例如上積（cup product）等。我們將介紹上同調的定義，以及它如何與同調論相互補充，提供對空間結構更全麵的理解。 理論與應用 《代數拓撲簡明教程》不僅僅停留在理論層麵，更注重展現代數拓撲的實際應用。我們將探討以下幾個方麵的應用： 空間分類： 代數拓撲提供瞭強大的工具來區分和分類拓撲空間。通過計算基本群、同調群等代數不變量，我們可以判斷兩個空間是否為同胚，從而在一定程度上實現空間的分類。 不動點定理： 本書將介紹布勞威爾不動點定理（Brouwer fixed-point theorem）和斯通-切赫緊化（Stone-Čech compactification）等重要的不動點定理，並展示如何利用代數拓撲工具（如度數理論）來證明這些定理。這些定理在分析動力係統、優化問題以及其他許多數學和科學領域具有重要意義。 嵌入問題： 代數拓撲在研究一個拓撲空間能否嵌入到另一個空間中具有重要作用。例如，我們將討論高維球麵能否嵌入到低維歐幾裏得空間中，以及相關的嵌入定理。 微分幾何與流形理論： 代數拓撲是研究光滑流形（smooth manifolds）和微分幾何的重要基礎。本書將為讀者理解流形上的上同調理論、德拉姆定理（de Rham theorem）等概念打下基礎，這些概念在理論物理、廣義相對論等領域有著廣泛的應用。 組閤拓撲： 本書將介紹如何利用組閤結構（如單純復形）來近似和研究一般的拓撲空間，這為理解計算機圖形學、計算幾何等領域的算法奠定瞭理論基礎。 教程特色 為瞭實現“簡明教程”的目標，本書在編寫過程中力求做到： 循序漸進： 內容組織邏輯嚴密，從基礎概念逐步深入到復雜理論，確保讀者能夠逐步掌握。 概念清晰： 每一個新的概念都會給齣明確的定義和直觀的解釋，並輔以大量的示意圖和例子。 計算導嚮： 重視代數不變量的計算，通過大量的計算例子來加深讀者對理論的理解。 精選內容： 聚焦代數拓撲的核心內容，避免過於冗長和偏僻的細節，使讀者能快速掌握該領域的核心工具和思想。 習題豐富： 每章都配有精心設計的習題，涵蓋瞭從基本概念的鞏固到復雜問題的探索，幫助讀者檢驗和提升學習效果。 讀者對象 本書適閤具有一定數學基礎（包括綫性代數、群論、基本分析和集閤論）的本科生、研究生以及對代數拓撲感興趣的數學工作者、物理學傢和計算機科學傢。無論您是初次接觸代數拓撲，還是希望係統梳理和深化理解，本書都將是您理想的學習夥伴。 結語 代數拓撲學是一門充滿魅力和力量的數學學科，它將抽象的代數結構與直觀的幾何形狀巧妙地聯係起來，為我們認識和理解世界提供瞭獨特的視角。通過《代數拓撲簡明教程》，我們希望讀者能夠掌握這一強大的數學工具，並將其應用於各自的研究和探索之中，發現數學更深層次的美妙與奧秘。

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這本關於微分幾何的入門書，風格可謂是獨樹一幟，它充滿瞭強烈的個人色彩和對幾何直覺的推崇。作者似乎極度不耐煩於枯燥的坐標計算，而是將大量的篇幅投入到嚮量場、聯絡和麯率的幾何意義闡釋上。書中對黎曼流形的介紹，著重強調瞭測地綫作為“最直”路徑的內在定義，而非僅僅依賴於度量張量。我特彆喜歡它在講解麯率張量時，采用瞭一種“視差”的思考方式，讓人立刻就能理解它描述的是空間彎麯程度的本質。盡管有些地方的論證略顯跳躍，需要讀者自行彌補代數細節，但這反而激發瞭讀者主動思考的欲望。這本書更像是與一位學識淵博的幾何學傢進行深度對話，它教會你如何用幾何傢的眼睛去看待世界，而不是僅僅用一個計算器。

评分☆☆☆☆☆

這本關於抽象代數的教材，簡直是挑戰我智力的“高峰”。它對群論、環論和域論的闡述達到瞭教科書的極緻——精確、全麵，但同時對初學者也相當不友好。作者似乎默認讀者已經具備瞭紮實的綫性代數基礎，並且對抽象概念有很強的接受能力。書中對伽羅瓦理論的展開部分尤其令人震撼，其深度和廣度令人窒息，它沒有迴避任何一個技術細節，把所有復雜的結構都一一攤開來供人審視。我花瞭大量時間在理解某些構造的動機上，但這番努力是值得的。讀完後，我對代數結構有瞭近乎“潔癖”般的要求，因為它將“美”和“真理”緊密地聯係在一起。這本書的價值在於，它為你構建瞭一個堅不可摧的抽象世界框架，但你必須自己去填充那些細微的磚塊，過程雖然艱辛，但收獲的卻是數學世界觀的重塑。

评分☆☆☆☆☆

我最近翻閱瞭一本關於概率論與隨機過程的經典教材，它給我的感覺是“返璞歸真”。作者采用瞭極其簡潔的語言來處理復雜的隨機現象，似乎完全摒棄瞭花哨的符號技巧，專注於最核心的測度論基礎。特彆是關於鞅論的引入，處理得非常優雅，將條件期望的概念與信息流動的關係解釋得淋灕盡緻。書中的例子往往來自於實際生活中的金融或物理場景，使得抽象的隨機行走看起來不再遙遠。雖然它沒有篇幅去覆蓋最新的隨機控製理論，但對於建立一個堅實可靠的概率基礎來說，這本書簡直是典範。它的結構安排仿佛是精心設計的一座迷宮，每當你快要迷失方嚮時，作者總能及時遞給你一張清晰的路綫圖。讀起來有一種沉浸式的體驗，仿佛真的能“看到”概率的流動。

评分☆☆☆☆☆

我對這本介紹偏微分方程的書印象非常深刻，它的視角極為獨特。不同於很多教科書從拉普拉斯方程或波動方程的固定框架入手，這本書一開始就著重強調瞭物理背景和幾何直覺在 PDE 求解中的核心作用。作者似乎更側重於“為什麼”而不是單純的“如何做”，這對於培養深層次的數學思維至關重要。比如，在討論能量守恒原理與解的適定性關係時，作者用瞭一種非常直觀的方式來解釋瞭 Hadamard 的三圓定理，而不是直接拋齣復雜的分析工具。雖然某些章節的計算量相當可觀，但每一步推導都清晰可辨，沒有絲毫含糊不清的地方。這本書更像是一部藝術品，將嚴密的數學邏輯與優美的物理圖像融為一體，讓人在閱讀過程中充滿探索的樂趣，強烈推薦給那些希望建立堅實 PDE 基礎的初學者和希望拓展視野的研究者。

评分☆☆☆☆☆

這本關於泛函分析的著作，簡直是數學愛好者的福音。作者的敘述風格猶如一位經驗豐富的嚮導，帶領讀者在抽象的無窮維空間中穿梭，同時又不失嚴謹性。它並非僅僅羅列定理和證明，而是深入淺齣地剖析瞭巴拿赫空間和希爾伯特空間的本質結構，特彆是譜理論那一部分，處理得極其精妙。我尤其欣賞它對緊算子和有界綫性算子之間關係的探討，邏輯鏈條清晰得讓人嘆服。讀完後，感覺對函數空間有瞭全新的認識，不再是那些冷冰冰的符號堆砌，而是充滿瞭內在的幾何直覺。書中的習題設計得非常巧妙，有些難度不小，但每解開一個，都會帶來巨大的成就感，真正做到瞭理論與實踐的完美結閤。對於任何想要深入理解現代數學分析的讀者來說，這本書都是一個不可多得的寶貴資源，它的深度和廣度都遠超預期。

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