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出版者:世界图书出版公司

作者:J. P. May

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:42.00元

装帧:平装

isbn号码:9787519266592

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《代数拓扑简明教程》 概述 《代数拓扑简明教程》是一部旨在为初学者系统介绍代数拓扑这一数学分支的著作。代数拓扑学是一门融合了代数方法与拓扑思想的学科，它利用代数工具来研究拓扑空间的性质，特别是那些在连续形变下保持不变的性质。本书致力于以清晰、循序渐进的方式，将代数拓扑的核心概念、基本理论和关键方法呈现给读者，使其能够理解如何运用代数结构来洞察几何空间的内在联系。 核心概念与方法 本书的首要目标是让读者掌握代数拓扑的基本语言和研究范式。我们将从最基础的拓扑空间概念出发，例如开集、闭集、连续映射、同胚等，为后续的代数化处理奠定坚实的基础。随后，我们将引入同伦（homotopy）和同伦等价（homotopy equivalence）等核心概念，这是代数拓扑研究中最根本的等价关系之一。同伦思想允许我们将两个连续映射视为等价，只要它们之间存在一个连续的“形变”过程。这种形变概念是理解为何某些拓扑性质具有“拓扑不变性”的关键。 本书的一个重要侧重点是基本群（fundamental group）。基本群是代数拓扑中最早期也是最成功的代数不变量之一。我们将详细阐述如何为拓扑空间构造基本群，并深入理解其代数性质，如群的结构、生成元、关系等。基本群的计算是代数拓扑中的一个核心任务，我们将通过一系列具体的例子，例如圆周、球面、环面等的例子，演示如何计算它们的が基本群，并揭示其与空间几何形状的深刻联系。例如，我们将会发现，圆周的基本群是一个无限循环群，而球面则有一个平凡的基本群。这些计算不仅巩固了基本群的概念，也直观地展示了代数工具在刻画几何特征方面的强大威力。 除了基本群，本书还将介绍更高阶的同伦群（homotopy groups）。虽然高阶同伦群的计算通常比基本群复杂得多，但它们提供了更精细的拓扑不变量，能够区分那些基本群相同的但拓扑性质不同的空间。我们将阐述同伦群的定义、基本性质以及它们在分析高维空间结构中的作用。 本书的另一大支柱是同调论（homology theory）。同调论是代数拓扑中最强大、最系统化的工具之一。它通过构造一系列代数不变量——同调群（homology groups），来研究拓扑空间的“洞”或“连通性”。我们将从链复形（chain complex）和链映射（chain map）等代数结构出发，逐步构建链复形，并定义同调群。同调群的计算通常涉及线性代数和群论的知识，本书将详细展示如何运用这些代数工具来计算不同空间的同调群。 我们将重点介绍奇异同调（singular homology）和胞腔同调（cell homology）两种重要的同调理论。奇异同调基于嵌入空间的单纯形（simplex）来构造链复形，具有普适性强、定义清晰等优点。胞腔同调则更侧重于空间的可胞腔分解（CW decomposition），在研究具有特定结构的拓扑空间时，计算效率更高。本书将通过大量实例，如球面、射影空间、环面等的例子，展示奇异同调和胞腔同调的计算过程，并强调它们在刻画空间“洞”的维度和数量上的作用。例如，我们将看到，一个球面的所有同调群（除了0维）都为零，而一个环面的同调群则揭示了它有两个“洞”。 此外，本书还将探讨上同调（cohomology）理论。上同调群与同调群密切相关，但研究方向有所不同，它为代数拓扑提供了另一种视角和更丰富的代数结构，例如上积（cup product）等。我们将介绍上同调的定义，以及它如何与同调论相互补充，提供对空间结构更全面的理解。 理论与应用 《代数拓扑简明教程》不仅仅停留在理论层面，更注重展现代数拓扑的实际应用。我们将探讨以下几个方面的应用： 空间分类： 代数拓扑提供了强大的工具来区分和分类拓扑空间。通过计算基本群、同调群等代数不变量，我们可以判断两个空间是否为同胚，从而在一定程度上实现空间的分类。 不动点定理： 本书将介绍布劳威尔不动点定理（Brouwer fixed-point theorem）和斯通-切赫紧化（Stone-Čech compactification）等重要的不动点定理，并展示如何利用代数拓扑工具（如度数理论）来证明这些定理。这些定理在分析动力系统、优化问题以及其他许多数学和科学领域具有重要意义。 嵌入问题： 代数拓扑在研究一个拓扑空间能否嵌入到另一个空间中具有重要作用。例如，我们将讨论高维球面能否嵌入到低维欧几里得空间中，以及相关的嵌入定理。 微分几何与流形理论： 代数拓扑是研究光滑流形（smooth manifolds）和微分几何的重要基础。本书将为读者理解流形上的上同调理论、德拉姆定理（de Rham theorem）等概念打下基础，这些概念在理论物理、广义相对论等领域有着广泛的应用。 组合拓扑： 本书将介绍如何利用组合结构（如单纯复形）来近似和研究一般的拓扑空间，这为理解计算机图形学、计算几何等领域的算法奠定了理论基础。 教程特色 为了实现“简明教程”的目标，本书在编写过程中力求做到： 循序渐进： 内容组织逻辑严密，从基础概念逐步深入到复杂理论，确保读者能够逐步掌握。 概念清晰： 每一个新的概念都会给出明确的定义和直观的解释，并辅以大量的示意图和例子。 计算导向： 重视代数不变量的计算，通过大量的计算例子来加深读者对理论的理解。 精选内容： 聚焦代数拓扑的核心内容，避免过于冗长和偏僻的细节，使读者能快速掌握该领域的核心工具和思想。 习题丰富： 每章都配有精心设计的习题，涵盖了从基本概念的巩固到复杂问题的探索，帮助读者检验和提升学习效果。 读者对象 本书适合具有一定数学基础（包括线性代数、群论、基本分析和集合论）的本科生、研究生以及对代数拓扑感兴趣的数学工作者、物理学家和计算机科学家。无论您是初次接触代数拓扑，还是希望系统梳理和深化理解，本书都将是您理想的学习伙伴。 结语 代数拓扑学是一门充满魅力和力量的数学学科，它将抽象的代数结构与直观的几何形状巧妙地联系起来，为我们认识和理解世界提供了独特的视角。通过《代数拓扑简明教程》，我们希望读者能够掌握这一强大的数学工具，并将其应用于各自的研究和探索之中，发现数学更深层次的美妙与奥秘。

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这本关于泛函分析的著作，简直是数学爱好者的福音。作者的叙述风格犹如一位经验丰富的向导，带领读者在抽象的无穷维空间中穿梭，同时又不失严谨性。它并非仅仅罗列定理和证明，而是深入浅出地剖析了巴拿赫空间和希尔伯特空间的本质结构，特别是谱理论那一部分，处理得极其精妙。我尤其欣赏它对紧算子和有界线性算子之间关系的探讨，逻辑链条清晰得让人叹服。读完后，感觉对函数空间有了全新的认识，不再是那些冷冰冰的符号堆砌，而是充满了内在的几何直觉。书中的习题设计得非常巧妙，有些难度不小，但每解开一个，都会带来巨大的成就感，真正做到了理论与实践的完美结合。对于任何想要深入理解现代数学分析的读者来说，这本书都是一个不可多得的宝贵资源，它的深度和广度都远超预期。

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我对这本介绍偏微分方程的书印象非常深刻，它的视角极为独特。不同于很多教科书从拉普拉斯方程或波动方程的固定框架入手，这本书一开始就着重强调了物理背景和几何直觉在 PDE 求解中的核心作用。作者似乎更侧重于“为什么”而不是单纯的“如何做”，这对于培养深层次的数学思维至关重要。比如，在讨论能量守恒原理与解的适定性关系时，作者用了一种非常直观的方式来解释了 Hadamard 的三圆定理，而不是直接抛出复杂的分析工具。虽然某些章节的计算量相当可观，但每一步推导都清晰可辨，没有丝毫含糊不清的地方。这本书更像是一部艺术品，将严密的数学逻辑与优美的物理图像融为一体，让人在阅读过程中充满探索的乐趣，强烈推荐给那些希望建立坚实 PDE 基础的初学者和希望拓展视野的研究者。

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我最近翻阅了一本关于概率论与随机过程的经典教材，它给我的感觉是“返璞归真”。作者采用了极其简洁的语言来处理复杂的随机现象，似乎完全摒弃了花哨的符号技巧，专注于最核心的测度论基础。特别是关于鞅论的引入，处理得非常优雅，将条件期望的概念与信息流动的关系解释得淋漓尽致。书中的例子往往来自于实际生活中的金融或物理场景，使得抽象的随机行走看起来不再遥远。虽然它没有篇幅去覆盖最新的随机控制理论，但对于建立一个坚实可靠的概率基础来说，这本书简直是典范。它的结构安排仿佛是精心设计的一座迷宫，每当你快要迷失方向时，作者总能及时递给你一张清晰的路线图。读起来有一种沉浸式的体验，仿佛真的能“看到”概率的流动。

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这本关于微分几何的入门书，风格可谓是独树一帜，它充满了强烈的个人色彩和对几何直觉的推崇。作者似乎极度不耐烦于枯燥的坐标计算，而是将大量的篇幅投入到向量场、联络和曲率的几何意义阐释上。书中对黎曼流形的介绍，着重强调了测地线作为“最直”路径的内在定义，而非仅仅依赖于度量张量。我特别喜欢它在讲解曲率张量时，采用了一种“视差”的思考方式，让人立刻就能理解它描述的是空间弯曲程度的本质。尽管有些地方的论证略显跳跃，需要读者自行弥补代数细节，但这反而激发了读者主动思考的欲望。这本书更像是与一位学识渊博的几何学家进行深度对话，它教会你如何用几何家的眼睛去看待世界，而不是仅仅用一个计算器。

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这本关于抽象代数的教材，简直是挑战我智力的“高峰”。它对群论、环论和域论的阐述达到了教科书的极致——精确、全面，但同时对初学者也相当不友好。作者似乎默认读者已经具备了扎实的线性代数基础，并且对抽象概念有很强的接受能力。书中对伽罗瓦理论的展开部分尤其令人震撼，其深度和广度令人窒息，它没有回避任何一个技术细节，把所有复杂的结构都一一摊开来供人审视。我花了大量时间在理解某些构造的动机上，但这番努力是值得的。读完后，我对代数结构有了近乎“洁癖”般的要求，因为它将“美”和“真理”紧密地联系在一起。这本书的价值在于，它为你构建了一个坚不可摧的抽象世界框架，但你必须自己去填充那些细微的砖块，过程虽然艰辛，但收获的却是数学世界观的重塑。

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