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《整体Finsler几何》主要内容：Finsler几何就是没有二次型限制的Riemann几何，20世纪未以来，在几何大师陈省身等人的大力倡导下，Finsler几何越来越受到人们的重视，发展迅猛，并且已在控制论、相对论等方面得到应用，《整体Finsler几何》介绍Finsler几何的基础知识与基本理论，并结合作者的研究成果介绍国内外的最新进展，主要内容包括Minkowski空间，Finsler流形，联络与曲率，测地线，Finsler几何中的比较定理及女孩子流形几何等。
探寻广义几何的深度边界：一本关于测地线、黎曼流形与非对称度量的导论 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探索经典微分几何的扩展领域——那些超越传统黎曼几何框架的度量结构与几何概念。我们聚焦于那些在流形上定义了非对称或方向依赖长度概念的数学结构。 第一部分：基础重构——从黎曼到仿射 在正式深入非对称几何之前，我们首先对经典微分几何进行一次必要的梳理与重塑。 第1章：黎曼几何的回顾与视角转换 本章将重温黎曼流形的基本概念，包括光滑流形、切丛、张量、黎曼度量张量 $g_{ij}$ 的定义及其不变性。我们将重点讨论黎曼几何中“距离”和“角度”的本质——它们都是对称的。接着，我们将引入一个关键的视角转换：如果我们将度量定义为一种方向依赖的函数，会发生什么？这为引入非对称性埋下了伏笔。我们将讨论黎曼度量如何看作一种特殊情况下的“Finsler型”结构，其能量函数 $F(x, v)$ 满足 $F^2$ 局部二次化。 第2章：仿射联络的自由度 在黎曼几何中，仿射联络（如Levi-Civita联络）完全由度量张量唯一确定。然而，当度量不再对称时，这种确定性消失了。本章详细探讨仿射联络 $
abla$ 的自由度：扭率张量 $T$ 和非度量性张量 $Q$。 扭率 (Torsion): 衡量平行移动的路径依赖性，当 $T
eq 0$ 时，意味着沿着不同路径平移同一个向量会导致不同的结果。 非度量性 (Non-metricity): 衡量平行移动如何改变向量的长度（或范数）。在黎曼几何中，非度量性恒为零。 本章将构建一个通用的线性联络的分解框架，将任意联络分解为度量联络（Levi-Civita的推广）、扭率分量和非度量性分量的组合。 第二部分：非对称能量函数的诞生 本部分引入了定义“长度”和“速度”的核心概念，即方向依赖的范数。 第3章：函数空间与度量函数 我们转向研究流形 $M$ 上的切丛 $TM$ 上的函数 $F: TM o mathbb{R}^+$，这种函数必须满足特定的规范条件，以便可以被视为“长度”或“能量”。我们详细分析这些条件： 1. 正定性 (Positive Definiteness): $F(x, v) > 0$ 对所有 $v
eq 0$ 成立。 2. 局部光滑性 (Local Smoothness): 仅在 $v=0$ 处可能不光滑。 3. 线性齐次性 (Linear Homogeneity): $F(x, lambda v) = |lambda| F(x, v)$。 本书将严格区分那些平方后是二次型（即黎曼度量）的结构，与那些本质上非二次型的结构。我们将阐述为什么这种非二次型结构在物理学和几何学中具有独特的价值。 第4章：规范条件与Hessian矩阵 在局部坐标系下，函数 $F$ 的二次微分——Hessian矩阵 $g_{ij}(x, v) = frac{1}{2} frac{partial^2 F^2}{partial v^i partial v^j}$ 是理解其几何性质的关键。在黎曼几何中，这个矩阵是正定的。然而，在更广义的框架下，我们研究当 $g_{ij}$ 不再是严格正定时，其特征值的性质如何揭示几何空间的“收缩”或“拉伸”的各向异性。本章深入探讨非对称性是如何通过Hessian矩阵的非对称部分体现出来的。 第三部分：测地线与变分原理 测地线是“最短路径”的推广。在非对称几何中，测地线不再仅仅由度量决定，它还依赖于所选的仿射联络。 第5章：变分问题与类测地线方程 我们从欧拉-拉格朗日方程出发，构建沿着曲线 $c(t)$ 的能量泛函 $E[c] = int F(c(t), dot{c}(t)) dt$ 的变分。我们推导出具有方向依赖长度的“类测地线”方程。 第6章：联络对测地线的影响 本章的核心在于建立联络 ($
abla$)、度量 ($F$) 和测地线方程之间的精确关系。我们将研究： 1. 当扭率 $T
eq 0$ 时，测地线如何偏离经典的“测地线”概念。 2. 在不要求度量二次化的情况下，如何定义一个自伴随的（self-adjoint）测地线方程，它对应于变分问题的自然边界条件，而非仅仅依赖于一个预先选择的联络。 3. 介绍对称性度量（Symmetric Metric）和仿射参数化（Affine Parameterization）对测地线存在性和唯一性的影响。 第四部分：几何对象的推广 我们将经典几何中的重要概念推广到非对称背景下，特别是曲率的定义。 第7章：曲率的分解 黎曼曲率张量 $R_{ijkl}$ 来源于黎曼度量和Levi-Civita联络。在更一般的设置中，我们必须明确地分离出曲率的来源： 纯度量曲率： 如果我们强行使用一个与度量一致的联络（例如，通过平均化非度量性），可以定义一个“平均”的黎曼曲率。 扭率诱导的曲率： 扭率如何改变黎曼张量的定义。 非度量性诱导的曲率： 非度量性如何影响平行移动的“弯曲”。 本章将展示如何将一个一般的仿射联络下的曲率张量，分解为对黎曼曲率的修正项，这些修正项明确地由扭率和非度量性张量构成。 第8章：相对论的启示与应用展望 本书的最后部分将探讨这些广义几何结构在现代物理学中的体现，特别是在广义相对论的某些非标准模型中，或者在探讨物质与时空相互作用的理论中，其中惯性质量和引力质量可能不再通过相同的几何量耦合。我们将简要讨论在某些物理理论中，需要一个非对称的能量密度函数来描述粒子的运动状态。 本书旨在为读者提供一个坚实的数学工具箱，以便理解和处理那些在传统黎曼几何框架下无法简洁描述的、具有内在方向依赖性的几何空间。
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