具体描述
《高等学校数学学习辅导丛书·数学物理方程与特殊函数学习指导与习题全解》共分三篇。第一篇内容精讲，共6章，对数学物理方程与特殊函数进行详细讲解。第二篇《数学物理方法》习题选解。共10章，从人民教育出怎么出版的梁昆淼编著《数学物理方法》第8章 至第17章的书后习题中精选出部分习题进行解答，解题之前先给出思路。，引导读者思考，指出切入点，易于读者掌握解题方法，第三篇《高等数学》（第四册）习题全解，共11章，对四川大学数学系编高等数学》（第四册）习题全解，共11章，对四川大学数学系编《高等数学》（第四册）全部书后习题进行详细解答。部分习题给出多种解法，供读者参考。
跨越理论与应用的数学工具箱：解析经典物理问题与现代科学前沿 导言：探索物理世界背后的数学骨架 在深入理解自然现象的规律性时，我们发现数学语言是描述物理世界最精确、最深刻的工具。从宏观的电磁场分布到微观的量子力学效应，再到流体运动的复杂演化，无不依赖于一套精妙的微分方程系统。这些方程不仅是理论的结晶，更是连接抽象数学与实际观测的桥梁。 本书旨在为致力于掌握这些核心数学工具，并希望将其有效应用于解决复杂物理和工程问题的读者提供一个结构清晰、内容详实的学习路径。我们不会局限于罗列公式，而是着重于解析这些方程的物理背景、数学本质以及求解过程中的关键技巧，帮助读者建立起深厚的理论基础和卓越的实践能力。 第一部分：基础篇——微分方程的构建与初步求解 本部分将读者带入偏微分方程（PDEs）的世界，这是描述连续介质和场论现象的基石。 1. 经典偏微分方程的物理起源与形式 我们将详细探讨三大类最具代表性的偏微分方程：热传导方程（扩散方程）、波动方程（或称波方程），以及拉普拉斯/泊松方程（稳态方程）。 热传导方程 ($frac{partial u}{partial t} = alpha
abla^2 u$): 聚焦于物质、热量或信息如何随时间均匀扩散的过程。我们将分析其物理意义——耗散性，以及它如何描述非平衡态向平衡态的过渡。讨论内容包括一维、二维及三维中的热流模型，以及对初值和边界条件的严格要求。 波动方程 ($frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2
abla^2 u$): 阐述了能量如何在介质中传播而不衰减的现象。我们将分析其双曲型特性，涉及的物理场景包括声波传播、弦的振动以及电磁波的基本模型。 拉普拉斯方程 ($
abla^2 u = 0$) 与泊松方程 ($
abla^2 u = f$): 作为稳态问题的核心，它们描述了达到平衡后的势场分布（如静电势、重力势）。对泊松方程中源项 $f$ 的分析，是理解电荷分布或质量密度对周围势场影响的关键。 2. 求解方法论：分离变量法（The Separation of Variables） 分离变量法是求解特定边界条件下线性齐次PDE的“瑞士军刀”。本章将系统阐述该方法的步骤： 变量分离假设与常数选取： 如何将一个多变量的PDE转化为一组常微分方程（ODEs）。 特征值问题： 重点讨论与空间变量相关的特征值问题（例如斯特姆-刘维尔问题），理解特征函数族（如正弦、余弦、贝塞尔函数）的正交性和完备性，这是傅里叶级数理论在空间维度上的推广。 傅里叶级数与傅里叶积分的应用： 如何利用特征函数的完备性来展开任意的初始条件和边界条件，构建方程的最终解。我们将区分有限区域（傅里叶级数）和无限区域（傅里叶积分）的求解策略。 第二部分：深化篇——特殊函数与边界值问题的精细处理 当几何形状不再是简单的矩形或圆形区域时，我们需要更强大的数学工具——特殊函数，它们是满足特定边界条件的方程的“自然语言”。 3. 柱坐标与球坐标系下的拉普拉斯方程 物理系统往往具有固有的对称性。本部分专注于利用坐标变换来简化和求解具有圆柱对称性或球对称性的问题。 柱坐标系 (Cylindrical Coordinates): 当涉及圆筒、圆柱波导或轴对称场问题时，拉普拉斯方程会演化出贝塞尔方程。我们将深入探讨贝塞尔函数（第一类 $J_n(x)$ 和第二类 $Y_n(x)$）的性质，包括它们的零点、渐近行为和递推关系。这些函数是描述圆柱几何结构中振动模式或势分布的决定性要素。 球坐标系 (Spherical Coordinates): 对于球形对称问题（如氢原子或球形散射），方程分离后会产生勒让德方程。本章将详细解析勒让德多项式 $P_n(x)$ 及其在求解电势分布（如球形电容器）中的应用。更进一步，我们将引入缔合勒让德函数，它们是描述具有方位角依赖性的三维场（如原子轨道的角向部分）所必需的。 4. 椭圆型与抛物线型方程的高级处理 格林函数法（Green's Function Method）: 这是一种强大的积分方程方法，用于求解具有任意边界条件的非齐次线性PDE。格林函数被视为单位“点源”在系统中的响应，通过叠加这些点源响应，可以构造出对任意源项的完整解。我们将探讨如何利用格林函数来处理泊松方程和亥姆霍兹方程（波动方程的时间独立形式）。 半无限区问题与傅里叶变换： 当问题涉及无限延伸的半空间（例如，在无限大的平板上传播的热流）时，傅里叶积分变换成为取代傅里叶级数的首选工具。我们将展示傅里叶变换如何有效地处理无穷边界条件，特别是其在求解瞬态扩散问题中的优越性。 第三部分：现代物理的应用基础 本部分将视角转向更前沿的物理领域，展示如何运用上述数学框架来处理非保守系统和更复杂的场论。 5. 亥姆霍兹方程与傅里叶/拉普拉斯的结合 亥姆霍兹方程是波动方程在固定频率（单色波）下的时间无关形式，是电磁学（麦克斯韦方程组的稳态解）、光学以及声学中的核心方程。 球面波与模式分析： 我们将研究在球坐标系下，亥姆霍兹方程的解如何分解为径向部分（由球贝塞尔函数和球诺伊曼函数描述）和角向部分（由球谐函数 $Y_{lm}( heta, phi)$ 描述）。球谐函数是量子力学中描述角动量本征态的基础。 6. 稳定性、奇异性与物理诠释 优秀的数学物理分析不仅在于找到解，更在于理解解的物理意义和局限性。 唯一性与稳定性： 讨论狄利克雷问题（Dirichlet）和诺伊曼问题（Neumann）的适定性。为什么某些边界条件能保证解的唯一性？解对微小扰动的敏感程度（稳定性）在物理模型中意味着什么？ 物理约束： 探讨在无限区域求解时，如何应用“无穷远处衰减”或“出射波条件”等非显式边界条件来排除不符合物理现实的解（如诺伊曼函数在某些物理情境中的排除）。 结语：从方程到洞察 掌握数学物理方程，意味着掌握了对自然界深层结构的精确描述能力。本书力求通过严谨的数学推导、清晰的物理图像和丰富的应用案例，引导读者不仅会“解题”，更能理解“为什么这样解”以及“解的局限性”。这种能力是从事理论物理研究、高级工程设计以及复杂数值模拟的必备素质。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.quotespace.org All Rights Reserved. 小美书屋 版权所有