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出版者:Springer

作者:Lindstrom, Tom 编

出品人:

页数:678

译者:

出版时间:2007-06-27

价格:USD 119.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540708469

丛书系列:

图书标签:

• 随机分析
• math
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• 随机分析
• 概率论
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 金融数学
• 泛函分析
• 鞅论
• 扩散过程
• 数值分析
• 应用数学

《随机分析与应用》 本书旨在深入探讨随机分析这一数学领域的核心概念、理论框架及其在各个科学和工程分支中的广泛应用。我们从基础的概率论和随机过程理论出发，逐步引入测度论、Lévy过程、伊藤积分等关键工具，并在此基础上展开对随机微分方程、随机偏微分方程的分析。全书力求在理论的严谨性与应用的直观性之间取得平衡，旨在为读者提供一个全面而深刻的认识。 第一部分：概率论与随机过程基础 本部分是本书的基石，将系统梳理和回顾概率论的核心概念，包括概率空间、随机变量、期望、方差、条件期望等。在此基础上，我们将深入介绍各种重要的随机过程，如马尔可夫链、泊松过程、布朗运动（维纳过程）等。我们会详细讨论它们的性质、生成机制以及在建模中的作用。对于马尔可夫链，我们将分析其状态空间、转移概率、平稳分布等；对于泊松过程，我们将探讨其在事件发生次数和间隔时间上的分布特性；而布朗运动作为本书后续内容的重要铺垫，其路径的光滑性、独立增量和二次变差等性质将得到详尽的阐述。此外，本部分还将介绍一些基础的随机过程工具，如再生过程、平稳过程等，为后续更复杂的随机分析奠定基础。 第二部分：测度论与随机积分 本部分将为读者引入进行严格随机分析所需的数学工具——测度论。我们将详细阐述测度、可测函数、Lebesgue积分等概念，并说明它们如何为处理不可数随机变量和定义更一般的积分提供了坚实的基础。在此基础上，本书将聚焦于随机分析的核心——伊藤积分。我们将详细介绍伊藤积分的定义、性质以及与经典黎曼-斯蒂尔切斯积分的区别。重点将放在布朗运动的二次变差如何引入伊藤积分，以及伊藤积分在处理由布朗运动驱动的随机过程中的不可替代性。我们将推导并证明伊藤引理，这是理解和分析随机微分方程的关键工具，它揭示了随机过程中函数的变化规律。此外，本部分还将讨论伊藤积分的一些重要性质，如期望、方差以及鞅性质等。 第三部分：随机微分方程（SDEs） 本部分将围绕随机微分方程（SDEs）展开深入探讨。我们将利用第二部分建立的伊藤积分理论，对SDEs进行精确的定义和分析。我们将首先介绍最基本形式的SDEs，并讨论其解的存在性、唯一性以及解的性质。本书将重点分析由线性SDEs引出的各类解的性质，例如，具有显式解的Ornstein-Uhlenbeck过程，以及其在金融和物理中的应用。接着，我们将深入研究非线性SDEs，并介绍数值求解SDEs的方法，如欧拉-明斯科夫斯基方法和Milstein方法，同时分析这些方法的收敛性和精度。本书还将探讨SDEs的遍历性、平稳性以及吸引子等性质，这些性质对于理解系统的长期行为至关重要。此外，我们还将介绍一些重要的SDEs模型，如GARCH模型在金融时间序列分析中的应用。 第四部分：随机偏微分方程（SPDEs） 本部分将进一步将随机分析的视野拓展到随机偏微分方程（SPDEs）领域。SPDEs是偏微分方程与随机性的结合，在描述大尺度随机现象方面具有广泛的应用，如流体力学、统计物理、凝聚态物理等。我们将从一些经典的SPDEs入手，例如，带噪声的薛定谔方程、带噪声的Korteweg-de Vries（KdV）方程以及带噪声的Navier-Stokes方程等，并分析它们的数学结构。本书将介绍求解SPDEs的若干方法，包括基于傅里叶分析、正则化方法以及概率方法等。我们将重点讨论Lévy噪声在SPDEs中的作用，以及如何处理具有更广泛的Lévy过程作为噪声源的SPDEs。此外，本书还将探讨SPDEs解的正则性、相干性以及长时间行为等重要问题，并介绍一些与SPDEs相关的现代研究方向，如多尺度SPDEs和随机方程的平均场理论。 第五部分：随机分析的应用 本部分将聚焦于随机分析在各个学科领域的具体应用，展示其作为强大建模和分析工具的价值。 金融数学： 随机分析在金融领域扮演着核心角色。我们将详细阐述Black-Scholes期权定价模型，并解释其背后的随机微分方程及其伊藤引理的应用。此外，我们还将介绍其他与金融相关的随机模型，如随机利率模型、信用风险模型等，并讨论如何利用随机分析的工具来理解和预测金融市场的波动性。 物理学： 在物理学中，随机过程广泛用于描述热力学、统计力学以及量子力学中的现象。我们将探讨随机分析在凝聚态物理中描述粒子扩散、相变以及随机磁体等问题中的应用。例如，我们将展示如何用SDEs来描述布朗运动的随机轨迹，以及如何用SPDEs来建模场论中的涨落。 生物学与生命科学： 随机性在生物过程中普遍存在，例如基因表达的随机波动、细胞信号传导的随机性以及种群动态的随机演化。本书将介绍如何利用随机分析来构建和分析生物模型，例如，随机微分方程在描述化学反应动力学、酶动力学以及疾病传播模型中的应用。 工程领域： 随机分析在通信工程、控制理论、信号处理等领域也发挥着重要作用。我们将探讨随机信号的建模和分析，以及如何利用随机过程来设计鲁棒的控制系统，例如，在通信系统中，如何处理随机噪声对信号传输的影响；在控制系统中，如何设计能够抵抗随机干扰的控制器。 其他应用： 除上述领域外，本书还将简要介绍随机分析在图像处理、机器学习、地球科学等领域的应用，以期激发读者将随机分析的理论知识应用于更多新颖的问题。 本书的编写目标是为广大数学、物理、金融、工程等领域的学生、研究人员以及从业人员提供一个学习和研究随机分析的坚实平台。我们希望通过本书的阅读，读者能够掌握随机分析的核心理论，理解其精妙的数学思想，并能够将其灵活应用于各自的研究和实践中。

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这本书的排版和印刷质量，真的只能用“中规中矩”来形容。作为一本高阶数学专著，它在图表的使用上显得非常保守。处理随机过程的轨迹时，往往只有文字描述，鲜有直观的图形辅助。我理解，深入的随机分析可能不需要过多的可视化，但对于理解路径依赖的随机现象，一张清晰的路径图胜过千言万语。比如，在讲解了 Wiener 过程的二次变差后，作者直接跳到了高阶矩的计算，中间缺少了对路径形态的直观描绘，这让我花了大量时间在大脑中“想象”那些锯齿状的曲线是如何一步步演变的。而且，书中的符号系统有时候显得有些混杂，不同的章节对同一个数学对象可能使用不同的标记，这在快速阅读时造成了不少障碍，需要频繁地回溯目录或脚注来确认。如果能增加一些彩图或者更现代化的排版设计，哪怕只是在关键的定理旁加上一个精简的图示，相信阅读体验能提升一个档次。

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这本《随机分析与应用》的译本，嗯，怎么说呢，对于初涉随机过程的读者来说，简直是一场智力上的马拉松。我记得我刚拿到这本书的时候，那种厚重感就让人有点望而却步。扉页上的公式和符号，密密麻麻的，仿佛在嘲笑我的微积分基础还停留在大学二年级的水平。我花了整整一个周末的时间，才勉强啃完了第一章关于布朗运动的基本性质。作者在引入随机微分方程（SDEs）时，处理得非常细腻，每一个引理的推导都力求严谨，甚至连一些看似“显而易见”的步骤，他都要用大量的篇幅去解释背后的测度论基础。这对于想快速上手应用的人来说，可能会觉得拖沓，但我个人认为，正是这种对底层逻辑的坚持，才让这本书经得起推敲。特别是关于伊藤积分的构建部分，作者没有采用过于抽象的定义，而是通过逼近的方式，一步步引导读者理解为什么标准黎曼积分在这里行不通，这一点我非常欣赏。不过，说实话，后面的 Levy 过程和鞅的收敛性定理，我还是得配合着网上的讲座视频才能勉强消化，这本书的深度绝对不是那种“翻翻就能懂”的入门读物，更像是一本需要反复研磨的专业工具书。

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坦白讲，我买这本书的初衷是想快速掌握金融衍生品定价中的随机波动模型，但读完前几章后，我开始怀疑自己的选择。这本书的“应用”部分，相比于其扎实的“随机分析”基础，显得有些后置且不够直接。它更像是一本理论教材，而非一本实战手册。例如，在描述Black-Scholes模型时，作者似乎更关注于如何用伊藤公式推导股价比的随机微分，而不是如何利用这个模型去进行实际的期权定价或风险管理。它的习题设计也很有意思，大多是理论证明题，很少有直接让你套公式计算的案例。这对于学术研究者来说是宝贵的财富，但对于我这种需要快速将知识转化为生产力的工程师来说，感觉像是绕了一个大圈子。我甚至得自己去找一些基于这本书理论框架的案例解析来补充实践经验。不过，从另一个角度看，这本书的严谨性保证了你对模型的理解是建立在坚实的数学基础之上的，不会在遇到复杂情况时束手无策，只是这个过程未免太过漫长了些。

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这本书的配套资源，或者说作者留给读者的“开放性”讨论空间，是其另一大特点。它几乎没有提供任何在线勘误表或官方习题解答，这在今天这个资源共享的时代显得有些“古典”。这意味着一旦你遇到了一个证明环节卡壳，或者对某个推导过程产生了疑问，你唯一的途径就是深入钻研原著的上下文，或者求助于导师或同学。这无疑会极大地方便那些追求独立思考和深度钻研的读者，它强迫你“自己动手，丰衣足食”。但对于那些习惯了在线社区和快速反馈的年轻一代读者来说，这种“孤军奋战”的体验可能会带来挫败感。从某种意义上说，这本书的设计理念似乎是面向一个高度自律、并且能够承受数学抽象挑战的受众群体，它不提供拐杖，只提供坚实的路基，走多远，全看你自己的定力和理解力了。

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我必须得提一下这本书的章节组织逻辑，它简直是教科书式的“先广度后深度”的典范。作者似乎试图在一个卷子里囊括随机分析的所有重要分支：从基础的概率空间到连续时间鞅，再到随机积分、随机微分方程，甚至还花了相当大的篇幅讨论了马尔可夫链和泊松过程的更深层次性质。这种全面性固然值得称赞，但也导致了知识点的密度过高，各个部分之间的过渡略显生硬。比如，从 SDEs 跳到遍历性理论时，感觉就像是从高速公路突然拐进了乡间小路，需要时间来重新调整思维模式。这本书的优点在于它的“大全”性质，你几乎可以在这里找到大部分你需要的理论基石；但缺点也恰恰在于此，它缺乏聚焦，很难让一个特定方向的研究者迅速找到“捷径”。它更像是为你铺设了一条通往整个随机分析世界的宽阔大道，而不是一条直达目的地的快速通道。

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