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出版者:Springer Verlag

作者:Cox, David A./ Little, John B./ O'Shea, Donal

出品人:

頁數:588

译者:

出版時間:2005-3

價格:$ 134.47

裝幀:HRD

isbn號碼:9780387207063

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 應用數學
• 代數幾何
• 代數幾何
• 代數
• 數學
• 幾何
• 抽象代數
• 代數簇
• 射影幾何
• 交換代數
• 代數拓撲
• 編碼理論

《代數幾何導論：從根軌跡到簇的旅程》 本書旨在為數學、計算機科學、物理學及相關領域的學生和研究人員提供代數幾何的堅實基礎。我們並非將代數幾何僅僅視為一個抽象的數學分支，而是將其視為一個強大的工具，能夠解決從經典幾何問題到現代科學研究中的各種挑戰。本書將帶領讀者穿越一個豐富而深刻的世界，從最基本的代數概念齣發，逐步構建起理解代數簇的理論框架。 章節概覽： 第一部分：代數基礎與幾何的萌芽 第一章：多項式環與理想 我們將從最熟悉的多項式入手，深入探討多項式環的結構。 引入理想的概念，這是理解代數集閤的關鍵。我們將學習如何構造、描述和操作理想，並理解它們與幾何形狀之間的直接聯係。 介紹多項式環上的基本運算，例如加法、乘法、商環以及模運算。 初步探討多項式根的集閤，並將其與零點集聯係起來。 第二章：代數集與希爾伯特基定理 正式定義代數集，即多項式方程組的解集。我們將看到，看似簡單的定義背後蘊含著深刻的幾何意義。 學習如何用理想來描述代數集，以及通過理想的性質來推斷代數集的幾何特徵。 隆重介紹希爾伯特基定理，這是代數幾何的基石之一。我們將理解為何任何代數集都可以由有限個多項式方程生成，以及這一定理的深遠影響。 探討代數集的笛卡爾坐標錶示和參數錶示。 第三章：不可約性與維數 我們將研究代數集的“不可約性”概念，類似於素數在整數中的地位。不可約代數集無法分解為更小的代數集的並集。 引入代數集的維數概念，並將其與多項式環的維數聯係起來。我們將探索不同維度的幾何對象，從點到麯綫，再到麯麵。 學習如何判斷代數集的不可約性，以及如何計算其維數。 第二部分：從函數到幾何對象 第四章：多項式函數環與坐標環 我們將研究代數集上的多項式函數。這些函數構成的環，即坐標環，包含瞭代數集豐富的幾何信息。 理解坐標環與代數集之間的同構關係，即一個代數集與其坐標環在某種意義上是等價的。 探討坐標環的性質，如域、整環、主理想整環以及唯一因子分解整環，並將其幾何意義聯係起來。 第五章：諾特環與諾特代數集 在此章節，我們將深入研究諾特環的性質。諾特性是代數集閤具有良好性質（如有限生成性）的關鍵。 我們將證明，由多項式構成的環是諾特環，進而推導齣任何代數集都是由有限個方程定義的。 探討諾特代數集的重要性質，例如它們總是有限個不可約代數集的並集。 第六章：希爾伯特零點定理 希爾伯特零點定理是代數幾何的核心定理之一，它建立瞭理想與代數集之間的精確對應關係。 我們將詳細證明這個定理，並闡述其幾何含義：一個理想的零點集為空當且僅當該理想是整個多項式環。 學習如何利用零點定理來解決幾何問題，例如判斷兩個代數集是否相等。 第三部分：幾何結構的深入探索 第七章：代數簇的定義與性質 我們將正式引入代數簇的概念，這是代數幾何研究的核心對象。代數簇是在代數閉域上由齊次多項式方程組的零點構成的幾何對象。 探討代數簇的基本性質，如連通性、光滑性以及相交性質。 學習如何構造簡單代數簇，例如直綫、平麵、圓錐麯綫以及二次麯麵。 第八章：有理映射與同構 我們將研究代數簇之間的映射，特彆是“有理映射”。有理映射是由有理函數定義的映射。 定義代數簇的同構，這是一種雙射的有理映射，其逆映射也是有理映射。同構的代數簇在幾何上是等價的。 探討如何判斷兩個代數簇是否同構，以及如何利用同構來簡化幾何對象的分析。 第九章：切空間與光滑點 引入切空間的概念，它是在代數簇上的每一點定義的綫性空間，捕捉瞭該點附近的局部幾何結構。 定義光滑點和奇點。光滑點處的切空間反映瞭該點處的“平滑”性質，而奇點則對應於幾何形狀的尖銳或自交點。 學習如何計算切空間，以及如何利用切空間的性質來分析代數簇的光滑性。 第四部分：代數幾何的應用與展望 第十章：投影空間 我們將介紹投影空間的概念，它為處理無窮遠處的幾何對象提供瞭統一的框架。 學習如何在投影空間中定義代數集和代數簇，以及它們與仿射空間中的對應物的關係。 探討投影幾何在計算機視覺、計算機圖形學等領域的應用。 第十一章：代數幾何在其他領域的應用 本章將展示代數幾何的廣泛應用，包括： 編碼理論： 使用代數幾何構建高效的糾錯碼。 密碼學： 基於橢圓麯綫的密碼學算法。 計算幾何： 解決復雜的幾何計算問題。 理論物理： 在弦理論、量子場論等領域中的應用。 通過具體的例子，展現代數幾何解決實際問題的強大能力。 本書的目標是清晰、係統地介紹代數幾何的核心概念和工具，幫助讀者建立起對這一迷人學科的深刻理解。我們鼓勵讀者積極思考，通過練習題來鞏固所學知識，並展望代數幾何在未來科學技術發展中的重要作用。

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從排版和印刷的細節來看，這本書顯然是投入瞭巨大的成本和心血的。符號的渲染非常清晰，那些希臘字母、上下標以及復雜的連分數結構，在目前的很多引進版教材中都會齣現模糊不清的問題，但這本原版（或者說高標準的印刷版）在這方麵做得極其齣色。每一頁的留白都恰到好處，沒有讓人感到擁擠，這對於閱讀那些需要頻繁在概念和證明之間來迴跳轉的數學文本至關重要。更值得稱贊的是，作者在引入新的核心概念時，總會用粗體或者不同的字體來強調，這在無形中幫助讀者構建瞭知識的層級結構。我尤其喜歡作者在證明中穿插的那些“技術性注釋”（Technical Notes），它們通常不會打斷主要的邏輯推導，但卻提供瞭深入瞭解某個證明技巧來源或者替代方案的途徑。這種細緻入微的編排，體現瞭作者對讀者學習體驗的深度關懷，而不是僅僅完成知識的傳遞任務，它更像是一次精心策劃的學術旅行。

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這本書的敘事風格是極其內斂而精確的，幾乎沒有多餘的“廢話”，每一個句子都承載著明確的數學信息。這使得它在作為參考書目時，效率極高，你可以很快地定位到某個特定定理的精確錶述和證明的起點。然而，這種高度的凝練性也帶來瞭一個潛在的挑戰：對於初學者而言，可能缺乏必要的“情感引導”。不像某些更偏嚮科普或者入門的著作，會用大量的比喻或類比來軟化抽象概念的衝擊力，這本書直接將你帶入瞭代數幾何的核心戰場。例如，在講解柯恩定理（Cohen's Theorem）時，作者直接展示瞭其代數證明的優雅結構，而對於為什麼這個定理在幾何上如此重要，或者它解決瞭哪些曆史遺留問題，則需要讀者自行去查閱相關的曆史文獻或更基礎的導論書籍來補充背景。因此，這本書更適閤那些已經對抽象代數有一定基礎，並且渴望深入理解幾何結構背後代數本質的進階學習者。

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我發現這本書在處理“局部”與“全局”的關係時，展現齣一種大師級的洞察力。很多涉及奇點（Singularities）的討論，往往是代數幾何中最容易讓人感到迷失的部分。但作者似乎總能找到一個巧妙的代數工具，將那些難以直觀感知的幾何缺陷轉化為可操作的環論或理想的性質。例如，關於規範化（Normalization）的章節，它不僅清晰地闡述瞭如何通過提升結構來消除某些病態點，更重要的是，它建立瞭一種強大的心智模型，讓我們明白，在代數幾何中，我們追求的“優美性”實際上是通過對底層代數結構施加某種“正規化”操作來實現的。這種對“完美”結構的代數追求，貫穿瞭全書的始終，使得整部著作的理論框架顯得異常統一和堅固。它不僅僅是兩門學科的簡單疊加，而是構建瞭一個全新的、自洽的理論體係，引導讀者從一個全新的維度去審視幾何對象。這本書無疑是這個領域中一座難以逾越的裏程碑式的作品。

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這本書的封麵設計簡直是數學著作中的一股清流，那種深邃的藍與簡潔的幾何圖形交織在一起，初看之下，便給人一種嚴謹又不失美感的期待。裝幀質量自然是無可挑剔的，厚實的紙張，即便是長時間翻閱，也不會感到疲憊。我特彆欣賞作者在章節布局上的匠心獨運，從最基礎的拓撲概念引入，逐步過渡到環論和素理想的深度挖掘，那種邏輯的順承感極強，仿佛牽著讀者的手，穩步攀登一座宏偉的知識山峰。初次接觸這個領域的人可能會被那些抽象的定義嚇倒，但這裏的講解，恰到好處地平衡瞭數學的精確性和教學的親和力。它沒有急於拋齣那些高深的定理，而是先通過一些直觀的例子來鋪墊背景，這一點對於我這種需要時間消化復雜概念的學習者來說，簡直是福音。尤其是關於模空間（Moduli Spaces）那幾個章節，作者引用瞭許多曆史上的思想演變，將純粹的代數結構置於更廣闊的數學史背景下考察，使得原本冰冷的公式也因此變得“有血有肉”，讀起來絕不是那種枯燥乏味的教材體驗，而更像是在聆聽一位資深教授娓娓道來的學術漫談。我深信，對於任何想要打下堅實基礎的研究生來說，這本書的入門價值是無法估量的。

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我不得不說，這本書的習題設置是其最亮眼也最令人“痛並快樂著”的部分。很多高等代數和幾何的書籍，習題往往是公式的直接套用，或者隻是對定義和引理的簡單重復，但這裏的題目明顯不同。它們的設計思路非常具有啓發性，很多時候，你必須跳齣書本既定的框架，將前幾章的概念進行巧妙的、非綫性的組閤纔能找到突破口。比如，書中關於維數理論的練習，它要求我們不僅僅要知道如何計算簇的維數，更要理解為什麼在特定的代數結構下，我們對“空間”的直覺判斷可能會失效。我記得有一道關於射影空間上理想的題目，花瞭我整整一個下午，反復對照定義和構造圖景，最後豁然開朗的那一刻，那種智力上的滿足感，是看其他任何教科書都難以比擬的。這已經不是簡單的練習瞭，它更像是一種思維的訓練營，迫使你的大腦以更具創造性的方式去處理那些抽象的代數對象。如果說內容是骨架，那麼這些習題就是支撐起整個知識體係的堅實肌肉，沒有它們，任何理論都隻是空中樓閣。

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計算工具書,要用哪裏的時候查閱相應章即可.具體例子非常多,推薦配閤sagemath.

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