Introduction to Numerical Analysis (Texts in Applied Mathematics, No 12) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:R. Bulirsch

出品人:

页数:674

译者:

出版时间:1996-04-11

价格:USD 74.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387978789

丛书系列:Texts in Applied Mathematics

图书标签:

• 计算数学
• 数值方法
• 应用数学
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• 数学分析

引言 本书旨在为读者提供数值分析领域的基础知识和核心概念。我们将探索解决数学问题时，如何利用算法和计算技术来近似得到精确解。数值分析是科学计算的核心组成部分，在工程、物理、金融、统计等众多学科中都扮演着至关重要的角色。 第一部分：数值计算的基础 在深入探讨各种数值方法之前，有必要先理解计算机如何表示和处理数字，以及这些表示方式可能带来的误差。 浮点表示和误差分析： 我们将首先介绍计算机中实数的浮点表示方法，包括其原理、优势和局限性。在此基础上，我们将详细讨论在数值计算过程中必然出现的各种误差，如截断误差、舍入误差、归约误差和模型误差。理解这些误差的来源和传播方式，是进行可靠数值计算的关键。我们将学习如何量化和控制这些误差，以确保计算结果的准确性和稳定性。 数制转换与基数： 此外，我们还会简要回顾不同数制（如二进制、八进制、十进制、十六进制）之间的转换方法，以及它们在计算机科学中的应用。理解基数对于深入理解浮点表示至关重要。 第二部分：方程求解 求解方程，尤其是超越方程和非线性方程，是数值分析中最常见也是最基本的问题之一。 根的寻找： 本部分将介绍一系列用于寻找方程根的数值方法。我们将从最直观的图解法开始，然后转向更系统化的迭代法。 二分法： 我们将详细阐述二分法（或称对分法），这是一种基于中间值定理的稳健的求解方法。我们将分析其收敛速度和适用条件，并给出具体的算法步骤和算例。 不动点迭代法： 接下来，我们将学习不动点迭代法，并探讨如何将一个方程转化为不动点形式。我们将分析不动点迭代的收敛性判据，以及如何选择合适的不动点函数来加速收敛。 牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson Method）： 牛顿-拉夫逊法是一种非常强大且收敛速度快的迭代方法。我们将推导其迭代公式，讨论其几何意义，并分析其在不同情况下的行为，包括收敛性和可能遇到的问题，例如导数为零或迭代发散。 割线法（Secant Method）： 割线法是对牛顿-拉夫逊法的改进，它避免了计算导数的需要，通过使用两个最近的近似点来构造割线。我们将介绍其迭代公式，并与牛顿法进行比较。 线性方程组的求解： 求解线性方程组是许多科学和工程问题的基础。我们将介绍直接法和迭代法两大类方法。 直接法： 高斯消元法（Gaussian Elimination）： 这是求解线性方程组最基本、最常用的直接法。我们将详细介绍消元过程，包括行变换，以及如何通过回代求解。 LU分解（LU Decomposition）： 我们将讲解如何将系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，以及如何利用LU分解高效地求解线性方程组，尤其是在需要多次求解具有相同系数矩阵但不同右端项的方程组时。 克莱默法则（Cramer's Rule）： 尽管在实际计算中效率不高，克莱默法则提供了一种基于行列式的解析解，可以帮助我们理解线性方程组的结构。 迭代法： 雅可比迭代法（Jacobi Iteration）： 雅可比迭代法是一种基本的迭代求解方法，我们将介绍其迭代格式，并分析其收敛性判据。 高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）： 高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的一种改进，它利用了最新的迭代值，通常具有更快的收敛速度。我们将讨论其迭代公式和收敛性。 逐次超松弛法（Successive Over-Relaxation, SOR）： SOR法是在高斯-赛德尔法的基础上引入一个松弛因子，以进一步加速收敛。我们将探讨松弛因子的选择对收敛性的影响。 第三部分：插值与逼近 当只有离散的数据点可用时，插值和逼近技术允许我们构造一个连续函数来近似描述这些数据。 多项式插值： 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）： 我们将介绍拉格朗日插值多项式的构造方法，并讨论其唯一性和误差估计。 牛顿插值（Newton's Divided Differences）： 牛顿插值法通过计算差商来构造插值多项式，它具有递增和方便修改的优点。我们将讲解差商的计算和插值多项式的表达形式。 Hermite插值： Hermite插值不仅要求函数值相等，还要求导数值相等，因此可以提供更精确的插值。 样条插值： 三次样条（Cubic Splines）： 样条插值使用分段多项式来插值，可以避免高次多项式插值中出现的龙格现象（Runge's phenomenon）。我们将重点介绍三次样条的构造，包括其连续性和光滑性条件，以及其在数据平滑和曲线拟合中的应用。 函数逼近： 最小二乘法（Least Squares Approximation）： 最小二乘法用于寻找一个函数（通常是多项式）来最好地拟合一组数据点，使得数据点与函数值之间的误差平方和最小。我们将介绍其基本原理，包括线性最小二乘法，并讨论其在曲线拟合和数据回归中的广泛应用。 第四部分：数值积分与微分 数值积分和微分是在无法得到解析解时，计算定积分和导数的方法。 数值积分（Quadrature）： 梯形法则（Trapezoidal Rule）： 这是最基本的数值积分方法之一，它将积分区间分成若干小段，并在每段上用梯形来近似曲线下的面积。 辛普森法则（Simpson's Rule）： 辛普森法则使用抛物线来近似函数，比梯形法则具有更高的精度。我们将介绍其两种形式（1/3法则和3/8法则）。 高斯求积（Gaussian Quadrature）： 高斯求积是一种非常高效的数值积分方法，它通过选择最优的积分节点和权重来达到较高的精度。 数值微分： 有限差分法（Finite Difference Method）： 我们将介绍如何利用函数值之间的差分来近似计算导数，包括前向差分、后向差分和中心差分。我们将分析不同差分方法的精度和适用范围。 第五部分：常微分方程的数值解 常微分方程在描述物理、工程和社会系统的演变过程中起着核心作用。当解析求解困难或不可能时，数值方法就显得尤为重要。 欧拉法（Euler's Method）： 这是最简单、最直观的常微分方程数值解法。我们将介绍其向前、向后和梯形欧拉法，并分析其收敛性。 龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods）： 龙格-库塔法是一类非常常用且精度较高的常微分方程数值求解方法。我们将重点介绍经典的四阶龙格-库塔法（RK4），并解释其构造原理和优势。 多步法： 亚当斯-巴施弗特法（Adams-Bashforth Method）和亚当斯-穆尔顿法（Adams-Moulton Method）： 这些方法利用过去多个点的解来计算当前点的解，通常比单步法具有更高的效率。我们将介绍它们的迭代公式和适用性。 结论 本书的目的是为读者提供一个坚实的数值分析基础，使他们能够理解和应用各种数值方法来解决实际问题。通过对误差分析、方程求解、插值逼近、数值积分微分以及常微分方程数值解的学习，读者将掌握一套强大的工具，能够应对科学计算中的挑战。希望本书能够激发读者对数值分析的兴趣，并为他们进一步深入研究该领域打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本数值分析书是为数学专业的学生写的，数学味道浓烈！ 国内的大部分数值分析教材都是给工科研究生写的，只给了一些方法而已，数学专业的学生就没看的必要了。

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

我必须得提一下这本书的难度梯度控制，这绝对是教科书编撰艺术的一个典范。最初的章节，比如基础的线性代数在数值计算中的应用，读起来流畅自然，仿佛在进行一次轻松的数学漫步。然而，随着章节深入到微分方程的数值解法和稳定性分析，内容的密度和对读者预备知识的要求陡然提升，但这种提升并非是突兀或令人沮丧的，而是有条不紊、层层递进的。它要求读者必须在前面对基本概念（如矩阵范数、收敛半径等）有扎实的掌握。这种设置非常适合那些希望系统性地建立起从基础到前沿知识体系的读者。我发现自己不得不经常停下来，查阅之前章节的定义和引理，这种“自我修正”的过程，反而加深了对后续复杂理论的理解。可以说，这本书在挑战读者智力极限的同时，也始终提供了足够的脚手架，确保读者不会在攀登高峰的过程中失足跌落。它更像是一部精心设计的阶梯，每一步都为你准备好了下一步的支撑。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格，我个人认为，非常贴合其“应用数学”的定位。它不像某些纯理论书籍那样，将所有基础知识放在篇幅最前的部分，而是巧妙地将理论与实际应用场景紧密结合起来。例如，在讨论到插值方法的收敛性时，作者并没有停留在抽象的拓扑空间讨论上，而是立刻转向了有限元分析中对数据点精度的要求，这种“学以致用”的导向性，极大地激发了我继续深究下去的兴趣。阅读过程中，我注意到书中对算法描述的详尽程度达到了令人惊叹的地步。每一个核心算法，无论是高斯消元法还是更复杂的迭代求解器，其步骤都被分解得极其细致，仿佛是直接为编写程序代码提供了蓝图。这种详尽度，对于初学者来说是至关重要的保护伞，避免了在关键步骤上因为理解偏差而卡壳；而对于有经验的研究者而言，它也是快速回顾和校准自己理解的绝佳参考。这种务实的态度，让这本书的实用价值远超许多仅停留在理论层面的教科书。

评分☆☆☆☆☆

从装帧和排版的细节来看，这本书体现了一种对学术严肃性的坚持。字体选择偏向于清晰的衬线体，这在长时间阅读数学公式时，能有效地区分相似的符号，比如大写的‘I’和数字‘1’，这在快速浏览公式时尤其重要。更值得称赞的是书中对图表的运用。许多关键的数值行为，比如条件数过大导致的病态矩阵问题，或者不同步阶长对解的误差影响，都是通过清晰、标注明确的图形来辅助说明的。这些图表不是随意的插图，而是紧密服务于文本论证的工具。它们直观地揭示了那些单纯通过文字和公式难以把握的动态过程。例如，在讨论龙格-库塔法（Runge-Kutta methods）的局部截断误差时，附带的那个关于步长对局部误差影响的半对数图，对我来说，比单纯的数学推导更加深刻地解释了为什么高阶方法在某些情况下性能更优异。这种图形化的叙事能力，是很多传统教材所欠缺的。

评分☆☆☆☆☆

我将这本书推荐给我的几位研究生，他们在使用后反馈的普遍感受是，这本书的“深度与广度”达到了一个令人满意的平衡点。它既没有过度简化关键的数学原理以牺牲严谨性，也没有沉溺于过于晦涩的数学理论而忽略了实际的计算需求。尤其是在涉及非线性方程求解的部分，作者对牛顿法变体以及信赖域方法的论述，那种对计算效率和稳定性的权衡考量，是教科书级别的典范。它不仅仅告诉你“怎么做”，更重要的是告诉你“为什么这么做，以及这样做可能带来的后果”。这本书的价值在于，它培养的不仅仅是“计算员”，而是具有批判性思维的“数值分析师”。读完之后，你会发现自己看待数值问题的视角都变得更加成熟和审慎，不再满足于得到一个数字结果，而是会下意识地去评估这个结果的可靠性、误差来源以及计算的经济性。这是一部能够真正提升你解决问题能力的著作。

评分☆☆☆☆☆

这部数学著作的封面设计真是简洁而有力，黑白分明的排版，辅以那个醒目的系列标识——“Texts in Applied Mathematics”，立刻让人感受到一种严谨和权威的气息。我是在一位热衷于数值模拟的同行那里偶然看到这本书的，他当时的语气里充满了对这套丛书的推崇。初次翻开，首先映入眼帘的是清晰的字体和逻辑性极强的章节划分，似乎每一个定理的推导都经过了深思熟虑，力求在形式美感和数学严谨性之间找到一个完美的平衡点。内页的纸张触感也相当不错，长时间阅读下来眼睛不会感到明显的疲劳，这对于需要长时间浸淫在公式和证明中的读者来说，绝对是一个加分项。尤其是那些复杂的迭代过程和误差分析部分，作者似乎非常擅长将抽象的概念具象化，通过精心选择的例子引导读者逐步深入，而不是直接抛出令人望而生畏的结论。整本书散发着一种经典教材特有的沉稳气质，仿佛是经过了多年教学实践的检验和打磨，而非赶工之作。它不仅仅是一本工具书，更像是一位经验丰富的老教授，耐心地在你身边，引导你探索这片广袤的数值世界。

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