Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry (New Mathematical Library) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:The Mathematical Association of America

作者:Ross Honsberger

出品人:

页数:174

译者:

出版时间:1996-09-05

价格:USD 32.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780883856390

丛书系列:New Mathematical Library

图书标签:

• 几何
• Euclidean geometry
• 19th century
• 20th century
• Mathematics history
• New Mathematical Library
• Episodes
• Geometry education

《十九世纪和二十世纪欧几里得几何中的若干篇章》（新数学文库）内容梗概 本书并非一部涵盖欧几里得几何学全部历史或前沿研究的百科全书，而是聚焦于十九世纪和二十世纪，特别是从非欧几何的兴起到现代几何学诸多分支勃兴这一关键转型时期，所涌现出的一些具有代表性和深刻影响的特定“篇章”或主题。全书以一种深入浅出的方式，引导读者领略这些数学思想的演变轨迹、内在逻辑及其对后续数学发展产生的深远影响。 第一部分：奠基与拓扑的萌芽 本部分着重探讨了十九世纪几何学如何从严格的欧氏公理体系中挣脱出来，并开始向更广阔的空间概念迈进。 一、非欧几何的解放 详细阐述了罗巴切夫斯基（Lobachevsky）和鲍耶依（Bolyai）独立发现的罗氏几何（双曲几何）的构建过程。重点分析了对欧几里得第五公设（平行线公设）的质疑如何从一个看似纯粹的逻辑问题，演变为一场深刻的哲学和数学革命。书中将细致比对欧氏几何、罗氏几何以及后来的黎曼几何在曲率、三角形内角和定理等核心概念上的根本差异。此外，还会探讨克莱因（Klein）在埃尔朗根纲领（Erlangen Program）中，如何通过群论的视角重新定义几何学，将几何视为特定变换群的不变量研究，从而为所有几何学（包括射影几何和仿射几何）提供了一个统一的框架。 二、射影几何的深化 虽然射影几何的基础可以追溯到更早的时期，但十九世纪对透视和对偶性的深入理解达到了一个新的高度。本章将考察庞加莱（Poincaré）在双有理几何和拓扑学连接上的早期工作，以及笛卡尔坐标系在处理透视变换中的优势。重点将放在如何通过对偶原理（例如点与线、圆锥与圆锥的对偶性）来简化复杂的几何论证，以及这些思想如何为代数几何的诞生铺平了道路。 三、拓扑学的幽灵初现 在欧氏空间被打破之后，数学家开始关注在连续形变下保持不变的性质。本节将介绍拓扑学的先驱工作，特别是欧拉在柯尼斯堡七桥问题上的开创性工作，这标志着几何学从度量（长度、角度）转向了仅依赖于连接性和连续性的研究。虽然当时尚未形成成熟的拓扑学理论，但这些问题的解决思路和对“邻域”概念的初步引入，是理解现代几何学不可或缺的一环。 第二部分：微分几何的辉煌与张量分析的崛起 进入十九世纪中叶，对曲面的研究不再仅仅停留在描述性的层面，而是开始利用微积分工具进行精确的分析，这直接催生了现代微分几何。 四、高斯与“奇异的基本定理” 高斯（Gauss）对曲面论的贡献是几何学史上的一座里程碑。本章将深入剖析“奇异的基本定理”（Theorema Egregium），该定理指出高斯曲率是曲面本身固有的量，不依赖于该曲面如何嵌入三维欧氏空间。这一概念的提出，从根本上确立了“内蕴几何学”的可能性，也为黎曼几何提供了第一个可操作的内在不变量。书中有详细的推导和几何意义的阐释，解释了为什么测地线和曲率的概念可以脱离三维空间的直观感受而存在。 五、黎曼几何的宏伟蓝图 黎曼（Riemann）继承并超越了高斯的工作，将内蕴几何的概念推广到了任意维度的流形上。本节将详细介绍黎曼几何的基本结构：黎曼度量、测地线方程以及黎曼曲率张量。重点解释了黎曼几何如何提供了一个解决所有空间曲率问题的普遍框架，并阐述了张量分析（由意大利学派如里奇和列维-奇维塔发展）在描述这些几何对象时的不可替代性。 第三部分：二十世纪的整合与新范式 二十世纪，几何学开始与分析学、代数学进行深度融合，催生了新的研究领域和工具。 六、爱因斯坦的物理应用与引力场的几何化 本章将探讨黎曼几何如何走出纯数学领域，被爱因斯坦应用于广义相对论中。几何学不再仅仅是描述三维空间，而是成为描述四维时空结构的基础。重点分析了爱因斯坦场方程的几何本质，即物质的分布决定了时空的曲率，而时空曲率则决定了物质的运动轨迹。书中会清晰地展示张量分析如何成为连接微分几何与物理定律的精确语言。 七、代数几何的复兴与抽象化 在代数和拓扑的交叉点上，代数几何经历了重大的变革。本节将追溯从平面代数曲线到高维代数簇的发展历程。重点介绍韦伊（Weil）对代数几何基础的早期奠基工作，特别是使用拓扑工具（如Betti数）来研究代数方程解集的拓扑性质。虽然本书不会深入到更后期的 схемы 理论，但会清晰地描绘出代数几何如何从纯粹的“曲线与曲面”研究，转向对抽象概形的内在结构的探索。 八、辛几何与泊松结构 随着对保守系统的深入研究，辛几何（Symplectic Geometry）作为描述经典力学相空间的自然几何，开始受到越来越多的关注。本章将介绍辛流形、辛形式，以及泊松括号在几何化过程中的作用。它展示了如何利用几何结构来理解哈密顿力学，并指出辛几何在现代数学物理（如李普希兹空间理论和规范场论）中的持续重要性。 总结 全书旨在展示一个由欧氏公理的严格性向广阔的内在几何思想过渡的历史轨迹。它强调了概念的演进——从度量到不变性，从局部曲率到全局拓扑——而非对某一特定领域进行详尽的定理证明。读者将体会到，十九世纪和二十世纪的几何学家如何通过对“平行线”这一基本概念的重新审视，最终构建起一个远比人类直观经验更为丰富和深刻的空间图景。

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从结构上看，这部著作展现了极高的组织能力。它并非简单地按照时间顺序排列事件，而是根据特定的“思想主题”进行划分和深入挖掘，这使得读者能够清晰地把握不同数学分支之间相互影响、相互促进的复杂网络。例如，在讨论黎曼几何的兴起时，作者并没有孤立地看待它，而是将其置于当时物理学对绝对时空观念挑战的大背景下进行考察，这种跨学科的视野令人耳目一新。更妙的是，每一章节的收尾似乎都埋下了一个悬念，巧妙地将读者的注意力自然地引导至下一阶段的数学探索，这种编排的匠心独运，使得整部作品的阅读连贯性极强，一口气读完也不会感到疲惫。它成功地将一部历史著作转化为一场精心设计的“智力寻宝之旅”，每找到一个关键的历史节点，都伴随着深刻的认识升级。

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这本书的语言风格简直是一股清流，它避开了学院派写作中常见的晦涩与僵硬，转而采用了一种近乎文学化的细腻笔触来勾勒那些数学概念的“成长轨迹”。我尤其注意到作者在描述抽象概念时，总能找到一个绝佳的比喻，使得那些原本需要大量公式推导才能理解的逻辑跳跃，在阅读时变得异常顺畅和直观。举例来说，关于射影几何概念的引入，它不是通过生硬的定义堆砌，而是通过对透视法和视觉错觉的巧妙类比，瞬间点亮了读者的理解路径。这种处理方式，无疑降低了专业知识的门槛，让一个非专业人士也能窥见其中奥妙，但绝非肤浅的科普。它保持了对数学严谨性的尊重，同时又注入了人文关怀，使得那些冰冷的数字和线条仿佛拥有了生命和情感。这种平衡的拿捏，是许多同类书籍难以企及的，读来赏心悦目，每翻一页都像是进行了一次优雅的智力漫步。

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我必须指出，这本书对“欧氏几何”这个核心概念的解构和重塑过程，处理得极为精妙。它不是在歌颂欧氏几何的永恒正确性，而是在审视它是如何在一个不断变化的世界观中，从一个绝对真理的基石，逐渐演变为一个特定的、在特定框架下有效的模型。作者通过对诸如希尔伯特公理化体系等关键文献的细致剖析，展现了数学家们如何带着对确定性的渴望，去重新构建一个稳固的逻辑大厦。这种“祛魅”的过程，对于任何一个珍视逻辑确定性的人来说，都是一次醍醐灌顶的体验。它教会我们，科学的进步往往不是推翻旧有，而是更高层次的整合与限定。这本书读完后，我对“真理”的概念都有了更审慎的态度，这或许是任何一本优秀的历史著作能够给予读者的最高馈赠了。

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这部作品的叙事节奏感极强，它不像传统教科书那样平铺直叙地讲解定理，反倒更像是一部悬疑小说的展开，层层递进地揭示了欧氏几何在十九和二十世纪思想史中的关键转折点。作者似乎深谙如何将枯燥的数学演绎转化为引人入胜的故事线。特别是关于非欧几何萌芽时期，那些数学家们在面对传统公理体系的动摇时所表现出的挣扎与突破，被描绘得淋漓尽致。我特别欣赏作者在处理代数与几何交叉领域的洞察力，那种将看似分离的概念用一种精妙的“历史的必然性”串联起来的手法，让人拍案叫绝。阅读过程中，我时常有种错觉，仿佛自己正身处那些充满烟草味和咖啡香的沙龙里，亲耳聆听那些天才们激烈争辩的场景。这种沉浸式的体验，远远超越了一本纯粹的数学史著作所应有的深度和广度，它更像是一部关于人类心智如何重塑对空间认知的史诗。对那些只满足于解题的读者来说，这本书或许会显得有些“漫不经心”，但对于渴望理解数学思想演变脉络的人而言，它无疑是一座宝库。

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这本书的独特之处在于，它成功地挖掘出了“失落的对话”——那些被主流历史叙事所忽略的边缘贡献者和次要流派的影响。我们通常在教科书中接触到的几何发展往往是高度线性化的，但作者却花费了大量笔墨来探讨那些一度被认为是“死胡同”的理论方向，以及它们如何在潜移默化中为后来的重大突破提供了必要的铺垫。这种对历史“非线性”的尊重，极大地丰富了我对该领域发展的理解。它不再是几个伟人的独角戏，而是一个充满偶然性、竞争与合作的复杂生态系统。这种对细节的执着和对全局的把控，体现了作者深厚的学术功底和卓越的叙事技巧。我尤其对其中关于纯粹形式主义与直觉主义之间微妙张力的分析印象深刻，它揭示了数学哲学在那个转型期所经历的内心挣扎。

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