Riemannian Geometry in an Orthogonal Frame pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:[法]Elie Cartan

出品人:

页数:300

译者:Vladislav V. Goldberg

出版时间:2002-3

价格:USD46.00

装帧:Pap

isbn号码:9789810247478

丛书系列:

图书标签:

• 黎曼几何
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《黎曼几何在正交坐标系中的应用》 本书探讨黎曼几何的基本概念，并着重分析其在正交坐标系下的具体表达与应用。全书旨在为读者构建一个清晰、直观的几何框架，特别关注如何在具体计算中有效利用坐标系的特殊结构。 第一部分：基础概念与黎曼流形结构 本书伊始，我们将深入探讨黎曼几何的基石——黎曼流形。不同于欧几里得空间，黎曼流形允许我们在每个切空间上赋予一个正定、对称的张量，即黎曼度量。 1. 流形的拓扑与微分结构： 首先，我们回顾微分流形的定义，包括拓扑基础、图册、坐标变换以及光滑性概念。重点强调在构建几何结构前，流形本身必须具备的“光滑”属性，这是后续张量分析的前提。 2. 黎曼度量与内积： 黎曼几何的核心在于度量张量 $g_{ij}$。我们将详细介绍度量张量如何定义流形上的内积，从而测量切向量之间的夹角和长度。通过局部坐标系，度量张量表现为一组函数，其性质直接决定了流形的几何特性。我们探讨度量的正定性及其在长度和距离计算中的关键作用。 3. 测地线方程的推导： 测地线是黎曼流形上“最短路径”的推广。本书将从变分原理（作用量最小化）出发，严格推导出测地线方程。在局部坐标系下，该方程通常涉及克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）。我们将详细解析克里斯托费尔符号的定义 $Gamma^k_{ij} = frac{1}{2} g^{km} (partial_i g_{jm} + partial_j g_{im} - partial_m g_{ij})$，并阐明它们如何编码了流形上的曲率信息，即使在局部平坦的空间中也至关重要。 第二部分：正交坐标系下的特殊结构 本书的独特之处在于系统地研究当局部坐标系满足某种正交条件时，黎曼几何的表达如何简化和优化。我们主要关注两类重要的正交体系：局部正交坐标系和正交坐标变换群。 4. 局部正交坐标系的几何特性： 在一个局部坐标系 ${x^1, x^2, dots, x^n}$ 中，如果度量张量在局部呈现对角形式，即 $g_{ij} = 0$ 当 $i eq j$ 时，我们称之为局部正交坐标系。在这种情况下，度量张量仅由 $n$ 个独立的函数 $h_i^2(x)$ 决定：$ds^2 = h_1^2(dx^1)^2 + h_2^2(dx^2)^2 + dots + h_n^2(dx^n)^2$。 克里斯托费尔符号的简化： 当度量为对角形式时，克里斯托费尔符号的计算大幅简化。非零的 $Gamma^k_{ij}$ 仅存在于 $i=j=k$ 或 $i eq j, k=i$ 或 $k=j$ 的情况下。例如，$Gamma^i_{ii} = frac{1}{2} frac{partial ln g_{ii}}{partial x^i}$。我们将系统地列出二维和三维空间中，在常见正交坐标系（如柱坐标、球坐标）下度量和克里斯托费尔符号的具体表达式。 5. 正交坐标系下的测地线方程： 在对角度量下，测地线方程的二阶常微分形式可以被清晰地展示。利用能量守恒和角动量守恒的类比，我们可以识别出在特定坐标方向上的“广义动量”或“守恒量”，从而辅助求解测地线。我们将详细分析在二维曲面上，利用正交坐标（如极坐标）求解测地线的具体步骤。 第三部分：黎曼曲率张量与正交分解 曲率是度量流形偏离平直性的关键指标。本书将侧重于如何利用正交性来简化曲率张量的计算和解释。 6. 黎曼曲率张量 $R^k_{lij}$ 的定义与计算： 我们从黎曼曲率张量的定义 $R(X, Y)Z = abla_X abla_Y Z - abla_Y abla_X Z - abla_{[X, Y]} Z$ 出发，过渡到其张量分量形式。重点讨论如何利用黎曼度量的逆 $g^{ij}$ 来降低指标。 7. 曲率在正交框架下的简化： 在局部正交坐标系中，曲率张量的许多分量会因克里斯托费尔符号的简化而变得更容易计算。我们将聚焦于里奇张量（Ricci Tensor）和里奇标量（Ricci Scalar）。在二维流形上，所有曲率信息都集中在高斯曲率 $K$ 上，而正交坐标系使得高斯曲率的计算简化为对度量函数（比例因子）的偏导数运算。 8. 正交分解与截面曲率： 截面曲率（Sectional Curvature）衡量了流形在特定二维切平面上的弯曲程度。在正交基下，任意二维平面都可以由两个正交的切向量张成。我们将展示如何利用这组正交基，将复杂的截面曲率分解为仅依赖于度量函数导数的表达式。这在分析具有对称性的空间（如空间形体或轴对称流形）时尤为有力。 第四部分：应用实例与几何物理 本书最后一部分将结合前述的正交坐标系技术，解决实际的几何物理问题。 9. 平凡的黎曼几何：欧几里得空间的正交坐标系： 我们首先回顾在欧几里得空间中，笛卡尔坐标系（天然正交）下的度量、克里斯托费尔符号（恒为零）和曲率（恒为零）如何自然地融入黎曼几何框架。随后，我们将这些概念推广到柱坐标和球坐标，展示这些坐标系如何成为非平坦空间中理想正交框架的范例。 10. 经典场论中的应用： 在经典力学和电磁学中，许多物理定律（如拉普拉斯方程、波动方程）通常在特殊对称性的系统中用正交坐标系表达。我们将展示如何将这些偏微分方程转化为黎曼流形上的协变导数形式。特别是，在曲线上或曲面上，利用自然正交坐标系（如固有坐标系）来简化这些方程的求解过程。例如，在三维空间中，分析具有轴对称性的势场问题时，球坐标系的正交性提供了计算梯度和拉普拉斯算子的捷径。 11. 结论与展望： 本书总结了正交坐标系在黎曼几何计算中的核心优势：通过简化克里斯托费尔符号和曲率张量的表达，极大地降低了求解测地线和分析曲率的难度。我们强调，理解何时可以引入或识别一个局部正交结构，是高效应用黎曼几何的关键技能。

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这本书的章节组织结构严谨得近乎刻板，但也正是这种规律性，使得知识的检索和回顾变得异常高效。我发现它在处理一些棘手的全局问题时，例如关于完备性的讨论，采用了非常系统化的方法，通过对梯度流的分析来构建所需的例子和反例。与一些侧重于拓扑或拓扑学应用于微分几何的书籍不同，这本书显然更偏向于分析和代数的结合。它更关心如何精确地计算和证明，而不是探索那些更抽象的分类结果。有一个细节值得称道：作者在引入共边束（Cotangent Bundle）的结构时，非常细致地讨论了辛结构与其上的黎曼度量如何相互作用，这在许多标准教材中往往是一笔带过的内容。这种对基础结构细致入微的刻画，体现了作者对该领域深厚的理解和对教学严谨性的坚持。这本书无疑是一部需要反复研读、时常翻阅的参考手册，而非一次性读完的文学作品。

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阅读这本书的过程，就像在攀登一座结构精密的几何迷宫，每深入一层，都能发现前人智慧的印记。最让我印象深刻的是作者对“曲率”概念的多角度诠释。他没有仅仅停留在魏因加滕（Weingarten）或里奇（Ricci）曲率的代数表达上，而是巧妙地将它们融入到对测地线偏离的物理直觉描述中。书中关于“正交系”的构建，似乎与经典物理学中场论的某些解耦策略有着异曲同工之妙，暗示了这种几何工具在理论物理中的潜在应用价值。我甚至在思考，如果将这些结构用更现代的语言，比如通过某种特定的纤维丛理论来重新表述，会产生什么样的效果？这本书显然是站在传统黎曼几何的坚实地基上，试图用一种非常结构化的方式来组织这些知识。尽管某些图示稍显陈旧，但其代表的几何意义却是永恒的。它迫使读者去思考“局部最优”如何构建“全局最优”的结构，这种思维的训练价值无可估量。

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这本书的叙述风格相当内敛且高度专业化，几乎没有多余的闲聊或历史背景的穿插，直奔主题的节奏让人感到一种学术上的纯粹。我个人偏爱这种“教科书式”的写作方式，它要求读者必须集中注意力，不容许任何思维上的懈怠。然而，这种高度凝练的语言也带来了理解上的挑战。某些关键的证明步骤，虽然逻辑链条完整无缺，但中间的“跳跃”似乎略显仓促，需要读者自己去填充一些必要的中间推导环节。例如，在介绍李导数的部分，作者直接给出了一个微分形式在流下的演化公式，但对于如何从基础的向量场推导出这个公式的细节，描述得不够详尽。这不禁让人猜测，作者可能预设了读者对经典微分几何语言已经非常熟悉。对于我这样的研究人员来说，这节省了时间；但对于想要深入此领域的新手来说，这可能成为一道不易逾越的障碍。这本书更像是为那些已经站在一定高度，需要一个清晰、无冗余蓝图来组织知识的学者准备的。

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从阅读体验来看，这本书的难度曲线分布得相当不均匀。前三分之一部分，关于流形的微分结构和切空间的概念介绍，可以说是流畅且易于吸收的，作者使用了大量类比和几何直观来辅助理解。然而，一旦进入到张量分析和曲率形式的讨论，难度便陡然上升，需要读者对线性代数和多重线性代数的知识有近乎完美的掌握。我尝试将其用于一个跨学科的研讨会准备，发现它在提供精确数学定义方面表现出色，但在将这些定义与物理或工程上的实际问题联系起来时，提供的连接点相对较少。它是一座非常坚固的纯粹数学殿堂，但通往“应用之门”的指引稍显不足。总而言之，这是一部份量十足的著作，它不会轻易地将真理拱手相让，但对于那些愿意付出努力去挖掘其深度内涵的读者，它将给予丰厚的回报，尤其是在理解黎曼几何中那些最核心、最精妙的代数几何关系方面。

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这本书的封面设计有一种复古而严谨的美感，深蓝色和金色的搭配透露出一种经典数学著作的气息。内页的排版布局清晰，字体选择也十分考究，使得即使是面对相对复杂的公式和定义时，读者的视觉疲劳也能得到有效的缓解。从目录上看，作者似乎试图构建一个非常完整的理论框架，从基础的流形概念开始，逐步深入到黎曼度量、测地线、曲率张量的计算，再到更高级的拓扑和分析结果。我特别留意到关于“正交标架”的讨论，这通常是微分几何中处理局部问题的有力工具，但要在全局框架下系统地阐述，对作者的功力是极大的考验。初读前几章，感觉到作者在概念的引入上非常谨慎，不急于抛出复杂的定理，而是花大量篇幅来建立直观的几何图像，这对于初学者来说无疑是一大福音。不过，对于经验丰富的读者而言，可能需要耐心等待那些令人眼前一亮的深刻洞察。整体而言，这本书的装帧和初步印象，让人感受到它并非一本追求新奇概念的“时髦”教材，而更像是一部旨在奠定坚实基础的工具书。

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