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出版者:北京世界图书出版公司

作者:John M.Lee

出品人:

页数:224

译者:

出版时间:2003-11

价格:39.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787506265515

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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几何的深邃交响：流形、拓扑与微分几何的探索 本书旨在为数学学习者和研究人员提供一套全面、深入的几何学基础，重点聚焦于微分几何的核心概念及其在现代数学中的广泛应用。我们致力于构建一个严谨的逻辑框架，从最基础的拓扑空间概念出发，逐步引入光滑结构、切丛、张量分析，最终抵达黎曼几何的宏伟殿堂。本书的叙述风格力求清晰、详尽，避免使用过于晦涩的行话，同时保持数学推导的精确性。 第一部分：拓扑基础与光滑结构的建立 第1章：拓扑空间的重温与深化 本章首先回顾了拓扑学的基本定义：开集、闭集、邻域、连续函数。我们将重点放在紧致性、连通性以及分离公理（如Hausdorff性质）的深入探讨，这些性质是构建光滑流形所必需的先决条件。我们详细分析了子空间拓扑、商拓扑和积拓扑的构造方式，并通过具体的例子说明了这些构造如何影响空间的内在结构。特别地，我们将讨论嵌入定理和收敛性在这些空间中的表现。 第2章：从图册到流形 流形的概念是连接拓扑学与微分学的桥梁。本章将严格定义一个$n$维拓扑流形，并引入“图册”（Chart）和“坐标系”的概念。我们详细阐述了“转移映射”（Transition Maps）的必要性与关键作用。核心在于定义“光滑性”——即转移映射必须是无穷次可微的。我们构建了最基本的流形实例，如球面、环面，并探讨了更高维空间的构造。 第3章：向量场与切空间 一旦定义了光滑结构，我们便可以引入微积分的概念。本章首先引入了曲线的一般化——曲线的切线向量——进而导向“切空间”的严格定义。我们从导数在函数上的作用出发，正式定义了切向量是线性泛函的极限，是流形上一点处的“方向空间”。我们详尽讨论了如何利用局部坐标系来表示切空间，并证明了切空间是一个有限维向量空间，其维数等于流形的维数。 第4章：张量场与微分形式 张量是多重线性代数的自然推广，它们是微分几何中不可或缺的工具。本章将张量场定义为光滑截面，并分类讨论了协变张量（如1-形式）和逆变张量（如向量场）。我们将重点放在微分形式上，详细介绍了楔积（Wedge Product）的构造及其在积分和外微分中的核心地位。我们将推导微分形式在坐标变换下的具体表示，并展示如何利用外微分构建一个与局部坐标选择无关的内在结构。 第二部分：微分几何的核心工具 第5章：流上的动力学与积分 本章关注流形上的向量场所定义的动力学系统。我们定义了向量场生成的流（Flow），并探讨了流的局部存在性和唯一性定理。接着，我们引入了沿曲线的积分（线积分）概念，并将其推广到微分形式上的积分。这里，我们将严格证明和应用斯托克斯定理（Stokes' Theorem），这是连接微分和积分的基石，揭示了边界和内部之间的深刻联系。 第6章：联络与协变导数 要在流形上定义“平移”或“方向保持”的概念，需要引入联络（Connection）。本章将解释为什么在一般的非欧几里得空间中，仅仅依赖局部坐标导数是不足够的。我们定义了向量场、张量场以及更高阶对象（如(p, q)型张量）的协变导数。我们将重点讨论Levi-Civita联络的唯一性，即它是由度量张量唯一确定的无挠（Torsion-free）且兼容的联络。 第7章：曲率的几何诠释 曲率是衡量空间“非平坦性”的量度。本章从两种主要曲率概念入手：黎曼曲率张量和截面曲率。我们利用联络的结构，通过曲率张量来衡量向量场平行移动的路径依赖性。我们将详细推导黎曼曲率张量的定义公式，并讨论其代数性质（如第一和第二比安基恒等式）。截面曲率的引入，则提供了对曲率的直观几何解释，它描述了两个向量所张成的二维平面上的曲率。 第三部分：黎曼几何的建立 第8章：黎曼度量与正定性 黎曼几何是在流形上赋予内积结构的几何学。本章正式引入黎曼度量张量 $g$，定义它是一个光滑的、处处正定的对称 (0, 2) 型张量场。度量决定了流形上的长度、角度和体积概念。我们详细讨论了度量张量在局部坐标下的具体形式，并解释了其逆张量$g^{-1}$在处理张量指标升降中的作用。 第9章：测地线与最短路径 在黎曼流形上，“直线”的概念被测地线（Geodesics）所取代。本章将测地线定义为保持方向的曲线，即其切向量的协变导数为零的曲线。我们推导出测地线方程，这是一个二阶常微分方程，其系数由黎曼度量张量及其导数（即Christoffel符号）决定。我们还将讨论测地线的变分原理，从而证明测地线是连接两点间的“局部”最短路径。 第10章：体积形式与空间形变 黎曼度量张量允许我们定义流形上的体积形式——即由度量张量行列式决定的$n$-形式。本章将介绍由体积形式诱导的Hodge对偶运算，这极大地简化了微分形式在积分和分析中的处理。我们还将讨论体积元如何与曲率相关联，特别是对于均匀空间，体积的增长率直接反映了其曲率的符号。 第11章：空间曲率的拓扑联系 本章致力于连接微分几何的局部分析与拓扑学的全局性质。我们将回顾高斯绝妙定理（Gauss-Bonnet Theorem）在二维黎曼曲面上的表述，证明总曲率的积分与拓扑不变量（如亏格）成正比。虽然我们将不深入探讨高维的通用公式（如Chern-Weil理论），但会讨论截面曲率如何影响测地线的汇聚与分离，为理解空间形变提供直观的几何图像。 本书的结构旨在引导读者从抽象的拓扑概念出发，逐步掌握构建光滑几何结构所需的全部工具，最终能够独立分析和理解黎曼流形上的基本几何性质，为进一步探索更高级的几何分支（如辛几何、复几何或拓扑场论）打下坚实的基础。

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我花了整整一个周末才勉强读完这本书的前三分之一，坦白说，这书的密度实在太高了。每一页都塞满了需要反复咀嚼才能消化的信息，我不得不频繁地停下来，拿出纸笔进行演算和勾画。作者对细节的把控达到了偏执的程度，任何一个看似微不足道的引理，其背后的论证链条都极其完整和严谨。我特别欣赏它在处理微分几何部分时所展现出的那种“外科手术般”的精确性。每一步的逻辑跳跃都被填补得密不透风，让人完全找不到任何可以质疑的地方。但是，对于追求快速掌握知识的读者来说，这本书可能会显得有些“慢热”。它需要你投入大量的时间和精力去‘磨合’，去适应作者构建的这个严密的世界观。我读到关于曲率张量的那一章时，清晰地感受到了一种智力上的挑战，仿佛在攀登一座需要极高耐力的山峰，但一旦登上顶峰，俯瞰全局的震撼感是任何通俗读物都无法比拟的。

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这本书最大的亮点在于它对历史脉络的梳理，这一点常常被其他同类著作所忽视。作者并没有急于展示最前沿的成果，而是花了大量篇幅去探讨早期数学家们是如何一步步建立起这些宏伟理论的。他将这些抽象概念的诞生，置于当时的数学思潮和物理学需求的大背景下进行考察，这极大地丰富了我对这些概念的理解层次。比如，通过讲述爱因斯坦早期在引力理论上的挣扎，再回头看这些流形上的张量分析，你会发现那些冷冰冰的符号背后，蕴含着人类对时空本质的深刻洞察。这种叙事手法，让原本枯燥的理论学习过程充满了人文关怀和探索的乐趣。它不再是孤立的数学工具，而是人类智慧在特定历史阶段的结晶。我强烈建议那些对数学哲学感兴趣的读者也应该翻阅此书，它能帮你建立起对纯数学研究更深层次的敬意和认同感。

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这本书的装帧质量和纸张触感给我留下了极其深刻的印象，这绝对是一本可以被珍藏的藏书。封面采用了哑光处理，握在手中有一种沉甸甸的质感，感觉非常‘高级’。内页纸张的选材也很有讲究，米白色的纸张最大限度地减少了印刷反射光对眼睛的刺激，即便是连续阅读数小时，眼睛也比看其他教材舒服得多。这种对物理载体的重视，本身就传递出一种对知识的尊重，仿佛在提醒读者，你正在接触的是经过时间沉淀的、值得被郑重对待的思想精华。从印刷工艺来看，图表和公式的清晰度达到了专业级别的标准，没有任何模糊或套印不准的情况。市面上很多理论书籍为了节约成本，在物理呈现上做得非常粗糙，这本书在这方面做到了极致，体现了出版方对学术读者的诚意。它不仅是知识的容器，本身也是一件精美的工艺品。

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说实话，这本书的习题部分简直是“魔鬼训练营”，但也正因如此，我才觉得它物超所值。很多习题的设计巧妙地避开了直接套用公式的陷阱，而是要求读者必须真正内化了核心概念，才能找到最优解。有些题目我反复思考了好几天，在几乎要放弃的时候，突然灵光一闪，那种茅塞顿开的喜悦感是无与伦比的。这本书的作者似乎非常清楚读者的思维盲区在哪里，他设置的陷阱也恰到好处地暴露了我在理解上的薄弱环节。通过这些训练，我发现自己对“局部性质如何决定全局结构”这个问题有了更深刻的体会。唯一的缺点是，部分高阶习题的参考答案缺失或者过于简略，导致我有时需要花费额外的精力去验证自己的推导过程，这对于自学者来说是个不小的挑战，但从另一个角度看，这也逼迫我进行了更彻底的独立思考，算是一把双刃剑吧。

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这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，深邃的蓝色调配上一些抽象的几何图形，让人立刻联想到宇宙的浩渺和数学的精妙。我原本以为这会是一本晦涩难懂的专业书籍，毕竟“流形”这个词听起来就让人头大。然而，翻开内页后，我被作者娓娓道来的叙述方式深深吸引。它不像教科书那样生硬地堆砌公式，而是更像一位知识渊博的老者，耐心地为你揭开隐藏在复杂概念背后的直观美感。特别是作者在介绍拓扑学基础概念时，用了很多生活化的比喻，比如将“连通性”比作一串未断开的项链，让我这个非科班出身的读者也能迅速抓住重点。阅读过程中，我感觉自己仿佛置身于一个由纯粹思想构建的空间，每理解一个定理，都像是在宇宙中点亮了一盏新的灯塔，照亮了未知的领域。这本书的排版也做得非常考究，留白恰到好处，公式的推导逻辑清晰，让人在长时间阅读后也不会感到眼睛疲劳。它成功地架起了一座连接纯粹数学与普通求知欲的桥梁，这种体验是极其宝贵的。

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