Applied Geometry for Computer Graphics and CAD (Springer Undergraduate Mathematics Series) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Duncan Marsh

出品人:

页数:350

译者:

出版时间:2004-11-05

价格:USD 39.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781852338015

丛书系列:Springer Undergraduate Mathematics Series

图书标签:

• Graphics
• 数学
• 计算机图形学
• 几何
• Math
• 计算机科学
• 计算机技术
• 图形学
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探索三维世界的几何基础：面向计算机图形学与计算机辅助设计的数学视角 图书简介 本书旨在为读者提供一个坚实而深入的数学基础，重点关注在计算机图形学（Computer Graphics, CG）和计算机辅助设计（Computer-Aided Design, CAD）领域至关重要的几何学原理。我们深入探讨了构成现代三维建模、渲染和分析技术的核心数学工具和概念，旨在弥合纯数学理论与实际工程应用之间的鸿沟。 本书的结构经过精心设计，从基础的线性代数和欧几里得几何出发，逐步过渡到更高级的主题，如微分几何在曲面表示中的应用，以及变换理论在空间操作中的关键作用。我们不仅阐述“如何做”，更侧重于解释“为何如此”，确保读者能够理解算法背后的数学逻辑，从而具备设计和实现创新解决方案的能力。 第一部分：构建基础——线性代数与欧几里得空间 第1章：向量空间与坐标系 本章从严格的数学定义出发，回顾了实数域上的向量空间。重点讨论了仿射空间（Affine Space）的概念，这是理解计算机图形学中对象位置和方向的基础。我们将详细介绍笛卡尔坐标系的构建、基底的选择及其对几何描述的影响。 重点内容： 向量的线性组合、线性无关性、基的选取、坐标变换的几何意义。 应用视角： 如何在计算机内存中高效地存储和操作三维点和方向。 第2章：欧几里得度量与变换 本章深入探讨了欧几里得空间中的度量结构，即点积（内积）和范数。理解点积是计算角度、投影和距离的关键。我们将严格推导刚体变换（Rigid Transformations），包括旋转（Rotation）和平移（Translation）。 重点内容： 点积的性质、施密特正交化过程的几何解释、正交矩阵的特性、旋转矩阵的限制（如万向节死锁的数学根源）。 应用视角： 解释欧拉角、轴角表示法以及四元数（Quaternions）的数学优势，特别是在避免数值不稳定性和插值方面的表现。 第3章：矩阵表示与齐次坐标 为了将所有仿射变换（包括透视投影）统一在一个框架下，本章引入了齐次坐标系（Homogeneous Coordinates）。这是计算机图形学中描述空间变换的标准方法。 重点内容： 齐次坐标的维度扩展、$4 imes 4$ 变换矩阵的构造、矩阵乘法的顺序对最终结果的决定性影响（例如，先旋转后平移与先平移后旋转的区别）。 第二部分：核心建模工具——曲线与曲面的代数表示 第4章：参数曲线的基础 本章聚焦于用参数方程来描述一维几何对象——曲线。我们将从最简单的直线和圆开始，随后过渡到贝塞尔曲线（Bézier Curves）。 重点内容： 伯恩斯坦基函数（Bernstein Basis Functions）的构造、分段曲线的连接条件（C0, C1, C2连续性）、曲线的几何构造方法（如De Casteljau算法的几何直观解释）。 应用视角： 样条曲线在字体设计、路径规划中的基础作用。 第5章：B样条与NURBS几何 贝塞尔曲线的局限性促使我们转向更灵活的B样条（B-Splines）。本章将详细分析B样条的分段多项式特性和局部控制性。随后，我们将引入NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines），这是工业CAD和CG领域最主流的曲面表示方法。 重点内容： 结点向量（Knot Vector）的概念及其对曲线形状的精确控制、有理多项式的引入（权重的作用）、NURBS如何统一二次曲线、锥面和一般自由曲面。 应用视角： 理解NURBS在航空航天和汽车设计中作为精确几何描述的地位。 第6章：隐式表示与布尔运算 除了参数化表示，本章探讨了用方程来定义几何对象的隐式方法，特别是二次曲面（Quadrics）的矩阵表示（如球面、椭球体、抛物面）。 重点内容： 曲面方程的二次型矩阵表示、如何通过矩阵特征值分析判断曲面类型。 应用视角： 隐式曲面在光线追踪（Ray Tracing）中的求交计算，以及CSG（Constructive Solid Geometry）中布尔运算的数学基础。 第三部分：从离散到连续——微分几何的初步接触 第7章：空间曲面的局部几何 本章将视角提升到对曲面局部性质的分析，这是理解光照、曲率计算和网格优化的关键。我们将引入第一基本形式（First Fundamental Form），用于度量曲面上的长度和角度。 重点内容： 坐标系到曲面参数化的映射、度量张量的概念、曲面的第一基本形式及其与曲率计算的关系。 第8章：曲率与形状描述 对曲面形状进行量化描述是工程分析的必要步骤。本章重点讲解主曲率（Principal Curvatures）、高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）。 重点内容： 第二基本形式的引入、曲率的几何意义（例如，高斯曲率为负代表鞍点），以及它们如何影响渲染中的反射和折射特性。 应用视角： 解释曲率流（Mean Curvature Flow）在网格平滑和形状保持中的应用。 第四部分：虚拟世界的投影与可视化 第9章：透视投影的几何模型 本章详细剖析了图形学中如何将三维世界物体映射到二维屏幕上，这完全依赖于投影几何。我们将严格推导透视投影矩阵。 重点内容： 视点（Eye Point）、视平面（Projection Plane）、投影中心的概念、投影变换的非线性本质（相较于仿射变换）。 应用视角： 理解视锥体（Viewing Frustum）的定义、裁剪（Clipping）的数学依据，以及如何计算屏幕坐标。 第10章：光线与几何的交互 光线追踪算法的核心在于计算光线与场景中几何体之间的精确交点。本章将把前述的几何表示方法应用于光线求交问题。 重点内容： 直线与平面、直线与三角形（如Möller-Trumbore算法的几何推导）、直线与参数曲面（如NURBS、二次曲面）的求交方法（通常涉及求解高次方程）。 应用视角： 建立反射光线、折射光线的计算模型，这是实现真实感渲染的基础。 全书贯穿了大量的几何证明、公式推导和面向计算机实现的数值方法讨论，旨在培养读者从几何直觉出发，利用严谨的数学工具解决复杂的计算机图形学与CAD问题的能力。本书要求读者具备微积分和基础线性代数知识，是相关专业高年级本科生、研究生以及从事几何建模和图形算法开发的专业人士的理想参考书。

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对于那些想从计算机科学跨界到专业几何建模领域的读者，这本书提供了一个非常平滑但又极具挑战性的过渡路径。它在章节安排上体现了极强的专业性——从基础的向量代数和变换，到曲线曲面的参数化，再到最后的应用，结构清晰，层层递进。我个人认为，书中关于“空间数据结构”和“可见性判定”的几何基础论述尤其精彩。它没有直接介绍KD树或八叉树的实现细节，而是深入分析了这些数据结构背后所依赖的空间剖分（Spatial Partitioning）理论，特别是如何利用投影几何来优化可见性计算的效率。这使得读者在面对大规模场景渲染的性能瓶颈时，能够从几何原理层面去思考优化方向，而不是仅仅停留在代码层面的调优。这本书的特点是，它将“计算”的需求融入到“几何”的阐述之中，时刻提醒读者，这些纯粹的数学结构最终是要被高效地在有限的计算资源上实现的。它不是一本告诉你“怎么做”的书，而是一本告诉你“为什么这样是最好的数学解法”的书，其深度足以支撑多年的专业研究和实践。

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我发现这本书在处理几何约束和优化问题时的视角非常独特，它巧妙地融合了经典的欧几里得几何与现代的数值分析方法。例如，在处理“最小二乘法拟合”或“非线性约束优化”来修正不完美的CAD模型时，作者展示了如何将几何误差转化为一个可解的能量函数，并应用梯度下降等数值方法进行迭代求解。这种将抽象几何转化为可计算的优化问题的能力，是现代计算机图形学和精确工程领域的核心能力之一。与其他专注于纯粹理论推导的数学书籍不同，这本书总是将数学工具与实际应用场景紧密挂钩，但这种挂钩是建立在深刻的数学理解之上的。它不回避复杂性，反而拥抱它，通过严谨的数学语言来驯服这些复杂的几何关系。对于希望从事逆向工程、误差分析或需要开发高度定制化几何内核的专业人士而言，这本书的价值无法估量。它提供的知识体系，保证了你在面对任何前沿的几何计算挑战时，都能回溯到最可靠的数学源头，而不是被各种快速迭代的软件工具所局限。

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这本书的叙事节奏是相当“英式”的，非常注重逻辑的严密性和论证的完整性，以至于某些章节的阅读体验更接近于研读一篇高质量的学术论文。它没有过多地使用花哨的彩色图例或者大量的代码示例来分散注意力，而是将重点完全放在了概念的精确定义和定理的推导上。这种风格对于那些追求学术深度而非速成技巧的读者来说是极大的福音。例如，在涉及隐式曲面表示（Implicit Surfaces）和布尔运算的章节，作者对“边界表示”（Boundary Representation, B-Rep）和“构造实体几何”（Constructive Solid Geometry, CSG）的数学基础进行了深入对比和剖析，清晰地阐明了每种方法在拓扑处理上的优势与局限性。这对于从事复杂装配体建模或进行几何数据结构设计的工程师来说，提供了至关重要的决策依据。如果你指望这本书能告诉你如何在OpenGL或DirectX中快速实现一个纹理贴图，那你可能会失望；但如果你想知道为什么这些库中的几何变换矩阵是那样的，以及它们在数学上是如何保证变换的刚性或非刚性，那么这本书就是你需要的“内功心法”。它的价值在于构建起一个牢不可破的理论地基。

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读完这本书，我有一种感觉，它更像是一本“几何学如何为计算服务”的哲学论著，而不是一本简单的工具书。特别是涉及到微分几何在曲面分析上的应用时，那种洞察力令人拍案叫绝。书中关于曲率的讨论，远超出了平面几何中圆的曲率概念，它深入到主曲率、高斯曲率和平均曲率的计算，这对于理解物体表面在光照和渲染下的真实感至关重要。举个例子，当我们讨论一个渲染物体表面的高光反射时，如果对这些曲率信息没有透彻的理解，那么反射的模拟就只能停留在经验主义的层面，而这本书提供的是一种从根本上解决问题的数学框架。我印象非常深刻的是作者关于“碰撞检测”几何拓扑处理的部分，它不仅仅是讨论简单的凸体相交，而是触及了非凸形体的分解策略和快速剔除算法背后的几何优化原理。这本书的阅读体验是迭代式的，初读可能觉得晦涩难懂，但每当你接触到一个新的图形学或CAD中的实际问题时，回翻书中的某一章节，总能找到清晰、纯粹的数学解释，犹如拨开云雾见青天。它强迫你用数学家的思维去审视图形的本质，而不是满足于软件库提供给你的黑箱操作。

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这本《应用几何学在计算机图形学与CAD中的应用》（Springer本科数学系列）的书籍，简直是为那些渴望在数字几何领域深耕的学子和工程师量身打造的硬核教材。它没有像市面上很多入门书籍那样，仅仅停留在概念的罗列和表面的公式展示，而是深入到了那些支撑起复杂三维建模和渲染算法的数学基石。比如，关于线性代数在线性变换和投影中的应用，作者的处理方式就极为细致入微。我特别欣赏作者在讲解齐次坐标和四元数（Quaternions）时的那种严谨态度，他们并非只是抛出公式让你死记硬背，而是花了大量篇幅去剖析其几何意义，解释为什么在三维旋转中，四元数相比欧拉角在避免万向节死锁（Gimbal Lock）方面具有不可替代的优势。书中对参数化曲面（如Bézier和NURBS）的介绍也极为扎实，从基础的控制点定义到高阶的插值理论，环环相扣，使得读者在阅读后，不仅仅是“知道”这些曲面存在，而是真正“理解”了它们是如何在计算机中被精确构建和操纵的。对于那些打算从事高端游戏引擎开发、工业设计仿真或者精确医疗成像领域的专业人士来说，这本书提供的理论深度是无可替代的财富。它要求读者具备扎实的微积分和线性代数基础，但正是这种门槛，确保了读完之后所获得的知识体系是坚固而可靠的。

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真乃一本奇书。。。大学时能看就好了。

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