Trigonometric Sums In Number Theory And Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Walter De Gruyter Inc

作者:Arkhipov, G. I./ Chubarikov, V. N./ Karatsuba, A. A./ Arkhipov, Gennadii Ivanovich/ Chubarikov, Vlad

出品人:

页数:554

译者:

出版时间:

价格:218

装帧:HRD

isbn号码:9783110162660

丛书系列:

图书标签:

• Trigonometric Sums
• Number Theory
• Analysis
• Fourier Analysis
• Additive Combinatorics
• Harmonic Analysis
• Exponential Sums
• Diophantine Equations
• Mathematical Analysis

数论与分析中的三角和 本书聚焦于数论和分析中一个核心且引人入胜的交叉领域：三角和的理论、应用及其与代数、几何结构的深刻联系。 本书旨在为研究生和深入研究的学者提供一份详尽的资源，系统地梳理三角和在现代数学中的重要地位。我们不将三角和视为孤立的工具，而是将其置于函数逼近、分形几何、模形式理论以及解析数论的宏大框架中进行考察。全书内容围绕如何有效地估计、界定和理解特定形式的三角和的渐进行为展开，这些和通常由狄利克雷特征、高斯和、指数和或与代数曲线相关的和构成。 第一部分：基础与经典框架的重建 第一部分首先为读者打下坚实的理论基础，复习了必要解析数论和调和分析的预备知识。我们从狄利克雷级数和傅里叶级数在数论中的初步应用开始，迅速过渡到本书的核心对象——三角和。 第一章：狄利克雷特征与模形式的基石。 详细介绍了原根、狄利克雷特征的构造，并深入探讨了这些特征如何自然地在傅里叶展开中引入周期性。重点分析了有限域上的特征和，为后续理解高斯和奠定基础。 第二章：高斯和的精细结构。 高斯和 $sum_{x pmod{q}} e^{2pi i (ax^2+bx)/q}$ 是本书的第一个重点。我们不仅推导了其精确计算公式，还探讨了当模 $q$ 不是素数时，如何通过中国剩余定理将其分解为素数幂次的和。特别关注了如何利用高斯和的性质来证明二次互反律，并探讨了高斯和在均值估计中的作用。 第三章：指数和的估计方法。 针对更一般的指数和 $sum_{x=1}^q f(x) e^{2pi i x/q}$，我们系统地介绍了Vinogradov方法和Weyl和估计。这部分着重于对多项式指数和的递降方法（descent methods）的严格论证，这是解决 Waring 问题和筛法理论中关键障碍的基础。 第二部分：三角和与解析数论的应用 第二部分将理论工具应用于解决数论中的实际问题，展示了三角和在解析证明中的强大威力。 第四章：筛法与三角和的相互作用。 本章探讨了筛法（如Brun筛法或Selberg筛法）如何与三角和估计相结合。我们将展示如何利用三角和来估计特定集合（如素数或素数对）的密度或存在性。讨论了该技术在证明哥德巴赫猜想的某些变体（如三素数定理）中的应用。 第五章：L-函数与零点。 三角和在黎曼 $zeta$ 函数及其推广（Dirichlet $L$-函数）的函数方程中扮演着隐秘但关键的角色。我们详细分析了这些函数在临界线附近行为的估计，特别是通过三角和方法（如对 $zeta(s)$ 的积分表示中的误差项估计）来改进零点密度的结果。 第六章：代数数论中的三角和。 本章将视角转向数域。我们引入了代数整数上的指数和，特别是与代数整数环上的单位群相关的和。讨论了这些和在估计代数数的分布、以及在解析数论中处理单位方程解的上下文中的重要性。 第三部分：几何、调和分析与高级主题 第三部分拓展了三角和的研究范围，将其与现代分析和几何联系起来。 第七章：三角和与分形几何。 介绍如何利用三角和的收敛性或发散性来刻画某些点集的豪斯多夫维数。重点分析了与数轴上特定序列（如Farey序列或Dyadic序列）相关的和，这些和的结构揭示了底层集合的几何特性。 第八章：模形式与自守形式中的周期性。 深入探讨了模形式（如 $ ext{SL}_2(mathbb{Z})$ 上的模形式）的傅里叶展开系数（$c_n$）。我们将展示如何通过分析 $sum c_n e^{2pi i n au}$ 的性质，结合其变换性质，来推导关于系数增长率的更精细的定理，例如拉马努金-彼得森猜想的解析尝试。 第九章：指数和的现代界限与平均值。 这一章聚焦于最前沿的研究。我们审视了Vinogradov均值和的最新突破（如Bourgain的工作），以及这些界限如何通过更复杂的调和分析工具（如Clay-Bourbaki算子）来获得。讨论了均值估计的难度，以及如何利用这些估计来改进对特定丢番图方程解的计数。 结论：展望与开放性问题。 本书最后总结了三角和理论的现状，并提出了几个尚未完全解决的关键问题，例如关于随机性假设下的三角和行为，以及如何将这些方法推广到更高维度的自守表示理论中。 本书的编写风格力求严谨、清晰，每一定理的证明都经过仔细的分解和阐述，确保读者能够理解从基本代数操作到复杂解析估计的每一步逻辑推导。附录中提供了必要的复变函数积分技巧回顾。本书的目标是使读者不仅掌握计算三角和的技巧，更能深刻理解它们在连接离散结构与连续分析世界中所扮演的不可或缺的角色。

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