Topology-Based Methods in Visualization pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Theisel, Holger 编

出品人:

页数:222

译者:

出版时间:

价格:$ 157.07

装帧:HRD

isbn号码:9783540708223

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 可视化
• 数据可视化
• 拓扑数据分析
• 可视化方法
• 科学计算
• 计算机图形学
• 数据分析
• 几何拓扑
• 可视化算法

《拓扑方法在可视化中的应用：理论基础、算法实现与前沿探索》 图书简介 本书深入探讨了拓扑学原理在现代数据可视化领域中的核心地位与前沿应用。我们聚焦于如何利用拓扑学工具，特别是代数拓扑和几何拓扑的概念，来揭示高维、复杂数据集中内在的结构、连通性与特征，从而实现更具洞察力、更鲁棒的可视化结果。全书结构严谨，理论阐述详尽，同时兼顾算法的实用性和工程实现，旨在为数据科学家、计算机图形学专家以及对复杂系统分析感兴趣的研究人员提供一本权威且实用的参考指南。 第一部分：拓扑学基础与数据抽象 本部分首先为读者奠定坚实的数学基础，介绍与数据分析和可视化直接相关的拓扑学核心概念。 第一章：拓扑空间的复习与数据度量 本章从拓扑学的基本定义出发，包括开集、闭集、邻域和连续映射。随后，我们将拓扑视角下的“接近性”概念推广到实际数据空间，探讨度量空间、拓扑空间与欧氏空间之间的关系。重点讨论了流形（Manifolds）的概念，它是理解光滑高维数据的关键。我们将分析如何通过局部坐标系和图集来近似复杂的非线性数据流形，并介绍一些关键的拓扑不变量，如连通分支和洞的直观理解。 第二章：持久同调与拓扑数据分析（TDA）导论 持久同调（Persistent Homology, PH）是现代拓扑可视化方法的核心驱动力。本章将详细介绍TDA的基本流程：从原始数据点集到过滤的单纯复形（Simplicial Complexes）的构建（如 $epsilon$-邻域复形、Vietoris-Rips复形或Čech复形）。我们深入剖析了边界算子、链群、边界算子与同调群的构造，并着重解释了Betti数如何量化数据中不同维度的拓扑特征（如0维的连通分量，1维的环路/隧道，2维的空腔）。 第三章：过滤尺度与拓扑特征的提取 持续性（Persistence）是区分“真实”拓扑特征与“噪声”的关键指标。本章详细阐述了过滤过程（Filtration）的数学构造，如单调递增的过滤序列。我们引入了持久图（Persistence Diagrams, PDs）作为对数据拓扑特征的简洁表示。对PDs的分析技术，如计算持久性景观（Persistence Landscapes）和持久性图谱（Persistence Barcodes），将作为后续可视化技术的基础。本章还将讨论如何选择合适的过滤参数和距离度量，以适应不同类型的数据（如时间序列、点云或高维特征向量）。 第二部分：拓扑驱动的可视化框架 本部分聚焦于如何将拓扑分析的结果转化为直观、可交互的视觉表达。 第四章：骨架化：拓扑骨架的构建与可视化 拓扑骨架（Topological Skeleton）提供了一种降维且保留关键结构的摘要。本章详细介绍了各种骨架化方法，包括但不限于：基于拓扑特征的简化算法、中轴变换（Medial Axis Transform）在几何形状分析中的应用，以及针对高维数据流形的拓扑骨架提取。我们将讨论如何利用梯度流、拓扑梯度和梯度流的汇合点来定义“脊线”和“谷线”，这些结构构成了数据的拓扑骨架。骨架的可视化不仅仅是绘制线条，更关乎如何用视觉编码（如粗细、颜色、纹理）来表示原始数据点到骨架的映射关系和局部曲率信息。 第五章：拓扑特征的可视化与交互 可视化拓扑特征的挑战在于如何同时表示几何形状和抽象的拓扑属性。本章系统地分类和介绍现有的可视化范式： 1. 持久图的可视化与解读： 介绍如何将PDs嵌入到二维空间中，如何使用“特征向量”（如持久性权重）来影响图形元素的大小和透明度。 2. 同调群的几何嵌入： 探讨如何利用矩阵分解或嵌入技术，将高维同调群中的代表元素（如环路或空腔）映射到低维空间中，并用3D渲染技术（如体绘制或表面重建）来展示这些拓扑结构。 3. 拓扑结构叠加： 讨论如何将骨架或关键拓扑特征（如鞍点、极值）叠加到原始数据（如散点图、体数据）之上，使用特殊标记和透明度来强调结构与局部密度的关系。 第六章：拓扑引导的降维与流形学习 拓扑方法为传统降维技术提供了新的视角。本章探讨如何将拓扑约束集成到降维算法中。首先，回顾Isomap、LLE等基于几何距离的流形学习方法。随后，重点介绍如何利用持久同调计算出的拓扑不变量作为正则化项，指导局部线性嵌入（LLE）或t-SNE等算法，确保降维后的低维表示能够最大限度地保留原始数据的拓扑结构，避免过度简化或破坏关键的连通性。讨论了基于拓扑保持的谱嵌入技术。 第三部分：高级拓扑方法与前沿应用 本部分深入探讨拓扑分析在特定复杂数据类型中的应用，并展望未来发展方向。 第七章：时间序列与动态系统的拓扑分析 分析时间序列数据本质上是分析嵌入空间中的轨迹流形。本章聚焦于拓扑方法的动态应用：如何构建高维延迟嵌入（Delay Embedding）的相空间，并应用持久同调来捕捉时间序列中混沌行为或周期性运动的拓扑特征。我们讨论了“时间持久性”（Temporal Persistence）的概念，即跟踪拓扑特征随时间窗口变化的行为，用于识别系统状态的突变点或稳定区域。 第八章：高维网络与图的拓扑分析 在网络科学中，图结构本身就是一种拓扑结构。本章将拓扑分析扩展到复杂的网络数据。介绍如何将网络转化为可供持久同调分析的单纯复形（例如，通过构建高阶邻接矩阵或通过边权重过滤）。重点分析如何使用拓扑方法识别网络中的“社区”、“桥梁”和高阶连接模式（如团簇或空洞），这些往往是传统基于节点度或最短路径的方法难以捕捉的。 第九章：拓扑不变量的可视化与质量评估 成功的可视化依赖于对所选拓扑量度准确性的理解。本章探讨了计算拓扑特征时的数值稳定性问题，如采样误差和计算精度对持久图的影响。我们介绍了拓扑特征的有效性度量，包括使用Bottleneck距离和Wasserstein距离来比较不同的拓扑摘要。此外，本章还将探讨如何开发交互式工具，使用户能够实时调整采样密度或过滤参数，观察拓扑摘要的鲁棒性变化，从而建立对可视化结果的信任。 总结与展望 本书的最后一部分将总结拓扑方法在数据可视化领域的核心价值：它提供了一种超越局部邻域和线性近似的、全局性的、结构导向的分析框架。展望未来，我们将探讨拓扑方法与深度学习（如拓扑神经网络）的交叉点，以及在应对海量、流式数据时，开发更高效、可扩展的拓扑计算算法的必要性。 读者对象： 从事数据挖掘、机器学习、信号处理的研究人员和学生。 计算机图形学和人机交互领域专注于数据表示的工程师。 需要分析复杂、非结构化数据（如医学影像、模拟数据）的科学家。

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