Pseudo Differential Operators & Markov Processes pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Jacob, Niels

出品人:

页数:474

译者:

出版时间:2005-6

价格:$ 160.00

装帧:HRD

isbn号码:9781860945687

丛书系列:

图书标签:

• 伪微分算子
• 马尔可夫过程
• 泛函分析
• 偏微分方程
• 概率论
• 调和分析
• 奇异积分
• 算子理论
• 数学物理
• Stochastic Processes

深入解析现代数学物理中的非线性演化方程：从随机场到几何结构 内容提要： 本书聚焦于现代数学物理中一类至关重要的核心主题——非线性偏微分方程（PDEs）的动力学、精确解的构造以及其与概率论、几何学之间深刻的内在联系。全书以严谨的数学分析为基础，系统地梳理了从经典模型到前沿研究的脉络，旨在为高级研究人员和博士生提供一个全面、深入的知识框架。 本书的结构设计为三大部分，循序渐进地引导读者进入复杂系统的分析核心。 第一部分：基础理论与经典模型重述 本部分首先对研究非线性演化方程所需的基础分析工具进行了回顾与深化，特别强调了函数空间理论在处理解的局部存在性与唯一性问题中的关键作用。我们不满足于仅停留在 Sobolev 空间，而是深入探讨了 Besov 空间和 Triebel-Lizorkin 空间在描述解的粗糙度和分数阶导数方面的优势，为后续处理分数阶算子打下坚实基础。 焦点议题包括： 1. 非线性对流项的正则性对策： 详细分析了 Burgers 方程、KdV 方程等模型中对流项（如 $u u_x$ 或 $u u_x x$）如何影响解的光滑性。书中将引入新的熵条件和弱解概念，特别关注解的激波形成机制及其稳定边界。 2} 守恒律与耗散性： 深入探讨了一维和高维守恒型非线性双曲方程（如 Euler 方程的简化形式）。我们利用精确的 Rankine-Hugoniot 条件，结合半群理论，严格证明了在特定势能条件下，粘性解（Viscous Solutions）的存在性和其收敛性至熵弱解。 3. Schrödinger 方程的谱方法： 针对包含非线性项的 Schrödinger 方程（如 NLS 方程），本书详细阐述了变分法、庞加莱-黎曼法（Poincaré-Riesz Method）在寻找定态孤波（Solitons）中的应用。不同于传统的傅里叶方法，我们将侧重于利用函数空间中的能量泛函来刻画束缚态解的稳定性。 第二部分：几何、拓扑与积分系统的深度耦合 第二部分将视角从纯粹的分析转向几何结构对动力学的影响，这是理解很多物理模型本质的关键。我们不再将算子视为孤立的微分工具，而是将其嵌入到特定的流形或纤维丛结构中进行考察。 关键章节解析： 1. 可积系统的几何化： 本章深入探讨了 Korteweg-de Vries (KdV) 方程和非线性 Schrödinger (NLS) 方程的 Lax 对表示。我们构建了相应的李代数结构，并利用阿贝尔变换（Abel Maps）和 Jacobi 椭圆函数，系统地推导了多孤子解的精确表达式。特别地，本书将详细展示如何通过对双曲面（Hyperbolic Surface）上测地线流的谱分析来重构这些可积系统的演化。 2. 哈密顿动力学与李群作用： 探讨了无穷维哈密顿系统，如 KdV 方程，如何与无穷维李群（如 Virasoro 代数）相关联。我们利用 Poisson 括号的定义，展示了生成元如何对应于守恒量。对于非哈密顿系统，如 Landau-Lifshitz 方程，我们将引入耗散项的几何解释，分析其在耗散吸引子上的行为。 3. 黎曼几何与张量流： 这一章节连接了微分几何与演化方程。以 Ricci 流方程为例，本书分析了其在度量张量上的非线性演化。我们着重于证明流的存在性（通过热流的观点）以及在奇点出现时的局部正则性保持性质，特别是利用逆拉普拉斯算子（Inverse Laplacian）来处理其非线性的曲率项。 第三部分：随机场、非局部性与高阶演化 第三部分将讨论处理实际物理系统中不可避免的随机性（噪声）以及系统中固有的非局部相互作用。 前沿主题探讨： 1. 非局部算子的引入与应用： 区别于传统 PDE 中局部微分算子，我们引入了分数阶演化方程，这些方程通常由分数拉普拉斯算子 $Delta^s$ （其中 $0 < s < 1$）驱动。这些模型常用于描述介质中的长程相互作用，如在凝聚态物理或金融建模中。本书将侧重于分析这些非局部算子的特征值问题和解的衰减率。 2. 随机场与平均场近似： 针对具有随机系数的演化方程，我们采用随机微积分工具。重点分析了随机 Burgers 方程的宏观极限，即当噪声强度趋于零时，解如何收敛到确定性方程的弱解。我们还将讨论如何使用高阶矩近似（如封闭的矩方程组）来替代直接求解随机 PDE。 3. 自由能泛函与最小作用量原理： 最后，本书探讨了如何利用变分原理来理解复杂系统的稳定状态。通过构建一个包含梯度项和非局部相互作用项的自由能泛函，我们分析了方程的梯度流性质。这对于理解相分离模型（如 Cahn-Hilliard 方程的推广）的长期演化至关重要，其中平衡态对应于泛函的全局最小值。 本书特色： 本书的难度定位在于高级研究生和专业研究人员。它避免了对初级概念的冗余叙述，而是直接聚焦于当前研究热点和分析中的技术难关。内容强调了不同数学分支（泛函分析、微分几何、概率论）之间的交叉融合，为读者提供了一种综合性的视角来理解非线性动力学系统的复杂性。书中的许多论证采用了最新的分析技术，并附有详尽的计算推导，是深入研究现代数学物理演化方程的理想参考资料。 适合读者： 偏微分方程方向的博士研究生、从事理论物理、应用数学、金融工程中复杂系统建模的科研人员。

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