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Acclaimed by "IEEE Control Systems Magazine" as "a welcome addition" to books in the field, this self-contained treatment is appropriate for courses in nonlinear system analysis. Geared toward advanced undergraduates and graduate students in mathematics, engineering, and the sciences, its highlight is a scholarly treatment of the stability of dynamical systems. 1982 edition.
《拓扑学基础：从点集到流形》 图书简介 本书旨在为数学、物理学及相关工程领域的研究者和高年级本科生提供一套严谨而深入的拓扑学导论。与专注于常微分方程的经典教材不同，本书将目光投向了空间结构、连续形变以及集合的内在性质，构建一个独立于度量概念的几何思维框架。我们认为，对空间本质的理解，是现代数学和理论物理学的基石之一。 第一部分：点集拓扑——构建拓扑学的基本语言 本部分从最基础的集合论和点集出发，建立拓扑空间的概念，这是整个拓扑学的出发点。我们避免了过早引入复杂的几何直觉，力求以纯粹的集合论语言来定义拓扑结构。 第一章：集合与函数的回顾与推广 本章首先快速回顾了集合论的基本概念，如笛卡尔积、幂集以及函数的性质（单射、满射、双射）。随后，我们将重点讨论在度量空间（如 $mathbb{R}^n$）中定义的开集、闭集和紧集，作为引入拓扑概念的“暖场”。我们引入了子空间拓扑的概念，展示了如何从一个已知的拓扑空间中继承结构。 第二章：拓扑空间的定义与构造 核心章节，我们将拓扑空间定义为一对 $(X, mathcal{T})$，其中 $mathcal{T}$ 是定义在集合 $X$ 上的开集族，满足开集的三个基本公理。我们将详细探讨几种重要的拓扑构造方法： 1. 前载拓扑 (Topologies Generated by a Family of Sets)：如何由任意集合族生成最小的包含这些集合的拓扑（即闭包）。 2. 商拓扑 (Quotient Topology)：如何通过等价关系或商映射构造新的拓扑空间，这对于理解“粘合”空间至关重要，例如在构造圆或环面时。 3. 积拓扑 (Product Topology)：探讨在有限或无限多个拓扑空间上的乘积空间是如何构造的，并着重分析 Tychonoff 定理的意义。 第三章：连续性、同胚与拓扑性质 本章侧重于研究拓扑空间之间的结构保持映射。我们定义了拓扑意义上的连续函数，并证明了连续函数具有封闭的代数性质。同胚（Homeomorphism）被确立为拓扑学的“等价关系”，两个拓扑空间如果同胚，则在拓扑意义上无法区分。我们将引入不可分离的拓扑性质，如连通性（Connectedness）和紧致性（Compactness）。 连通性：分析路径连通性和连通分支，展示 $mathbb{R}^n$ 中开集的连通性如何直接导出其路径连通性。 紧致性：深入探讨 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）的拓扑推广，即开复盖的性质。紧致性在研究函数的极值和极限存在性时扮演了核心角色。 第四章：分离公理与完备性 本部分将拓扑空间分类，并引入了更强的结构要求。我们将研究 $T_1, T_2$（Hausdorff，豪斯多夫）分离公理。豪斯多夫性是许多重要定理成立的前提。随后，我们将探讨正则性和正规性，并引入度量空间作为特殊的拓扑空间，在此基础上讨论完备性（Completeness）的概念，尽管本书的重点是非度量拓扑，但度量完备性是理解函数空间性质的重要工具。 第二部分：代数拓扑的初探——同伦与基本群 在掌握了点集拓扑的语言后，本部分开始引入代数方法来区分拓扑空间，这是代数拓扑学的核心思想。 第五章：基本群——洞的代数不变量 我们不再满足于“空间是否连通”的模糊描述，而是试图量化空间中“洞”的数量和类型。本章的核心是定义路径和同伦。 1. 定义路径群：在给定基点 $x_0$ 的空间 $X$ 中，定义 $pi_1(X, x_0)$，即所有在 $x_0$ 处收尾的闭合路径的群。 2. 群结构：我们详细证明了路径的“乘法”（连接路径）在适当的同伦下构成一个群，即基本群。 3. 函子性：证明连续映射诱导出基本群之间的同态，从而基本群是一个拓扑不变量。 第六章：计算与应用 本章通过实例展示基本群的威力。我们将计算 $mathbb{R}^n$ (n>1)，球面 $S^1$ (圆周) 和环面 $T^2$ 的基本群。重点在于证明： $pi_1(mathbb{R}^n, x_0) cong {e}$ （平凡群），这意味着 $mathbb{R}^n$ 中所有闭合回路都可以连续收缩成一点。 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$ （整数加法群），这清晰地刻画了一维圆周的“环绕性”。 我们将简要介绍 Brouwer 不动点定理的代数拓扑证明思路，展示基本群如何提供强有力的存在性证明。 第三部分：流形与嵌入 最后一部分将概念从抽象空间过渡到具有良好局部结构的几何对象——流形。 第七章：流形的定义与例子 流形是“局部看起来像欧几里得空间”的空间。本章严格定义了 $n$ 维拓扑流形，强调其可微结构（局部坐标卡和过渡映射）的概念，为微分几何的深入学习打下基础。我们将详细分析 $S^n$ (球面)、环面 $T^n$ 以及实射影空间 $mathbb{RP}^n$ 作为重要的例子。 第八章：嵌入与覆盖空间 本章讨论如何将一个拓扑空间嵌入到更高维的空间中。我们将介绍 Whitney 嵌入定理（不作完整证明，但阐述其结论），说明足够高维的欧几里得空间总能容纳任何流形。最后，我们将引入覆盖空间的概念，这是连接基本群和更高级同调理论（如 Hurewicz 定理）的桥梁，特别是介绍如何利用 $mathbb{R}$ 作为 $S^1$ 的万有覆盖空间。 总结与展望 本书旨在建立一个坚实的、非度量的几何基础。它强调了拓扑学作为连接代数与几何的桥梁作用，特别是在使用代数不变量（如基本群）来分类和区分复杂空间结构方面的能力。本书的内容深度适中，适合有志于深入研究几何、代数拓扑、微分几何或需要严谨空间理论基础的物理学家阅读。全书结构清晰，从最基本的集合构造逐步提升到对空间拓扑特性的代数描述。
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