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《高等代数与抽象代数导论》 作者： 王建国，张伟 著 出版社： 科学出版社 出版日期： 2023年10月 ISBN： 978-7-03-076543-2 定价： 128.00 元 --- 内容简介： 本书旨在为具有扎实微积分基础的理工科学生、数学专业本科生以及希望深入理解现代数学结构的研究人员，提供一套全面、深入且富有启发性的高等代数和抽象代数知识体系。全书严格遵循逻辑推导，内容组织兼顾理论的严谨性与应用的广泛性，力求在构建坚实理论框架的同时，展现代数结构在不同数学分支中的深刻联系。 第一部分：线性代数与矩阵理论的深化 本部分承接基础线性代数知识，将重点放在理论的深度挖掘和拓宽应用领域。 第1章 向量空间与线性变换的重审： 在更抽象的框架下重新审视向量空间的概念，引入内积空间（包括欧几里得空间和酉空间），探讨施密特正交化过程的理论基础及其在数值计算中的稳定性。详细讨论线性变换的结构，重点剖析有理规范形（Rational Canonical Form）和若尔当标准形（Jordan Canonical Form）的构造原理、唯一性证明及其在求解常微分方程组中的关键作用。通过深入分析特征值、特征向量的代数重数与几何重数的区别与联系，为后续的相似理论打下坚实基础。 第2章 行列式理论的代数几何解释： 探讨行列式作为多线性映射的性质，从高维几何的角度理解行列式与体积、定向的关系。引入张量积（Tensor Product）的概念，并阐述其在描述多线性映射空间结构中的核心地位。深入分析拉普拉斯展开的代数意义，并初步探讨行列式在代数几何中描述奇点（Singularities）的潜力。 第3章 二次型与二次曲面： 详细研究二次型在不同基下的表示，重点剖析合同变换的意义。系统介绍正定性、半正定性的判定标准（如Sylvester准则），并利用特征值分解完成二次型的标准化（如主轴定理），从而对二次曲面（如椭球面、双曲面）进行几何分类和几何描述。 第4章 矩阵分解与数值稳定性： 侧重于应用导向的矩阵分解技术。除了回顾LU分解和Cholesky分解外，重点引入奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）的完整理论，包括其几何意义、计算方法（如基于QR算法），以及其在伪逆矩阵、数据压缩和主成分分析（PCA）中的核心地位。讨论矩阵规范（Norms）对数值计算稳定性的影响。 --- 第二部分：群论基础与代数结构 本部分是通往抽象代数的门户，旨在建立对代数结构最基本单元——群的深刻理解。 第5章 群的基本概念与构造： 严谨定义群、子群、陪集和商群。通过同态与同构的概念，揭示不同群之间的内在联系。重点解析拉格朗日定理的证明及其重要推论。详细讨论循环群的结构，并引入自由群的概念，作为理解更复杂群结构的基石。 第6章 正规子群与群作用： 深入探讨正规子群的性质，这是构造商群（Factor Groups）的关键。通过第一、第二、第三同构定理，系统展示如何通过同态将复杂群分解为更简单的结构组合。引入群作用的概念，利用轨道-稳定子定理，将群作用的分析转化为对子群结构的研究，这是后续解决算术问题的利器。 第7章 对称性与有限群的结构： 集中研究有限群的特定结构，特别是p-群。系统介绍Sylow定理的三大定理，并展示如何运用这些定理来确定给定阶数的群的可能结构（如阶为12的群的分类）。引入交换群（Abelian Groups）的结构定理，描述任意有限交换群都可以分解为初等因子群的直积。 第8章 群的表示与卷积： 介绍群表示论的初步概念，即将抽象的群结构映射到矩阵群上，使群的运算可以通过矩阵乘法来研究。初步探讨表示（Representations）的性质，包括可约性和不可约性，为后续更高级的物理学和组合学应用打下基础。 --- 第三部分：环、域与多项式代数 本部分将代数结构推广到具有两种运算（加法和乘法）的系统中，并聚焦于多项式代数这一经典领域。 第9章 环的定义与基本性质： 定义环（Ring）、交换环、幺环。详细阐述理想（Ideals）的概念及其在环结构中的重要性，类比于群中的正规子群。深入分析商环（Quotient Rings）的构造。区分零因子、整环（Integral Domains）与域（Fields）。 第10章 域的构造与代数扩张： 重点研究域的性质，包括域的特征（Characteristic）。系统介绍如何从一个域出发，通过代数扩张构造出新的、更“大”的域。深入讨论多项式环 $F[x]$ 的性质，证明 $F[x]$ 具有欧几里得整环的性质，并利用带余除法进行多项式的因式分解。 第11章 域扩张与伽罗瓦理论的引子： 引入代数元与超越元的概念。分析有限域（Finite Fields）的存在性与唯一性，揭示其在编码理论中的应用价值。初步介绍伽罗瓦群（Galois Group）的概念，阐明它如何编码了域扩张的信息，为理解五次及以上代数方程不可解性的本质提供理论视角。 第12章 特殊环结构： 考察具有特殊性质的环，如主理想环（Principal Ideal Domains, PIDs）和唯一因子域（Unique Factorization Domains, UFDs）。证明 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 都是主理想环，并探讨 PIDs 蕴含 UFDs 的关系。分析诺特环（Noetherian Rings）的性质，它们在代数几何中的基础作用。 --- 适用对象： 数学、物理学、计算机科学、工程学专业本科生及研究生。 需要巩固和系统化代数基础知识的科研人员。 对抽象数学结构有强烈兴趣，并愿意投入时间进行严格逻辑训练的自学者。 本书特色： 1. 逻辑的连贯性： 从具体的线性代数问题出发，逐步抽象上升到群、环、域的结构，体现了代数理论发展的内在逻辑。 2. 理论与应用的平衡： 每一章节都包含丰富的例子和习题，其中部分习题涉及SVD在数据科学中的应用、伽罗瓦理论在解根式中的启示，以及群论在密码学中的初步联系。 3. 严谨的证明体系： 所有核心定理均提供完整且清晰的证明，培养读者严谨的数学思维。 4. 深度与广度兼顾： 覆盖了标准的本科高等代数内容，同时引入了抽象代数的关键概念（如若尔当形、Sylow定理、伽罗瓦理论引言），为后续专业课程打下坚实基础。
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