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出版者:McGraw-Hill College

作者:Bennett, Albert B./ Nelson, L. Ted

出品人:

页数:912

译者:

出版时间:2006-6

价格:$ 186.45

装帧:HRD

isbn号码:9780073224626

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 小学教师
• 教育学
• 数学教育
• 教学资源
• 教师发展
• 课程与教学
• 算术
• 几何
• 代数基础

好的，这是一份针对一本名为《Elements of Advanced Calculus》的图书的详细简介，该书内容不涉及小学数学教师的专业教材。 --- 图书简介：Elements of Advanced Calculus 第一章：极限、连续性与拓扑预备 本书的开篇聚焦于严格分析学的基石——实数系统的完备性。我们首先深入探讨实数集 ($mathbb{R}$) 的结构，从集合论的基础出发，建立起Dedekind 截割或有界集的上确界原理，这是后续所有收敛性论证的逻辑支柱。 极限的 $epsilon-delta$ 语言被细致阐述，不仅限于单变量函数，还扩展到多变量函数在 $mathbb{R}^n$ 上的极限，引入了范数和拓扑概念，如开集、闭集、紧集和连通集的精确定义。 连续性的讨论超越了高中代数的直观理解。我们详细分析了一致连续性（Uniform Continuity）的概念，并证明了紧集上连续函数的作用保持紧性这一关键定理。此外，本章引入了度量空间 (Metric Spaces) 的初步概念，将分析学的工具从 $mathbb{R}^n$ 推广到更一般的空间结构中，为后续的泛函分析打下基础。我们探讨了Cantor 序列和Heine-Borel 定理在度量空间中的推广形式。 第二章：微分学的深化与中值定理 本章将单变量微分的概念提升到 $mathbb{R}^n$ 空间，探讨方向导数和梯度。重点在于可微性（Differentiability）与连续性之间的关系，并严格证明了Hessian 矩阵与二阶偏导数连续性之间的等价性（Clairaut 定理）。 多变量微分的核心在于雅可比矩阵 (Jacobian Matrix)。我们详细分析了如何利用雅可比矩阵来描述局部线性近似，并引入了微分形式和外微分的初步概念，为后续的向量微积分做铺垫。 中值定理的推广是本章的亮点。我们阐述了广义的平均值定理（Generalized Mean Value Theorem），并严格推导了反函数定理 (Inverse Function Theorem) 和隐函数定理 (Implicit Function Theorem)。这些定理不仅是微积分的理论核心，也是解决高维优化问题和求解微分方程组的基础工具。对这些定理的证明，需要深入理解导数的矩阵表示及其秩的性质。 第三章：积分理论的严格建立 本章彻底抛弃了黎曼和的直觉概念，转向更强大的勒贝格积分 (Lebesgue Integration) 理论。 首先，我们构建了可测集 (Measurable Sets) 和测度 (Measure) 的理论。从外测度出发，逐步定义$sigma$-代数和可测函数。 勒贝格积分的构造是本章的核心。我们从简单函数（Simple Functions）的积分开始，逐步扩展到非负可测函数，并最终定义一般可测函数的勒贝格积分。这使得我们能够处理在黎曼意义下不可积的函数，例如狄利克雷函数。 收敛定理是勒贝格积分理论的精髓所在。我们详细证明了单调收敛定理 (Monotone Convergence Theorem) 和法图引理 (Fatou's Lemma)，并着重分析了勒贝格控制收敛定理 (Dominated Convergence Theorem) 在函数序列积分交换中的应用。这些定理极大地拓宽了可积函数的范围，并在概率论和傅里叶分析中发挥着决定性作用。 第四章：序列与函数的级数表示 本章探讨了函数序列和函数项级数的收敛性，特别是一致收敛的意义。 我们详细分析了幂级数的收敛半径和收敛域，并利用Weierstrass M-检验来证明函数项级数的一致收敛性。一致收敛的重要性在于它保证了连续性、可微性以及可积性的保持——即在什么条件下可以将极限与微分或积分的顺序互换。 傅里叶级数的引入是本章的另一个高潮。我们首先在 $L^2$ 空间（平方可积函数空间）的背景下，介绍正交系的概念。然后，我们计算了常见函数的傅里叶系数，并证明了Dirichlet 条件下傅里叶级数的收敛性。本章将利用上一章的勒贝格积分工具，来证明傅里叶级数在均方意义下的收敛性，这是连接分析学与应用数学的关键桥梁。 第五章：常微分方程的解的性质 本章专注于一阶和高阶常微分方程（ODE）的解的存在性与唯一性，脱离了简单的积分求解法。 我们引入了Picard 迭代法来构造解，并基于Banach 不动点定理严格证明了解的存在性和局部唯一性。这要求读者对完备度量空间有深刻理解。 随后，我们探讨了 ODE 解的依赖性。对初始条件的敏感性分析通过计算庞加莱映射和引入邻域分析来实现，为混沌理论和稳定性分析奠定数学基础。 最后，本章关注解的性质，特别是第一积分法在保守系统中的应用，以及利用相平面分析来研究高维线性系统的定性行为，例如鞍点、结点和极限环的存在性。 第六章：多元微积分的几何与分析整合 本章是向量分析的深化，将前几章的分析工具整合到高维空间中的几何对象上。 我们将曲线积分和曲面积分提升到微分形式的框架下进行统一处理。德拉姆上同调 (de Rham Cohomology) 的初步思想在 $mathbb{R}^3$ 中的具体体现为对保守场和旋转场的精确分析。 格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理被视为一个统一的广义斯托克斯定理 (Generalized Stokes' Theorem) 在不同维度上的特例。我们利用微分形式的积分和外微分运算，展示了这些定理的内在统一性，强调了微分形式在处理场论问题中的简洁性和强大威力。对这些定理的证明，依赖于对区域的定向光滑边界的精确定义，以及对积分变量变换的严格处理。 --- 目标读者：本书面向数学、物理学、工程学等领域高年级本科生和研究生，要求读者具备扎实的微积分基础和线性代数知识。它旨在为深入学习泛函分析、微分几何和偏微分方程提供必要的分析严谨性。

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