College Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Houghton Mifflin College Div

作者:Larson, Ron

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:42.36

装帧:HRD

isbn号码:9780618394524

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
• Algebra
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Precalculus
• Functions
• Equations
• Polynomials
• Graphing

《探索数学的边界：从几何到微积分的桥梁》 图书简介 本书并非一本关于大学代数（College Algebra）的教材，而是一部旨在拓展读者数学视野、建立坚实分析基础的深度探索之作。我们不再局限于线性方程组或多项式的标准教学框架，而是将目光投向数学思维的更广阔领域，尤其侧重于微积分预备知识的深度挖掘与几何直觉的重建。 第一部分：超越基础——函数的深度解析与拓扑直觉 本部分着重于对函数概念的解构与重构，超越了简单的 $f(x)$ 表示法，深入探讨了函数的内在结构和性质。 第一章：域与值的重构 我们首先重新审视定义域和值域的意义。这不再是简单的集合限制，而是函数在特定拓扑空间内映射行为的体现。我们将引入稠密性的概念，探讨在实数域上，某些特定函数（如狄利克雷函数）的构造如何挑战我们对“连续”的传统理解。课程将涵盖区间套定理的几何证明及其在构造复杂函数序列中的应用，并引入反函数存在定理的更严格的、基于单射性严格定义的讨论。 第二章：映射与变换的几何语言 代数运算如何转化为几何操作？本章将深入探讨线性变换的基础，即使在不使用矩阵代数的背景下，也能理解如何通过简单的代数操作（如加法和标量乘法）来描述空间的拉伸、旋转和投影。我们将详细分析二次函数族 $y = ax^2 + bx + c$ 在参数 $(a, b, c)$ 空间中的“运动轨迹”，这为理解多变量微积分中的曲面奠定了直觉基础。通过对抛物线、椭圆、双曲线的参数方程的深入分析，读者将体验到从几何形状到代数表达的无缝转换。 第三章：级数与极限的物理学视角 我们避开繁复的 $epsilon-delta$ 语言的初步引入，转而关注极限在物理和工程中的实际意义。本章将通过对振动系统（如理想弹簧振子）的运动描述，引入收敛和发散的概念。我们将探究为什么某些级数会收敛到一个有限值，而另一些则不会。例如，通过调和级数的巴塞洛-格兰迪定理（Barcelo-Grandy Theorem）的直观演示，读者将领悟到无穷和的复杂性。重点将放在利用级数来泰勒展开简单物理量，例如，如何用一系列多项式来精确描述三角函数在小角度下的行为。 第二部分：几何与代数的交汇——解析几何的现代阐释 本部分将解析几何提升到更高的抽象层次，为学习线性代数和多变量微积分打下坚实的基础。 第四章：空间中的向量化思维 本书不将向量视为箭头，而是视为一维仿射空间上的元素。本章将首次引入基底的概念，即便只在二维和三维空间内。我们将讨论如何通过一组特定的“参照物”（基底向量）来唯一地描述空间中的任意点或位移。重点在于理解线性组合的几何含义——即所有可能的位移集合构成了什么形状（直线、平面或整个空间）。 第五章：二次曲线的参数化与切线问题 对于圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线），我们不再满足于其定义方程。本章将全面探讨参数化表示，特别是如何利用三角函数（而非仅是代数公式）来描述椭圆的路径。更重要的是，我们引入切线的概念，但不是通过导数来定义，而是通过极限的几何直觉——“连接曲线上相距极近的两点的割线，当两点无限靠近时的极限位置”。这将为后续对斜率的正式定义做好铺垫。 第六章：非欧几何的引言与测地线 为了拓宽视野，本章将简要介绍非欧几何的基本思想。我们将讨论在球面上，三角形内角和是否等于 $180^circ$ 的问题，并引入测地线（在弯曲空间中两点间的最短路径）的概念。这种对“直线”定义的重新思考，能够极大地激发读者对微积分中“路径积分”的兴趣。 第三部分：数的拓展与概率的直觉 本部分关注数系和不确定性，这是连接高等数学与现实世界应用的关键。 第七章：复数的几何代数 复数 $a+bi$ 将被视为二维平面上的点或向量。我们重点关注乘法的几何意义：复数乘法等同于在复平面上的旋转与缩放。通过欧拉公式 $e^{i heta} = cos heta + isin heta$ 的代数推导，读者将直观地理解周期性函数（如三角函数）与指数增长之间的深刻联系。这将是理解傅里叶分析的基石。 第八章：不确定性中的模式——概率的组合视角 本章避开复杂的随机变量微积分，转而关注组合数学在概率计算中的应用。我们将深入探讨排列与组合的细微差别，并引入二项式定理的几何解释——它如何描述随机试验中事件发生的频率分布。重点在于理解“大数定律”背后的直觉：为什么大量独立事件的平均结果会趋于稳定。 结论：迈向分析的世界 本书的最终目标是为读者构建一座坚实的桥梁，一座从清晰、可解的代数方程世界，通往连续、变化和不确定性的分析世界的大门。我们着重培养的是数学直觉、几何可视化能力以及对概念深刻性的探究精神，这些都是在深入学习微积分、微分方程乃至更高级数学领域时不可或缺的素养。本书中的每一个主题都旨在激发“为什么”和“如何”的问题，而非仅仅停留在“是什么”的记忆层面。

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