Elliptic Cohomology pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Miller, Haynes R. (EDT)/ Ravenel, Douglas C. (EDT)

出品人:

页数:380

译者:

出版时间:2007-6

价格:$ 123.17

装帧:Pap

isbn号码:9780521700405

丛书系列:

图书标签:

Elliptic cohomology
Algebraic topology
Cohomology theory
Spectral sequences
Stable homotopy theory
Complex manifolds
Arithmetic geometry
Number theory
Moduli spaces
K-theory

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具体描述

Edward Witten once said that Elliptic Cohomology was a piece of 21st Century Mathematics that happened to fall into the 20th Century. He also likened our understanding of it to what we know of the topography of an archipelago; the peaks are beautiful and clearly connected to each other, but the exact connections are buried, as yet invisible. This very active subject has connections to algebraic topology, theoretical physics, number theory and algebraic geometry, and all these connections are represented in the sixteen papers in this volume. A variety of distinct perspectives are offered, with topics including equivariant complex elliptic cohomology, the physics of M-theory, the modular characteristics of vertex operator algebras, and higher chromatic analogues of elliptic cohomology. This is the first collection of papers on elliptic cohomology in almost twenty years and gives a broad picture of the state of the art in this important field of mathematics.

几何学与代数拓扑的交汇：现代数学的深刻洞察本书深入探讨了现代数学中两个至关重要且相互关联的领域：代数拓扑和微分几何的交叉前沿。它旨在为具有扎实高等数学背景的研究人员、高级研究生以及对深刻数学结构着迷的读者，提供一个全面且富有洞察力的视角，审视那些塑造了我们对空间、结构和不变性理解的核心概念。全书的叙事线索围绕着“结构保持”的深刻思想展开，并将其置于一个统一的框架下进行考察。我们首先从经典的同调理论（如奇异同调和上同调）出发，回顾其作为拓扑空间内在不变量的强大工具的地位。然而，本书并不满足于对经典理论的简单重述。相反，我们迅速将讨论提升到更抽象、更丰富的层次，即层论和谱序列的世界。第一部分：拓扑结构的代数编码本书的第一部分专注于将复杂的拓扑对象转化为可操作的代数实体。我们详细介绍了层论的基础，特别是层上同调（Sheaf Cohomology）的构建。这不仅仅是一种新的计算工具，而是一种全新的视角，它允许我们将局部信息（由层编码）与整体结构（通过上同调群反映）以一种精细的方式联系起来。我们投入大量篇幅探讨了导出范畴（Derived Categories）的概念，这是理解更高级上同调理论的关键桥梁。通过引入导出函子（Derived Functors），特别是Ext函子和Tor函子在代数几何和表示论中的应用，读者将领略到如何通过“修正”或“补全”不精确的构造来提取更深层次的信息。一个核心章节专门讨论了纤维序列（Fibered Sequences）和长正合序列（Long Exact Sequences）在拓扑中的普遍性。从Mayer-Vietoris序列到谱序列的涌现，我们揭示了这些序列如何作为“计算的指引”，将复杂问题的分解归结为一系列更易处理的局部问题。例如，在讨论流形上的上同调时，我们将De Rham上同调与奇异上同调的联系，是通过一个精巧的谱序列（Grothendieck谱序列或相关的拓扑谱序列）来实现的，这不仅是技术上的胜利，更是数学思想统一性的体现。第二部分：几何空间的微分视角在代数工具准备就绪后，本书的第二部分将焦点转向了微分几何的领域，探索如何用分析的语言来精确描述光滑流形上的几何现象。微分形式的代数和分析性质被置于中心地位。我们详细考察了外微分代数（Exterior Algebra）和德拉姆复形（de Rham Complex）。在这里，我们展示了德拉姆定理的深刻意义：它不仅仅是一个计算工具，更是代数拓扑与微分几何之间最直接、最优雅的对偶。关于流形上的积分和拓扑流形上的微分结构的讨论，为理解经典物理学（如电磁场理论）的数学基础提供了严谨的框架。然而，本书的深度体现在对曲率和特征类（Characteristic Classes）的探索上。我们不满足于仅仅定义庞加里的-博内公式或示性类的代数形式。相反，我们利用第一部分建立的层论和上同调知识，构建了Chern类、Pontryagin类和Euler类的几何起源。我们深入分析了向量丛（Vector Bundles）的结构，以及如何使用上Chern类来对这些丛进行分类。这部分内容需要读者熟悉纤维丛的理论，我们将探讨如何利用Principal Bundles和局部平凡性的概念来构造这些不变量。第三部分：不变性的深刻联系与高级专题本书的最后部分旨在将前两部分的内容整合，并引入一些连接现代研究的桥梁。我们探讨了博赫定理（Bochner Technique）和热方程在拓扑中的应用，展示了分析工具如何被用来证明拓扑不变性。核心章节之一致力于K理论（K-Theory）。我们将K理论定义为一种“广义上同调理论”，它关注的是向量丛的代数结构，而非奇异链的组合。通过对比拓扑K理论（Topological K-Theory）和实K理论（Real K-Theory），读者将领略到Bott周期性这一深刻现象的几何和代数内涵。K理论与上同调的交织，特别是通过Thom空间和截面（Sections）的构造，揭示了拓扑结构分类的更精细层次。此外，本书还对非交换几何的某些基础概念进行了初步的触及，尽管篇幅有限，但我们通过对非交换代数中“谱”概念的考察，暗示了传统几何概念如何在新兴的数学领域中得以延伸和重构。总结本书的整体目标是展示数学家如何通过不断地抽象化和工具的精炼，来揭示空间和结构中隐藏的深刻联系。它要求读者具备从多个维度思考问题的能力——既要在代数的精确性中把握结构，也要在几何的直观性中理解形体。它是一次对数学之美的探索，旨在加深读者对拓扑学、几何学乃至现代数学基础的理解。本书的每一章都旨在构建一个坚实的知识阶梯，引导读者迈向更前沿的研究领域。