Ranks of Elliptic Curves and Random Matrix Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Conrey, J. B. (EDT)/ Farmer, D. W. (EDT)/ Mezzadri, F. (EDT)/ Snaith, N. C. (EDT)

出品人:

页数:368

译者:

出版时间:2007-2

价格:$ 134.47

装帧:Pap

isbn号码:9780521699648

丛书系列:

图书标签:

Elliptic Curves
Rank
Random Matrix Theory
Number Theory
Algebraic Geometry
Arithmetic Statistics
L-functions
Selberg Class
Distribution of Ranks
Modular Forms

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具体描述

Random matrix theory is an area of mathematics first developed by physicists interested in the energy levels of atomic nuclei, but it can also be used to describe some exotic phenomena in the number theory of elliptic curves. The purpose of this book is to illustrate this interplay of number theory and random matrices. It begins with an introduction to elliptic curves and the fundamentals of modelling by a family of random matrices, and moves on to highlight the latest research. There are expositions of current research on ranks of elliptic curves, statistical properties of families of elliptic curves and their associated L-functions and the emerging uses of random matrix theory in this field. Most of the material here had its origin in a Clay Mathematics Institute workshop on this topic at the Newton Institute in Cambridge and together these contributions provide a unique in-depth treatment of the subject.

希尔伯特空间中的黎曼几何与现代数论研讨本书聚焦于20世纪末至21世纪初数学物理和纯数学交汇地带的一系列深刻议题，特别是关于黎曼几何在抽象代数结构中的应用，以及由此引发的数论前沿进展。全书内容围绕构建一个连接几何直觉与代数精确性的统一框架展开，旨在为研究者提供理解复杂系统行为的工具集。本书的叙事主线始于对高维微分流形上测地线流的深入分析。我们首先重建了辛几何在李群上的作用，重点阐述了哈密顿动力学系统在紧凑李群框架下的不变性原理。随后的章节详细考察了由特定规范场决定的拉格朗日密度，并引入了基于无穷小变换群的守恒量概念。这里的核心在于拓扑不变量如何影响经典力学的长期行为，特别是围绕庞加莱-比尔伯分形结构的演化。随后，我们将视角转向对具有负曲率的黎曼流形上的谱理论的探究。本书超越了经典的赫兹（Hertz）公式，转而关注在非紧致流形上定义的拉普拉斯-贝尔特拉密（Laplace-Beltrami）算子的特征值分布。我们详细阐述了如何利用半经典分析方法，特别是魏尔（Weyl）公式的修正项，来估算特征值的密度函数。这里的关键技术在于引入了基于林德勒夫（Lindelöf）猜想的边界条件，以精确捕捉短波长振动模式的集体行为。我们通过研究具有常负曲率的曲面上的量子混沌，揭示了特征值间距分布与高阶模形式之间的隐藏联系。在代数拓扑领域，本书对模空间理论进行了批判性回顾。我们摒弃了对稳定向量丛的常规处理，转而专注于非交换几何在描述高阶模空间时的潜力。具体来说，我们引入了基于非交换环上的代数K理论来重构对椭圆曲线模空间（$mathcal{M}_{ell}$）的描述。这种方法的优势在于，它能自然地纳入对局部场（Local Fields）的依赖性，从而绕过了传统方法中对特定嵌入的过度依赖。我们展示了一个关键结果：特定非交换C-代数的基态能量谱，与某些代数簇上的黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）的推广形式存在直接对应关系。本书的中间部分专门用于解决代数与解析数论交叉地带的若干核心问题。我们深入探讨了伽罗瓦表示（Galois Representations）的构造及其在证明费马大定理中的作用，但着重于对“平坦性”这一概念在更高维度上的推广。一个显著的章节致力于解析地研究L-函数的临界点附近的渐近行为。我们引入了一种基于多重黎曼 Zeta 函数的加权求和方法，用于估计特定算术簇上自守表示的傅里叶系数的矩。这里的分析高度依赖于对函数域上的算术几何工具的熟练运用，尤其是对德利涅（Deligne）的结论的重新解读。我们详尽地计算了在特定“高阶”伽罗瓦群作用下，这些L-函数的阶的局部因子分解结构。为了连接几何与数论，我们引入了基于非阿基米德分析的视角来审视伽罗瓦上同调。本书的独特之处在于，我们不是在标准的$mathbb{Z}_p$系数下工作，而是构建了一个在$p$-adic Teichmüller 空间上的动力学系统。通过引入一种新的度量——基于$p$-adic对数的张量积度量——我们成功地将经典的黎曼曲面上的模空间，转化为一个在非阿基米德完备域上的可收缩空间。这使得我们能够利用精细的$p$-adic积分工具，来计算某些代数簇上向量丛的陈示（Chern Characters），这些示数最终与特定Dirichlet级数的系数紧密相关。在计算方法论方面，我们提供了一套基于随机矩阵理论的拓扑限制的全新视角来处理算术对象的平均行为。我们构建了一个在$GL(2)$上定义的新型随机矩阵模型，该模型的特征值统计性质被设计用来模拟算术模形式的自守表示的“正规化”（Normalization）过程。通过对该模型的中心极限定理的推广，我们能够推导出关于特定算术族中素数分布的更精确的概率估计，这些估计超越了传统筛法所能达到的精度。最后，本书收官于对代数K理论的“结构化”：如何利用拓扑方法来理解代数簇上的局部环的复杂结构。我们提出了一种基于拓扑场论（Topological Field Theory）的框架，该框架将代数K群的生成元解释为特定边界条件的拓扑荷。这为理解$mathbb{Z}[1/n]$上代数结构的内在对称性提供了一个全新的几何模型，并暗示了数论中某些未解猜想可能可以通过研究特定纤维丛的整体截面空间来解决。全书的技术深度和跨学科广度，旨在激发对现代数学前沿进行更深层次的、融合几何直觉与代数严谨性的探索。