Approximation of Additive Convolution-Like Operators pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Silbermann, Bernd

出品人:

页数:306

译者:

出版时间:

价格:$ 84.69

装帧:

isbn号码:9783764387501

丛书系列:

图书标签:

• Approximation theory
• Convolution operators
• Additive operators
• Functional analysis
• Harmonic analysis
• Numerical analysis
• Operator theory
• Mathematical analysis
• Signal processing
• Partial differential equations

好的，以下是一本名为《数值分析中的误差理论与实践》的图书简介，内容详尽，旨在涵盖数值计算方法的理论基础、误差分析、稳定性和实用案例，完全不涉及您提到的《Approximation of Additive Convolution-Like Operators》。 --- 图书名称：《数值分析中的误差理论与实践》 图书简介 在当代科学研究与工程实践中，数值计算是不可或缺的核心工具。从金融建模到天气预报，从结构力学到信号处理，我们对复杂问题的精确求解日益依赖于高效且可靠的数值方法。然而，任何数值方法都不可避免地会引入误差。理解、量化和控制这些误差，是确保计算结果有效性的关键所在。《数值分析中的误差理论与实践》一书，正是聚焦于这一核心挑战，为读者提供一套全面而深入的误差理论框架及其在实际应用中的系统化解决方案。 本书内容横跨数值分析的基石理论、误差的代数与几何解析、以及现代算法的稳定性分析。我们摒弃了仅仅停留在公式推导的传统叙述方式，转而采用一种强调理论与实践相结合的视角，旨在帮助读者不仅理解“为什么会出错”，更能掌握“如何最小化错误”。 第一部分：数值计算的基石与误差的源泉 本书的开篇部分为读者奠定了坚实的数学和计算基础。我们首先回顾了实数系统在计算机中的有限表示——浮点数的特性，这是所有计算误差的根源。详细讨论了单精度和双精度浮点数的内部结构、舍入误差的性质以及这些误差在基本算术运算（加、减、乘、除）中的累积效应。 随后，我们深入探讨了数值方法中的两大核心误差类型：截断误差和收敛性。截断误差源于用有限步的计算或近似公式来替代无限过程（如泰勒级数展开、数值积分的步长选择）。我们通过对经典数值积分方法（如梯形法则、辛普森法则）的误差项进行详细分析，展示了如何通过更精细的步长划分来控制此类误差。 收敛性分析是数值方法的生命线。本书阐述了定常迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法）的收敛条件，包括谱半径的概念，并清晰界定了局部收敛与线性收敛、超线性收敛之间的区别。 第二部分：线性代数方程组的数值求解与误差放大 线性代数方程组 $(mathbf{Ax}=mathbf{b})$ 的求解是数值分析中最常见且最关键的任务之一。本部分将重点放在误差在矩阵运算中的传递和放大效应上。 我们引入了条件数这一核心概念，用以衡量输入数据微小扰动对解的影响程度。详细分析了矩阵的条件数是如何在求解过程中，将前向误差（输入误差）转化为后向误差（解的偏差）。通过对高斯消元法和LU分解的细致剖析，我们展示了如何通过部分主元选择等技术，在实际计算中有效降低舍入误差的积累和放大，从而提高解的可靠性。 对于大规模稀疏线性系统，本书介绍了迭代求解方法的应用，特别是Krylov子空间方法，如共轭梯度法（CG）和广义最小残量法（GMRES）。在讨论这些方法的收敛速度时，我们再次回归到矩阵特征值的分布，强调了预处理技术（Preconditioning）如何通过改善矩阵的条件性来加速收敛并增强数值稳定性。 第三部分：非线性方程、插值与数值微分的稳定性 在处理非线性问题和函数逼近时，误差的来源和控制机制更为复杂。 对于非线性方程 $f(x)=0$ 的求解，我们详尽分析了牛顿法和割线法的局部收敛特性。重点在于讨论当初始点选择不当时，牛顿法可能出现的发散情况，以及如何通过阻尼（Damped）或信任域方法来增强其鲁棒性。 函数插值是数据拟合的基础。本书深入探讨了Runge现象，揭示了等距节点选择在高次多项式插值中的固有缺陷。作为替代方案，我们详细介绍了分段低次插值（如三次样条插值）的构建原理和误差估计，强调了其在保持局部平滑性和全局稳定性的优势。 数值微分方面，本书清晰地区分了有限差分公式的推导与其实际计算中的适用性。我们分析了如何在保持高阶精度的同时，避免由于函数值本身带有测量误差而导致的微分结果的剧烈波动，这在实际数据处理中至关重要。 第四部分：常微分方程的数值积分与长期稳定性 常微分方程（ODE）的数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法（Runge-Kutta methods），是动态系统分析的核心。本部分的核心在于引入稳定性区域的概念。 我们详细区分了一致性（Consistency）、稳定性（Stability）和收敛性（Convergence）之间的关系（Lax等价定理的ODE版本）。通过对隐式方法（如后向欧拉法）和显式方法的比较，我们阐明了在求解刚性（Stiff）ODE系统时，必须采用具有更大稳定性区域的隐式或半隐式方法，以防止因时间步长过小而导致的计算资源浪费，或因步长过大而产生的解的振荡和爆炸。 实践与案例分析 贯穿全书的案例分析环节，将理论知识转化为可操作的技能。我们提供了基于MATLAB/Python环境的实现指南，侧重于如何使用成熟的数值库（如LAPACK, Eigen）并理解其内部调用的稳定性保证。通过对具体工程问题（如电路瞬态分析、流体力学中的对流项离散化）的建模与求解，读者将直观地体会到误差分析指导数值方法选择的重要性。 《数值分析中的误差理论与实践》不仅适用于高年级本科生和研究生，对于需要深度依赖数值模拟进行决策的工程师和研究人员而言，它也是一本不可多得的参考手册，旨在培养读者对计算结果的批判性审视能力。 ---

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