奥林匹克数学中的几何问题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:湖南师范大学出版社

作者:冷岗松

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004-10

价格:29.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787810814348

丛书系列:

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• 数学
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• 几何几何,想破脑壳
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探索代数思维的奥秘：高等函数与数论基础 内容提要： 本书旨在深入浅出地探讨高等数学中的核心分支——代数函数理论与数论基础。它摒弃了对传统几何图形的直接分析，而是将读者的目光聚焦于抽象的符号世界、数字的内在规律以及函数关系的形式美感。全书结构严谨，内容涵盖了从基础的数论概念（如模运算、二次剩余、丢番图方程）到高等代数中的函数性质（如复变函数的解析性、拓扑性质、伽罗瓦群的初步应用）等多个关键领域。 本书特别注重培养读者的抽象思维能力和严格的逻辑推理技巧。我们不纠结于欧几里得空间中的直观图像，而是着重于证明的严密性与概念定义的精确性。通过大量精心挑选的习题和例证，读者将能够掌握处理代数结构和数域扩张的核心工具。 --- 第一部分：数论的深层结构与应用 本部分是对整数性质及其在更广阔数域中表现的探索，重点在于理解“数”这一最基本的数学对象的内在逻辑。 第一章：模运算与同余系统的建立 本章从皮亚诺公理出发，以严格的集合论基础定义自然数，并在此基础上构建整数环 $mathbb{Z}$。核心内容聚焦于模 $n$ 运算。我们将系统地阐述同余关系的等价性、保持加法和乘法运算的性质。 关键主题包括： 1. 中国剩余定理（CRT）的精炼论证： 不仅停留在计算层面，更深入探讨其在构造特定整数集上的应用，以及它与环论中理想分解的联系。 2. 欧拉 $phi$ 函数与费马小定理的推广： 分析 $phi$ 函数的乘性，并利用它来简化大整数的幂运算，为现代密码学中的RSA算法奠定理论基础。 3. 模逆元的唯一性与计算方法： 详细讲解扩展欧几里得算法在求解模 $m$ 下 $a$ 的逆元时的有效性与局限性。 第二章：二次剩余与高斯二次互反律 本章将研究平方数的分布特性。我们将超越初等数论中对平方剩余的简单枚举，进入到更深层次的代数数论视角。 1. 勒让德符号与欧拉判别法： 清晰界定何时一个整数是模素数 $p$ 的二次剩余，并证明欧拉判别式。 2. 高斯引理与二次互反律的代数证明： 采用对比传统的几何方法，本章将侧重于使用高斯和（Gauss Sums）或更抽象的群论工具来证明二次互反律。这不仅深化了对互反性的理解，也为理解更高阶的互反律奠定了基础。 3. 雅可比符号的应用边界： 区分雅可比符号与勒让德符号的本质区别，并探讨其在素性测试（如Solovay-Strassen测试）中的理论作用。 第三章：不定方程的解析处理 本章将目光投向那些解集往往只存在于整数域中的方程，特别是丢番图方程。 1. 线性丢番图方程的通解结构： 利用贝祖等式和扩展欧几里得算法，明确给出所有整数解的参数化形式。 2. 佩尔方程（Pell's Equation）的求解： 重点分析形如 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的方程。我们将利用连分数展开来系统地生成其无穷多组解，并证明最小正整数解的“基本解”性质。 3. 费马大定理的历史背景与现代意义（不涉及复杂代数几何）： 简要介绍费马留下的挑战，并侧重于库默尔（Kummer）对正则素数的研究，将其与代数整数环中的唯一分解性联系起来。 --- 第二部分：高等函数理论的抽象构建 本部分将把读者的视野从离散的整数转移到连续的函数空间，特别是复数域上的函数行为。我们将探讨函数在抽象意义上的“形态”和“变换”。 第四章：复数域上的基础代数结构 本章首先建立复数域 $mathbb{C}$ 作为实数域的代数扩张，并引入复变函数的概念。 1. 复数的代数拓扑性质： 探讨复平面（$mathbb{C}$）的拓扑结构，如开集、闭集、紧致性，并解释这些性质如何影响函数的极限与连续性。 2. 解析函数的定义与性质： 严格定义柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations）。重点分析可微性在复数域中意味着什么——即函数的“平滑性”远超实变函数。 3. 幂级数与解析延拓： 分析函数如何通过幂级数在局部被唯一确定，并引入解析延拓的概念，阐释函数定义域的扩展可能性。 第五章：积分、留数与拓扑约束 本章深入探讨复积分的强大工具，以及它如何揭示函数的全局性质。 1. 柯西积分定理与柯西积分公式： 这两项是复分析的核心。我们将从拓扑角度理解为什么在单连通区域内闭合回路上的复积分积分为零，并利用积分公式来计算函数在特定点的值。 2. 留数定理及其计算应用： 详细介绍孤立奇点（极点、本性奇点）的概念，并推导留数计算公式。本书将展示如何利用留数定理高效地计算那些在实分析中难以处理的定积分，特别是涉及到三角函数或瑕积分的情况。 3. 解析函数的零点分布： 利用李威利定理（Liouville's Theorem）证明常数函数是唯一有界整函数，进而推导基本代数定理（Fundamental Theorem of Algebra）的简洁证明。 第六章：共形映射与变换群 本章探讨函数作为一种空间变换的角色，关注变换对局部形状的保持性。 1. 共形映射的定义与充要条件： 阐述共形映射（即保持角度的映射）的严格定义，并利用柯西-黎曼方程的导数形式证明其与解析性的等价性。 2. 莫比乌斯变换（Möbius Transformations）： 分析形如 $w = frac{az+b}{cz+d}$ 的变换。它们构成了射影群的一个重要子群，具有将圆和直线映射到圆和直线的特性。 3. 黎曼映射定理的定性描述： 介绍该定理的深刻意义——任何一个单连通的、不等于整个复平面的区域都可以被一个全纯函数一对一地映射到单位圆盘上。这强调了函数在结构上的“等价性”概念。 --- 本书特点总结： 本书避开了对三维乃至更高维空间中纯粹视觉几何构造的依赖，而是构建了一个完全基于逻辑和符号的数学世界。它为有志于深入研究抽象代数、代数几何（通过数论的视角）或理论物理的读者，提供了坚实且抽象的理论基石。读者将学会“阅读”函数公式背后的代数逻辑，而非仅仅是观察其图像的变化。全书强调证明的简洁性与优雅性，力求展示高等数学内在的统一性。

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这本书的书脊摸起来有点旧，封面设计很简洁，不像现在市面上那些花花绿绿的数学书。我本来以为它会是那种枯燥的定理堆砌，没想到里面的例题和解析却出奇地清晰。比如，对于那些经典的几何构造问题，作者没有直接给出标准答案，而是引导你去思考每一步推导背后的逻辑。我记得有一道关于圆锥曲线的题目，我卡了好几天，后来翻到书里的解析，发现作者用了一种非常巧妙的代数和几何结合的方法来解决，让我茅塞顿开。这本书的排版也很有意思，有些比较难的证明题，作者会用手绘的草图来辅助说明，而不是那种冷冰冰的计算机生成的图形，这让整个阅读过程显得亲切了许多，仿佛是坐在经验丰富的老师身边，手把手地教你。对于准备参加高难度数学竞赛的同学来说，这本书绝对是必备的“内功心法”，它教的不是招式，而是内力。

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我必须承认，这本书的语言风格相当“硬核”，几乎没有多余的修饰，每一句话都直奔主题，充满了数学的精确性。它不是一本用来“消遣”的书，更像是一本需要你全神贯注、高度集中的工具书。作者对欧氏几何的理解似乎达到了炉火纯青的地步，他总能用最简洁的步骤引出最深刻的结论。我特别喜欢书中对“反向思考”的探讨，即如何从结论出发，反推证明过程所需要的条件。书中探讨的那些关于平面几何与立体几何交叉的问题，尤其精彩，它要求读者具备强大的空间想象力和精确的逻辑推演能力。如果你已经掌握了基础的几何知识，渴望在更高层次上挑战自己的思维极限，那么这本书无疑能提供足够丰富且高质量的“磨刀石”。

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说实话，一开始我有点被这本书的名字震慑住了，以为它会是一本“天书”。毕竟“奥林匹克数学”这四个字本身就带着一种高不可攀的气息。然而，实际翻阅后，我发现它的入门门槛其实比我想象的要低一些。当然，这并非说它简单，而是说它在基础概念的铺垫上做得非常扎实。它没有直接跳到复杂的证明，而是先用一系列直观的、基于初中几何知识的例子来巩固那些核心的几何定理。比如，对于托勒密定理的应用，书中不是简单地套公式，而是先从一个特殊的四边形入手，一步步推导出定理的成立，然后再将其推广。这种“由浅入深、循序渐进”的教学方式，让那些对几何有心理阴影的读者也能慢慢建立起信心。读完它，你不会觉得自己掌握了所有技巧，但你会确信自己已经具备了解决大部分中等难度几何问题的思维框架。

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这本书的装帧质量，坦白说，在这个电子时代显得有些不合时宜，纸张有点薄，印刷的油墨味也比较重。但有趣的是，这种“不完美”反而增强了它的实用性。我习惯把它带在身边，随时随地拿出来做题。内容上，它最让我印象深刻的是对“构造法”的系统梳理。很多几何竞赛题，关键就在于你能不能“看得见”那个隐藏的辅助线或辅助图形。这本书里，作者总结了十几种常用的辅助线画法，并针对每一种方法，配了至少两个不同背景的例题进行讲解。比如，为了证明一个不等式，我们可能需要构造一个特定的三角形；为了证明角度相等，我们可能需要构造一个等腰三角形或圆。这种方法的归纳和总结，极大地拓宽了我解决几何问题的工具箱，不再是看到题目就束手无策。

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阅读这本关于几何难题的专著，给我最大的感受就是作者对问题选取的独到眼光。它收录的题目并非那种烂大街的、网上随处可见的基础练习，而是真正具有“奥林匹克精神”的那些——那些需要灵光一闪、超越常规思维定式的挑战。我尤其欣赏它对“变换”思想的强调，书里花了大量的篇幅讲解旋转、平移、相似变换在解决复杂图形关系时的威力。我记得有一段论述，关于如何利用反演几何来简化看似无解的圆与直线相切问题，讲解得极其细致，甚至考虑到了不同坐标系下的表达差异。虽然阅读过程中不时需要停下来，拿起草稿纸反复演算，但这种“思考的疼痛感”正是学习数学的乐趣所在。这本书对篇幅的控制也拿捏得很好，每一章的难度递进自然，不会让人产生强烈的挫败感，而是稳步提升你的几何直觉和分析能力。

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