具体描述
This text presents a self-contained and systematic survey of the theory and computation of conformal mappings of simply and multiply-connected regions onto the unit disk or canonical region. It provides coverage of the concepts and related numerial computations with applications to relevant areas of applied mathematics, physics and engineering. The text is intended for graduates, mathematicians, scientists and engineers who need to use effectively a variety of methods for conformal mapping problems.
《计算几何与拓扑变换》 图书简介 第一章：离散化基础与网格生成 本书深入探讨了计算几何领域中至关重要的离散化技术及其在复杂曲面建模中的应用。我们将从最基础的几何表示法入手，详细阐述如何在计算机中精确地捕捉和表示连续的几何实体。内容涵盖了从经典的三角化方法到更先进的四面体网格划分技术。重点讨论了网格质量对后续计算效率和精度的影响，特别是边界处的精细化处理。我们将剖析各种网格生成算法的优缺点，包括 Delaunay 三角剖分在二维平面中的应用，以及在三维空间中构建高质量体网格的挑战与解决方案。此外，对参数化表面（如 NURBS 几何）的离散化过程进行了详尽的分析，为后续的数值求解奠定坚实的基础。本章旨在为读者建立起从连续几何到离散模型的完整认知框架。 第二章：数值微分与积分方法 在计算机科学中，对物理现象和几何属性进行量化分析，核心在于数值微分和积分。本章聚焦于在不规则离散网格上实现高精度数值逼近的方法。我们将详细介绍有限差分法（FDM）的推广形式，即如何利用相邻节点的函数值来近似曲面上的梯度、散度和曲率。对于更复杂的曲面，如参数化曲面和隐式曲面，有限元方法（FEM）提供了一种强大的工具。本书将从基础的变分原理出发，推导泊松方程和亥姆霍兹方程在离散域上的弱形式，并讨论线性系统的求解技术，包括直接法（如 LU 分解）和迭代法（如共轭梯度法）。积分方面，重点讨论了高斯求积在不同维度和不同网格类型上的适应性，确保对曲面上通量和面积的准确估计。 第三章：图论与网络流在几何分析中的应用 几何结构，尤其是离散化的网格，天然地可以被建模为图。本章探讨了图论工具如何被有效地应用于解决几何问题。我们将从基础的图结构（如邻接矩阵、度矩阵）出发，深入到几何邻域的定义和最小生成树在网格优化中的作用。图拉普拉斯算子是本章的核心，它不仅是连续拉普拉斯算子在离散域上的最佳近似，也是许多几何处理算法（如网格平滑、电磁场模拟）的基石。本书将详细分析图拉普拉斯矩阵的谱特性，并讨论其与几何测地线距离估计的内在联系。此外，网络流理论被引入到与连通性、阻塞路径分析相关的几何问题中，例如在复杂管道网络或材料渗透性分析中的应用。 第四章：空间数据结构与高效检索 处理大规模几何数据集时，高效的数据组织和查询能力至关重要。本章系统地介绍了用于空间划分和数据加速检索的核心数据结构。内容覆盖了从标准的 KD-Tree、八叉树到更适应不规则网格的层次化包围盒（BVH）结构。我们不仅讨论了这些结构的构建算法（如自底向上与自顶向下构建），还侧重于分析不同查询操作（如近邻搜索、射线相交测试）在这些结构上的渐近性能。特别地，本书对用于处理动态几何场景的动态数据结构进行了探讨，包括如何在模型变形时保持结构的有效性和平衡性，以确保实时或近实时性能。 第五章：几何优化与形变 几何形状的优化和受控形变是计算机图形学、机器人学和工程设计中的核心挑战。本章侧重于定义和求解几何能量函数。我们将探讨基于能量最小化的网格光滑方法，如柯西应力平滑和二次曲率平滑，以去除离散化带来的噪声和畸变。在形变控制方面，重点讲解了基于拉普拉斯坐标和固有几何参数（Intrinsic Geometry）的形变方法。这包括如何通过约束点位移来实现整体结构的平滑、无自交的形变。此外，我们还涉及了结构刚性分析，即如何量化和控制一个离散模型在施加外部力或约束条件下的响应，这为模拟物理系统的行为提供了必要的理论基础。 第六章：拓扑分析与不变量计算 几何对象的拓扑性质，如连通性、洞的数量和边界结构，是其本质属性，对许多分析任务至关重要。本章旨在介绍如何从离散数据中提取这些拓扑信息。内容涵盖了基于持久同调（Persistent Homology）的理论基础，解释了如何通过参数化过滤（如尺度过滤或权重过滤）来识别几何特征的“生命周期”和重要性。我们将详述计算二维表面上的欧拉示性数、曲面流动的拓扑演化，以及在三维域中识别和分类空腔和隧道结构的方法。最后，讨论了拓扑不变量在几何特征识别和模型简化中的实际应用。 第七章：微分几何在网格上的离散化 本章致力于将微分几何中的核心概念——测地线、曲率、曲率流——成功地映射到离散网格上。不同于简单的数值近似，这里追求的是对几何内蕴性质的保留。我们将详细介绍测地线计算的算法，如基于图搜索的近似方法和基于二次规划的精确方法。在曲率估计方面，重点对比了基于法向量平均和基于二次曲面拟合的差异，以及它们对网格平滑度的依赖性。曲率流是驱动几何演化的强大工具，本书将分析离散曲率流（如离散平均曲率流）的稳定性和收敛性，并讨论其在表面自适应重构中的潜力。 第八章：并行计算与 GPU 加速 现代大规模几何处理任务（如电影级渲染、大规模结构模拟）对计算性能提出了极高的要求。本章探讨了将几何算法移植到大规模并行硬件（尤其是 GPU）上的方法论。我们将介绍 CUDA 编程模型及其在处理网格数据结构上的优势与挑战。重点讨论如何将图遍历、矩阵运算以及数据依赖性较高的算法（如有限元求解器的预处理）进行有效的任务分解和并行化。数据局部性、线程束同步以及内存访问模式优化是本章讨论的重点，旨在帮助读者设计出真正高效的、面向现代硬件架构的几何计算内核。
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