具体描述
Promoting original mathematical methods to determine the invariant measure of two-dimensional random walks in domains with boundaries, the authors use Using Riemann surfaces and boundary value problems to propose completely new approaches to solve functional equations of two complex variables. These methods can also be employed to characterize the transient behavior of random walks in the quarter plane.
拓扑学与几何学的交织：从经典到前沿的探索 图书名称： 拓扑空间中的几何结构与不变量 作者： 德里克·范德维尔德 (Derek Van Der Velde) 出版社： 普林斯顿大学出版社 出版年份： 2023年 --- 内容概要： 《拓扑空间中的几何结构与不变量》是一部旨在深度剖析现代拓扑学与微分几何之间复杂而迷人的相互作用的学术专著。本书聚焦于如何利用拓扑学的基本概念，特别是同调论和同伦论的工具，来研究和区分具有特定几何特性的空间。它不仅系统地梳理了经典理论的基础，更深入探讨了近年来在几何结构研究中取得的突破性进展，为高年级本科生、研究生以及从事相关领域研究的数学家提供了一份详尽而权威的参考资料。 全书共分为五个主要部分，共计十八章，结构严谨，逻辑清晰。 --- 第一部分：拓扑基础的重温与深化 (Foundations Revisited) 本部分首先对代数拓扑学的核心概念进行了回顾，但重点在于建立起一个更具几何直觉的视角。 第一章：连续性与形变下的不变量 本章详细探讨了紧致性、连通性和分离公理在不同拓扑空间中的微妙差异。特别关注了形变（Homotopy）的精确定义，并引入了“弱等价”和“真同伦等价”的概念，为后续章节中对几何结构进行分类提供了必要的拓扑语言。 第二章：基本群与覆盖空间 重点解析了庞加莱的基本群（Fundamental Group）在区分具有洞的空间方面所展现出的强大能力。作者通过详尽的例子，展示了如何计算复杂流形的基本群，并深入讨论了万有覆盖空间（Universal Cover）的唯一性定理及其在解析这些空间结构上的关键作用。章节中特别阐述了覆盖空间的分类定理，并将其与图论中的遍历性问题联系起来。 第三章：奇异同调论的几何诠释 本章超越了单纯的代数构造，着重于奇异同调群如何“测量”空间中的环路和曲面。引入了欧拉示性数的代数定义，并将其与几何学中的曲率概念初步挂钩，特别是对于二维流形的讨论。三角剖分和单纯复形的构建被用作理解连续映射到离散结构的桥梁。 --- 第二部分：微分几何的拓扑视角 (The Topological Gaze on Differential Geometry) 本部分是本书的核心创新点之一，它致力于融合代数拓扑的抽象性与微分几何的精确性。 第四章：流形上的微分结构 详细阐述了光滑流形的定义，以及切空间（Tangent Space）的构造。作者清晰地论证了切空间如何成为局部研究流形几何性质的必要工具，为曲率的引入打下基础。 第五章：黎曼度量与曲率的拓扑约束 本章深入研究了黎曼几何。重点讨论了黎曼度量的定义、测地线的性质，以及黎曼曲率张量。最关键的是，本章展示了高斯绝妙定理（Gauss’s Theorema Egregium）如何通过曲率信息，在拓扑上限制了曲面的内在几何性质。 第六章：德拉姆上同调与微分形式 (De Rham Cohomology) 这是连接拓扑与微分几何的关键一章。作者详细解释了德拉姆上同调群的构造，并利用德拉姆定理（De Rham’s Theorem）严格证明了德拉姆上同调群与奇异上同调群之间的同构关系。本章通过泊松括号的引入，也触及了辛几何的初步概念。 第七章：怀特海德乘积与纤维丛的拓扑张量 本章探讨了更高阶的代数不变量。引入了怀特海德乘积（Whitehead Product）来研究基本群中的非交换性，以及如何利用纤维丛（Fiber Bundles）来组织空间结构。特别是对史蒂芬森-霍普夫不变量（Steenrod-Hopf Invariants）在映射度量中的应用进行了深入分析。 --- 第三部分：关键拓扑不变量的几何应用 (Geometric Applications of Key Topological Invariants) 本部分专注于几个具有里程碑意义的拓扑-几何定理，这些定理深刻地影响了流形的分类。 第八章：陈类与向量丛 (Chern Classes and Vector Bundles) 本章是关于特征类的专题研究。详细阐述了陈类（Chern Classes）和庞加莱对偶性（Poincaré Duality）在向量丛分类中的作用。通过与庞加莱-比昂齐定理（Poincaré-Birkhoff Theorem）的对比，展示了这些不变量如何精确地编码了流形上的切丛的拓扑结构。 第九章：霍普夫定理与球面几何 聚焦于二维流形上的经典结果。对霍普夫定理（Hopf Theorem）进行了详细的证明，阐明了黎曼流形上曲率的积分与拓扑性质（欧拉示性数）之间的精确关系。章节探讨了这些结果在球体、环面等具体几何模型上的体现。 第十 章：柯西-黎曼流形与霍奇理论 (Kähler Manifolds and Hodge Theory) 本章进入了复几何的领域。介绍了柯西-黎曼流形的结构，并系统阐述了霍奇分解（Hodge Decomposition）。作者展示了霍奇群如何将上同调群分解为更精细的结构，揭示了具有复结构的流形在拓扑上的深刻约束。 --- 第四部分：几何流与演化 (Geometric Flows and Evolution) 本部分关注于动力学方法在解决静态几何问题中的应用，这是现代几何分析的前沿领域。 第十一章：曲率流的初步：热传导方程的几何解释 本章介绍了几种基本的几何流，如平均曲率流（Mean Curvature Flow）。作者将这些流视为将复杂几何结构“平滑化”的偏微分方程，并分析了其解的局部存在性和光滑性。 第十二章：里奇流与庞加莱猜想的几何证明 本书用整整一章的篇幅深入解析了里奇流（Ricci Flow）在证明拓扑学上的重要猜想中的作用。虽然不涉及具体的拓扑细节，但重点在于里奇流如何通过演化黎曼度量来“提纯”流形的几何结构，并最终稳定到一个可被拓扑分类的简化形态。 第十三章：拓扑场论的数学基础 (Mathematical Foundations of Topological Field Theory) 简要介绍了共形场论（CFT）与拓扑空间之间的联系。这一章侧重于西格玛模型（Sigma Models）的数学框架，以及如何利用路径积分的拓扑限制来研究低维流形的代数性质。 --- 第五部分：非传统空间与边界 (Non-Traditional Spaces and Boundaries) 本部分探索了传统欧氏空间之外的几何结构，特别是关于边界的拓扑处理。 第十四章：拟凸与拟平坦几何 (Plurisubharmonicity and Near-Flat Geometry) 在复流形背景下，本章讨论了拟凸性的概念，及其与稳定性的关系。通过对边界行为的分析，展示了局部几何性质如何影响全局的拓扑嵌入。 第十五章：辛几何与李群的几何拓扑 本章侧重于辛流形（Symplectic Manifolds）。详细介绍了刘维尔积分（Liouville Integrability）的概念，并探讨了如何利用李群的表示论来理解这些流形上的不变测度和拓扑结构。 第十六章：拓扑交集理论与辛不变量 (Topological Intersection Theory and Symplectic Invariants) 本章介绍了Floer同调的数学雏形，展示了如何利用辛几何中的伪全纯曲线（Pseudoholomorphic Curves）来生成新的拓扑不变量，这些不变量挑战了传统上基于基础拓扑构造的分类体系。 第十七章：低维流形的拓扑分解：2流形与3流形 回顾了2维流形（如亏格的确定）的拓扑分类，并对瑟斯顿几何化猜想（Thurston's Geometrization Conjecture）的拓扑意义进行了概述，强调了三维空间中拓扑结构与八种基本几何结构之间的深刻联系。 第十八章：无穷远处：渐近几何 (Asymptotic Geometry at Infinity) 最后一章探讨了具有“大尺度”结构的流形，如渐近平坦空间（Asymptotically Flat Spaces）。通过对希尔伯特空间中能量积分的分析，研究了无穷远处的拓扑行为如何影响流形整体的几何属性，为广义相对论中的黑洞研究提供了数学基础。 --- 本书特色与目标读者： 本书的独特之处在于其无缝衔接了代数拓扑的抽象工具与微分几何的精确计算，为读者提供了一个跨越学科壁垒的统一视角。 目标读者： 致力于深入理解几何分析、代数拓扑或数学物理的进阶学生与研究人员。阅读本书需要扎实的拓扑学和微分几何基础知识。 核心贡献： 本书通过对特征类、曲率流和几何不变量的集成讨论，展示了现代数学中几何结构分类的深刻理论框架，是理解拓扑约束如何决定几何形态的权威指南。
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