Calculus of Variations And Optimal Control/differential Equations Set pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC Pr I Llc

作者:Ioffe, Alexander/ Reich, Simeon/ Shafrir, I.

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:

价格:1544.00 元

装帧:Pap

isbn号码:9781584881407

丛书系列:

图书标签:

• Calculus of Variations
• Optimal Control
• Differential Equations
• Mathematics
• Applied Mathematics
• Engineering
• Physics
• Control Theory
• Mathematical Analysis
• Optimization

经典数学著作导读：聚焦分析与拓扑的深度探索 本书汇集了一系列具有深远影响的数学专著，旨在为高等数学研究者、研究生以及对纯数学前沿领域抱有浓厚兴趣的读者，提供一个系统、深入的知识结构。我们着重介绍了那些在二十世纪中后期为现代数学奠定坚实基础，并持续影响当代研究方向的经典著作，其核心内容横跨实分析、泛函分析、拓扑学以及概率论的若干关键分支。 第一部分：测度论与勒贝格积分的严谨基础 本部分深入探讨了现代分析学的基石——测度论。我们首先回顾了集合论的公理化基础，继而详尽阐述了$sigma$-代数、可测集和测度空间的构造。重点在于对勒贝格测度的构建过程及其优越性进行细致入微的分析，包括其不变性、完备性和与长度、面积、体积的关联。 随后，课程的核心转向勒贝格积分。我们将从黎曼积分的局限性出发，构建勒贝格积分的定义，并系统性地证明单调收敛定理和法度控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem）。这些收敛定理是处理无穷级数和积分序列收敛性的强大工具，其严格证明过程有助于读者建立对极限操作的深刻理解。此外，本书还将介绍积分的逼近概念，如$L^p$空间（包括$L^1, L^2, L^infty$）的定义、范数性质以及里斯-费歇尔定理（Riesz-Fischer Theorem）在完备性方面的关键作用。对这些概念的掌握，是后续研究函数空间和微分方程理论的先决条件。 第二部分：泛函分析与算子理论 泛函分析是连接几何、分析与代数的桥梁。本卷内容从拓扑向量空间的概念入手，详细考察了赋范向量空间的结构。我们将重点剖析巴拿赫空间（Banach Spaces）的特性，并引入哈恩-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）这一核心分离性结果，该定理是构造共轭空间和对偶性的基石。 课程的重心随后转移至有界线性算子的研究。我们将详细讨论开映射定理、闭图像定理以及一致有界性原理（Banach-Steinhaus Theorem）。这些定理构成了算子理论的“三大支柱”，为处理偏微分方程的弱解和解的存在性与唯一性提供了必要的分析工具。 特别地，本书对希尔伯特空间（Hilbert Spaces）进行了深入探讨。通过内积的引入，空间结构被赋予了丰富的几何内涵。我们将详细讲解正交分解定理、谱理论的初步，以及自伴算子（Self-Adjoint Operators）的重要性，这些概念是量子力学中算符理论的直接数学基础。 第三部分：拓扑学的基本概念与度量空间 拓扑学是研究空间“形状不变性”的学科。本部分侧重于点集拓扑（Point-Set Topology）的基础框架，特别是度量空间（Metric Spaces）的理论。我们将从度量空间的定义出发，解析开集、闭集、邻域和收敛性的概念。 接着，我们进入更抽象的拓扑空间范畴，研究连续函数的拓扑性质，以及紧致性（Compactness）这一至关重要的拓扑不变量。紧致性的概念，特别是在Heine-Borel定理（在$mathbb{R}^n$中）以及更一般的拓扑空间中的表现，是保证函数序列存在收敛子序列的关键所在。 此外，本书还将介绍连通性（Connectedness）的概念，并着重分析分离公理（Separation Axioms，如Hausdorff空间）的意义，它们是区分不同类型拓扑空间和保证连续函数良好行为的判据。对这些基本拓扑概念的掌握，对于理解流形理论和代数拓扑的构建至关重要。 第四部分：概率论基础与随机过程的分析视角 虽然本书不侧重于随机过程的应用，但它为现代概率论提供了坚实的分析基础。我们将使用前述的测度论工具，严谨地构建概率测度。核心内容包括随机变量的定义（作为可测函数）、期望的勒贝格积分定义，以及独立随机变量的性质。 重点关注概率收敛的类型，特别是依概率收敛和几乎必然收敛（Almost Sure Convergence）。我们将详细阐述强大数定律（Strong Law of Large Numbers）和中心极限定理（Central Limit Theorem）的测度论证明框架，理解这些定律如何从分析的角度确保统计推断的有效性。同时，对鞅论（Martingale Theory）的初步介绍，将展示如何在信息不断增加的框架下，分析序列的收敛性，这是金融数学和随机控制中不可或缺的工具。 通过对上述四个核心领域的系统梳理，本书旨在培养读者运用现代数学语言进行精确推理和解决复杂问题的能力，为向更高级的微分几何、偏微分方程理论或更专业的控制论领域迈进，打下无懈可击的分析基础。

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