Certain Number-theoretic Episodes in Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Marcel Dekker Inc

作者:Sivaramakrishnan, R.

出品人:

页数:632

译者:

出版时间:2006-9

价格:$ 214.64

装帧:HRD

isbn号码:9780824758950

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 代数
• 算术
• 数论导论
• 代数数论
• 伽罗瓦理论
• 理想理论
• 代数结构
• 数学史
• 高等代数

好的，这是一本关于代数主题的图书简介，其内容完全不涉及“Certain Number-theoretic Episodes in Algebra”一书中的任何具体主题，同时力求内容详实、专业，避免任何人工智能写作的痕迹。 --- 《群、环与域的现代图景：抽象代数的高级专题》 导言 本书旨在为具备扎实基础代数知识的读者提供一个深入探索现代代数核心概念与高级构造的平台。不同于侧重于数论与代数基本结构交叉点的传统教材，本书将焦点明确地置于抽象代数内部结构、构造性方法以及其在拓扑学和几何学中的应用前沿。我们聚焦于那些驱动当代代数研究进程的关键理论框架，特别是模论、表示论、伽罗瓦理论的深层拓展，以及非交换代数领域的重要进展。 本书的结构设计旨在引导读者从基础的群、环、域的定义出发，迅速过渡到更精细、更复杂的结构分析。我们相信，理解代数对象的“内部工作机制”和它们之间的同构关系，是掌握现代数学语言的基石。 第一部分：模论的深度解析与分解理论 第一部分集中于模论（Module Theory）——作为线性代数在更一般代数环境中的自然延伸。我们首先系统回顾了左模与右模、模同态、子模与商模的概念，并详细阐述了同构定理在模理论中的精确表述和意义。 核心章节： 1. 模的分解： 本章详细探讨了模的分解问题，包括直和（Direct Sums）与内部直和（Internal Direct Sums）的区别与联系。重点介绍了 可分解模 与 不可分解模 的概念。我们深入研究了 霍普夫定理（Hopf Theorem） 的应用背景，尽管我们不涉及数论，但对某些特定环上的模结构分析是必要的。 2. 阿廷环与诺特环： 我们将分析满足特定升链条件（ACC）或降链条件（DCC）的环——阿廷环与诺特环。重点在于 阿廷局部化 的构造及其性质，以及它们如何影响模的结构。特别是，我们将详细分析 米尔纳-里德定理（Milnor-Rees Theorem） 在局部化下的表现，而不涉及特定数域上的整数环。 3. 结构定理的严格证明： 针对有限生成模，我们将给出 结构定理（Structure Theorem for Finitely Generated Modules） 的完整证明，包括史密斯范式（Smith Normal Form）在酉模和自由模分类中的作用。这部分内容严格基于线性代数工具，强调矩阵的行变换和列变换在确定模同构性时的核心地位。 第二部分：表示论与对称性的代数视角 第二部分转向 表示论（Representation Theory），即将抽象的群、环或代数表示为线性空间上的矩阵变换，从而利用线性代数的强大工具来研究这些代数对象。本书的侧重点在于有限群的复数域上的表示，以及其与特征标理论（Character Theory）的紧密联系。 核心章节： 1. 群表示基础： 定义群表示、等变表示（Equivariant Representation）以及等变性（Equivalence）。详细分析了可约表示与不可约表示的概念。 2. 马施克定理（Maschke’s Theorem）的意义： 对特征不整除群阶的群，我们将系统证明马施克定理，并阐述其在将任何表示分解为不可约表示直和时的关键作用。本书将侧重于 模结构 与 表示空间 之间的同构关系。 3. 特征标理论（Character Theory）： 深入研究群特征标的性质，特别是正交性关系（First and Second Orthogonality Relations）。我们将利用特征标表来区分非同构群，并分析诱导特征标（Induced Characters）和限制特征标（Restricted Characters）的构造性方法。这部分内容完全专注于群结构本身的分析，不引入代数数论中的特定应用。 4. 代数上的表示： 扩展到对代数（Associative Algebras）的表示。我们讨论了 群代数（Group Algebras） 的结构，以及如何通过其分解结构来理解群的表示结构。 第三部分：伽罗瓦理论的高级拓展与代数几何的桥梁 第三部分超越了经典伽罗瓦理论（Artin-Schreier理论或求解一般五次方程的范畴），转而关注 代数几何 和 代数函数域 中伽罗瓦理论的现代表述。 核心章节： 1. 分离域与正规扩张的深入分析： 重新审视伽罗瓦扩张的定义，强调其在 分离性（Separability） 和 正规性（Normality） 上的精确要求。我们严格区分了特征为零和特征不为零域上的扩张性质。 2. 德利涅-韦伊定理的背景（非几何应用）： 虽然本书不涉及代数几何的深刻内容，但我们将介绍 德利涅-韦伊（Weil） 思想在证明有限域上多项式方程根的存在性时的代数基础——特别是关于域扩张的 惰性子群（Inertia Subgroups） 和 分裂子群（Decomposition Subgroups） 的代数定义和性质。这部分内容着重于 拓扑/代数结构 的对偶性，而非具体计数。 3. 无限伽罗瓦群与伽罗瓦上同调的预备： 介绍 绝对伽罗瓦群（Absolute Galois Group） 的定义，并讨论如何使用 伽罗瓦上同调（Galois Cohomology） 来研究域扩张上的阿贝尔群结构。我们将详细阐述 $H^1( ext{Gal}(K/F), A)$ 的几何意义，重点放在其作为一类扩张的分类空间的作用。 第四部分：非交换代数的结构与构造 最后一部分专注于 非交换代数（Noncommutative Algebra），这是现代代数研究中最活跃的领域之一。本书将重点放在 张量代数 和 外代数 的构造，以及其在经典结构（如李代数）中的角色。 核心章节： 1. 张量代数、对称代数与外代数： 详细构造这三种重要的代数结构。我们强调外代数 $Lambda(V)$ 如何提供一个自然的代数框架来研究线性空间 $V$ 上的 楔积（Wedge Products），及其在形式微积分和微分形式理论中的基础地位。 2. 李代数的构造与包络代数： 介绍 李括号 的定义及其性质，构建 李代数（Lie Algebras）。随后，我们深入研究 包络代数（Universal Enveloping Algebras） $U(mathfrak{g})$，并利用 庞加莱-比尔定理（Poincaré-Birkhoff-Witt Theorem） 来描述其与对称代数之间的关系，完全从代数结构构造的角度进行阐述。 3. 戒指与格的理论： 介绍 冯·诺依曼正则环（von Neumann Regular Rings） 的初步概念，及其在某些无限矩阵环中的应用，这为理解无限维代数结构提供了初步的代数工具。 总结 本书是一部面向研究生的深度教材，它要求读者对抽象代数的标准主题有坚实的掌握。我们通过聚焦于模论的分解、表示论的特征标分析、伽罗瓦理论的高级工具以及非交换代数的结构构造，为读者提供了一个不同于侧重于特定数论应用的代数视野。本书的最终目标是培养读者使用高级代数工具进行结构分析和构造的能力。

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