An Introduction to Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Pinchover, Yehuda/ Rubinstein, Jacob

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2005-5

价格:$ 83.62

装帧:Pap

isbn号码:9780521613231

丛书系列:

图书标签:

• textbook
• 偏微分方程
• 数学分析
• 常微分方程
• 数值分析
• 应用数学
• 工程数学
• 高等教育
• 数学物理
• 科学计算
• 数学

探索非线性动力学与复杂系统分析：一本深入研究随机偏微分方程的书籍简介 书名： 随机偏微分方程导论：从基础理论到前沿应用 (Introduction to Stochastic Partial Differential Equations: From Foundational Theory to Cutting-Edge Applications) 作者： [虚构作者姓名，例如：陈伟、伊丽莎白·史密斯] 出版年份： [例如：2024] --- 内容概述 本书旨在为高等数学、理论物理、金融工程及计算科学领域的读者提供一套全面、严谨且富有洞察力的随机偏微分方程（SPDEs）理论框架。我们深知，在现实世界中，许多重要的物理、生物和金融现象都受到内在的随机性和时空演化的共同影响。传统的确定性偏微分方程（PDEs）在描述噪声驱动的系统时显得力不从心。因此，本书将焦点集中于那些包含随机项的偏微分方程，系统地介绍其理论基础、主要的分析工具，以及它们在解决复杂实际问题中的强大能力。 本书结构精心设计，循序渐进。它首先从概率论和测度论的基础知识出发，确保读者具备分析随机过程所需的数学工具。随后，我们深入到随机微积分的核心——伊藤积分（Itô Integration）的构建及其性质，这是理解随机微分方程（SDEs）和SPDEs的基石。 理论部分的高潮在于对随机偏微分方程的严谨定义、解的存在性与唯一性证明，以及解的正则性分析。我们不会仅仅停留在抽象的数学推导，而是紧密结合实际背景，阐释如何将物理上的噪声（如白噪声或分色噪声）转化为数学上的随机场，并嵌入到偏微分方程框架中。 本书的独特之处在于其对前沿应用的广泛覆盖和深度分析。我们不仅涵盖了经典的随机热方程和随机泊松方程，更花费大量篇幅探讨在流体力学、材料科学和金融建模中至关重要的非线性、非均匀和高维SPDEs。对于那些涉及随机界面演化、随机介质中的波传播、以及金融市场中的随机波动性模型等复杂问题，本书提供了详细的数学处理方法和数值模拟的初步指导。 核心章节深度解析 第一部分：随机分析基础与测度论铺垫 (Chapters 1-3) 本部分为后续复杂理论的建立奠定坚实的数学基础。 第一章：概率论与测度论回顾 本章涵盖了概率空间、随机变量、鞅（Martingales）理论的核心概念。重点强调随机过程的连续性、有界变差性以及各种收敛模式（依概率收敛、Lp收敛等）。特别地，我们引入了随机测度的概念，这是连接经典测度论与随机分析的桥梁。 第二章：伊藤积分的构建与性质 随机分析的灵魂——伊藤积分，被系统地构建起来。我们详细阐述了简单随机过程、有界可测过程，最终构造出伊藤积分。关键的讨论点包括伊藤等距性质、伊藤-伊斯托克公式（Itô's Formula），以及随机积分的局部性质，如鞅特性。我们采用简洁而严谨的方式处理高维随机积分的交叉项问题。 第三章：随机微分方程（SDEs）的初步探讨 在进入偏微分方程之前，本章首先解决常微分方程层面的随机化问题。我们讨论SDE的解的存在性与唯一性定理（如Picard迭代法在随机环境下的推广），并引入Girsanov定理，它在测度变换和风险中性定价中扮演着不可或缺的角色。 第二部分：随机偏微分方程的理论框架 (Chapters 4-7) 这是本书的核心理论部分，着重于将随机性引入到偏微分方程的框架中，并发展相应的解的存在性理论。 第四章：随机热方程与弱解的定义 我们从最基础的线性SPDE——随机热方程 ($partial_t u = Delta u + xi$) 开始。重点在于如何定义随机解。本章引入了随机变分法（Stochastic Variational Methods），并详细论证了基于Sobolev空间和随机积分空间的弱解的存在性和唯一性。特别是对于白噪声驱动的方程，我们探讨了解的“正则性提升”现象。 第五章：随机椭圆型方程与泊松问题 本章转向定常问题，研究随机泊松方程 ($Delta u = f + xi$)。我们利用随机格林函数（Stochastic Green’s Function）的方法，结合势理论，分析了随机边界条件下的解的势表示。对于非齐次随机项，我们深入探讨了随机对流项对解的平滑性的影响。 第六章：非线性随机演化方程 本书的关键挑战在于处理非线性项。我们考察了如随机KdV方程、随机非线性Schrödinger方程等模型。这部分依赖于更高级的 Banach 空间理论和不动点定理（如Krasnoselskii不动点定理的随机版本）。重点分析了随机粘性解的概念，以处理非线性对解的正则性带来的退化效应。 第七章：随机场与随机算子的泛函分析 为了处理高维和更复杂的噪声结构，本章深入到抽象的框架。我们研究了随机算子方程，并利用随机积分的Wiener 积分（或Lévy 积分）框架，研究了半群理论在随机环境下的推广——随机半群的生成元理论。 第三部分：前沿应用与计算方法 (Chapters 8-10) 本部分将理论知识应用于实际科学和工程问题，并提供了连接理论与实践的桥梁。 第八章：随机流体力学模型 我们探讨了在随机扰动下Navier-Stokes方程的随机形式——随机非均质流。重点关注湍流模型中的随机驱动项，以及这些模型在描述海洋环流或大气扩散中的应用。我们讨论了随机惯性流中能量耗散的统计规律。 第九章：随机介质中的波传播与扩散 本章研究了随机系数（或随机源项）下的波动方程和扩散方程。例如，在具有随机折射率的介质中电磁波的传播。我们利用波前理论的随机化，分析了波包在随机环境中的离散化和散射现象，特别是随机布朗运动对波传播速度和幅度的影响。 第十章：金融市场中的随机建模与数值方法 本章侧重于应用。我们详细分析了随机波动性模型（如Heston模型在偏微分方程形式下的表达），以及随机利率模型在无套利框架下的推导。在数值部分，我们介绍了蒙特卡洛方法在求解高维SPDEs中的应用，以及有限差分法在处理随机边界条件时的修正技巧，强调了数值稳定性与收敛性的分析。 目标读者 本书适合研究生、博士后研究人员以及在相关领域进行前沿研究的工程师和科学家。读者应具备扎实的实分析、泛函分析和概率论基础。对于希望从传统PDE转向随机系统研究的专业人士，本书提供了必要的过渡与深化。 本书特色 1. 理论的严谨性与应用的结合： 理论推导严格，同时紧密联系物理和金融背景，避免了纯理论书籍的晦涩难懂。 2. 聚焦现代工具： 大量引入了随机场、随机半群、随机分析的高级工具，确保内容的时效性。 3. 详尽的案例分析： 对非线性随机模型（如随机 Burgers 方程、随机反应-扩散系统）的深入分析，展示了SPDEs解决复杂问题的潜力。

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