Handbook of Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Elsevier Science Ltd

作者:Chipot, M. (EDT)/ Quittner, P. (EDT)

出品人:

页数:624

译者:

出版时间:2005-10

价格:$ 265.55

装帧:HRD

isbn号码:9780444520456

丛书系列:

图书标签:

微分方程
常微分方程
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数学分析
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数学物理
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具体描述

This is a collection of self contained, state-of-the-art surveys. The authors have made an effort to achieve readability for mathematicians and scientists from other fields, for this series of handbooks to be a new reference for research, learning and teaching. Partial differential equations represent one of the most rapidly developing topics in mathematics. This is due to their numerous applications in science and engineering on the one hand and to the challenge and beauty of associated mathematical problems on the other. It includes chapters, enriched with numerous figures originating from numerical simulations. It is written by well known experts in the field. It is a self-contained volume in series covering one of the most rapid developing topics in mathematics.

现代分析与拓扑学导论内容提要：本书旨在为读者提供现代数学分析与拓扑学领域坚实而全面的基础。全书结构严谨，逻辑清晰，内容涵盖了从经典实分析的严密性，到现代度量空间理论、泛函分析的初步概念，以及拓扑学中最为核心的结构与性质。本书侧重于概念的精确定义、定理的严格证明以及在不同数学分支间的内在联系的揭示。第一部分：实分析的精深探究第一章：集合论基础与构造本章从集合论的基本公理（ZFC的简化视角）出发，迅速过渡到更具分析意义的结构：序数、基数以及选择公理在分析中的隐性应用。重点讨论了实数集 $mathbb{R}$ 的构造及其完备性（Dedekind割法或Cauchy序列法），这是所有后续分析工作的基础。我们将深入剖析拓扑学思想在 $mathbb{R}^n$ 上的初步体现，包括开集、闭集、紧集和可数集的性质。第二章：测度论与勒贝格积分本章是本书的核心之一，致力于从集合论基础构建起强大的积分理论。我们从外测度（Carathéodory构造）出发，定义 $sigma$-代数和博雷尔集。随后，严格定义勒贝格测度。积分部分，我们将顺序构建简单函数积分、非负函数积分（上/下积分的区分），最终定义勒贝格积分。关键定理如单调收敛定理（MCT）、法图引理（Fatou's Lemma）和支配收敛定理（DCT）将得到详尽的证明和应用实例，特别是它们在收敛性与积分顺序交换中的决定性作用。第三章：函数空间与$L^p$空间基于勒贝格积分，本章聚焦于函数空间的研究。定义 $L^p(mu)$ 空间，并利用闵可夫斯基不等式证明其构成Banach空间。至关重要地，我们引入了Hölder不等式和逆Hölder不等式，并证明了Minkowski不等式在 $p geq 1$ 时的三角性质。对 $L^1$ 和 $L^infty$ 空间的特殊性质进行分析，为后续泛函分析做铺垫。第二部分：一般拓扑结构第四章：拓扑空间的基本概念本章将分析的视角从 $mathbb{R}^n$ 推广到抽象空间。严格定义拓扑空间、开/闭集、邻域系统和基（Base）。集中讨论特定类型的拓扑：有限补拓扑、余有限拓扑、子空间拓扑和商拓扑的构造。紧凑性、连通性（路径连通性）的概念被引入，并证明了紧集的重要性质，特别是其子集的闭性。第五章：连续性与嵌入本章深入探讨连续函数的性质，证明连续函数在紧集上保持紧性，在连通集上保持连通性。连续函数的乘积和商的性质被仔细研究。随后，我们讨论嵌入定理，说明如何将一个拓扑空间“自然地”嵌入到另一个空间中，例如将度量空间视为拓扑空间时，其子集上的诱导拓扑。第六章：度量空间与完备性度量空间作为一种特殊的拓扑空间，其结构提供了更丰富的分析工具。定义度量、完备度量空间。本章重点证明了巴拿赫不动点定理（Contraction Mapping Theorem），并演示其在常微分方程解的存在性与唯一性证明中的核心作用。完备性的概念（如Baire范畴定理的应用）将在后面泛函分析中得到回归和扩展。第三部分：泛函分析的萌芽第七章：赋范空间与Banach空间本章将分析的对象集中到具有范数结构的向量空间上。定义赋范空间，并引入Banach空间的概念。线性映射的连续性与有界性是本章的焦点，并探讨了线性泛函的概念。本章将初步接触到线性算子的定义、合成以及它们在线性代数和分析交叉领域的应用。第八章：Hilbert空间与内积在赋范空间的基础上，引入内积结构，定义Hilbert空间。研究内积的几何意义，特别是正交性。柯西-施瓦茨不等式在这一框架下的重申。关键内容包括：正交投影定理，它提供了在闭子空间上寻找“最近点”的强大工具，是变分原理和优化问题的理论基础。第四部分：代数拓扑的初步展望第九章：同调与同伦的直觉本章旨在建立读者对代数拓扑的直观理解，不涉及复杂的计算。通过例子说明拓扑不变量的概念，特别是连通性的更高层次的衡量——高阶连通性。介绍基本群（Fundamental Group）的概念，并用圆周 $mathbb{S}^1$ 的例子说明如何利用它来区分拓扑空间，为理解同伦等价和形变提供工具。结论：本书的结构设计旨在引导读者从直观的微积分概念出发，通过严格的测度论和分析工具，最终接触到抽象的拓扑与函数空间理论。书中强调证明的完整性与概念的辨析，是为有志于深入研究微分几何、偏微分方程、或更深层次泛函分析的数学及物理专业学生准备的坚实入门教材。本书内容独立于微分方程的求解过程，专注于构建支撑这些求解过程的分析和拓扑基础框架。