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出版者:Springer

作者:

出品人:

页数:299

译者:

出版时间:2016-11-24

价格:USD 179.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783319470566

丛书系列:

图书标签:

• 计算机科学
• 流形
• 机器学习
• 数学
• 信息几何
• 信息几何
• 计算
• 微分几何
• 统计学
• 机器学习
• 优化
• 概率论
• 数值计算
• 深度学习
• 理论基础

《计算信息几何》 内容简介 《计算信息几何》是一部深入探讨信息几何这一新兴交叉学科的专著。本书将数学的严谨性与计算的实用性相结合，为读者呈现了一个丰富且充满活力的研究领域。信息几何学以微分几何的语言来研究统计模型及其之间的关系，而计算信息几何则聚焦于利用计算方法来解决信息几何中的核心问题，并开发有效的算法。 本书的出发点是信息几何学的基本概念，包括流形、度量张量、测地线以及指数簇等。这些概念被用来刻画统计模型空间，例如概率分布族。作者详细阐述了如何将统计模型视为几何对象，并利用黎曼几何的工具来分析它们的性质。这包括度量信息流形上的距离（如Fisher信息度量），并探讨这些距离如何反映模型之间的相似性或差异性。 在信息几何学的基础上，本书着重介绍了计算信息几何的方法和技术。这部分内容是本书的核心，涵盖了如何在实践中实现信息几何学的理论。读者将了解到如何构造和操作信息流形，以及如何计算流形上的几何量，例如曲率、测地线以及共轭联络。这些计算对于理解模型的结构、进行模型选择、参数估计以及模型之间的比较至关重要。 本书的一个重要章节专门讨论了Fisher信息度量及其相关的计算。Fisher信息度量不仅是信息几何学的基本工具，在统计推断、参数估计的效率分析以及模型比较中也扮演着关键角色。作者将介绍计算Fisher信息度量的方法，包括解析计算和数值近似技术，并讨论其在不同统计模型中的应用，如指数族、非参数模型等。 此外，本书还深入探讨了信息流形上的优化问题。许多统计学习和机器学习任务，如参数估计、模型选择、降维等，都可以转化为在信息流形上寻找最优解的问题。本书将介绍多种在流形上进行优化的算法，例如梯度下降法、牛顿法及其在信息几何学中的变种。这些算法的效率和收敛性分析也是本书的重要内容。 本书的另一亮点在于对多种重要信息几何模型和结构的详细介绍。这包括了对指数簇的深入研究，指数族在统计学和机器学习中具有广泛的应用，例如多元正态分布、泊松分布、二项分布等。作者将阐述如何将这些指数族表示为信息流形，并计算其几何性质。此外，本书还将涉及一些更复杂的几何结构，例如非参数模型空间、贝叶斯模型等，并探讨在这些空间中进行的计算。 《计算信息几何》也关注信息几何学在实际应用中的价值。本书将展示信息几何学如何为机器学习、模式识别、信号处理、统计物理等领域的算法和理论提供新的视角和解决方案。例如，在机器学习中，信息几何可以用于理解和改进核方法、支持向量机、神经网络的训练过程，以及开发更有效的降维和流形学习技术。在统计推断方面，信息几何学提供了一种新的框架来理解和分析估计的性质。 为了使读者能够更好地掌握计算信息几何的技术，本书提供了大量的算法细节和计算实例。作者通过清晰的推导和直观的解释，引导读者理解算法背后的数学原理，并学习如何实现这些算法。书中包含的示例覆盖了从经典的统计模型到现代机器学习应用的广泛范围。 《计算信息几何》适合数学、统计学、计算机科学、工程学以及相关领域的研究人员、博士后、研究生以及有志于深入了解信息几何学及其计算方法的专业人士阅读。本书期望能为读者提供一个坚实的理论基础和实用的计算工具，以应对信息科学和数据分析领域中的挑战。 本书并非对已有文献的简单汇编，而是作者基于长期研究和教学经验，对计算信息几何学进行系统性梳理和创新的成果。作者力求在保持学术严谨性的同时，提供清晰易懂的阐述，并鼓励读者进一步探索这一迷人的领域。

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这本书的写作风格可以说是“骨感而有力”，它几乎没有冗余的叙述，每一个公式的引入都服务于构建整体的几何框架。我特别关注了其中关于**信息速率与信道容量**的讨论，但这次的视角是从信息几何的“速度”和“曲率”来衡量的。传统的香农定理给出了容量的上限，而这本书则探讨了如何**快速、高效地逼近**这个上限。作者通过引入**曲率张量**来量化信息编码和传输过程中的“扭曲”程度，这在高速通信系统设计中具有直接的指导意义。例如，在面对**大规模MIMO系统**中信道估计的复杂性时，如果能将信道模型表示为一个信息流形上的点，那么最优的预编码和译码策略就转化为在流形上寻找最短路径的问题。书中对**随机过程的几何刻画**，特别是关于**卡尔曼滤波器的非线性推广**部分，让我耳目一新。它摒弃了线性的假设，将非线性动态系统的状态估计视为在概率流形上的迭代投影，这对于机器人学和导航系统中的高精度定位至关重要。这是一本要求读者主动去“发现”其应用价值的教材，而不是被动接受的说明书。

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初翻开这本厚重的《计算信息几何》，我就被它严谨的数学框架和对现代信息科学应用的深刻洞察力所吸引。作者似乎并未试图用花哨的比喻来包装复杂的理论，而是直截了当地将读者带入了测地线、黎曼流形和费舍尔信息矩阵的讨论之中。我尤其欣赏其中关于**高维统计推断**的章节，它巧妙地将经典的统计学问题，如参数估计的渐近效率，提升到了几何学的视角下来审视。例如，书中对**自然梯度下降法**的推导，不仅展示了其在机器学习优化中的优越性，更重要的是，它揭示了这种优化路径背后的几何必然性——沿着信息流形的测地线前行，确保了每一步参数更新都能在保持信息量不变的前提下实现最快的收敛。对于那些厌倦了纯粹的数值计算和“调参”的工程师而言，这本书提供了一种更深层次的理解，即**为什么**某些算法有效，而不仅仅是**如何**让它们运行。它要求读者具备扎实的微积分和线性代数基础，但一旦跨越了最初的门槛，你会发现这套工具箱能让你以一种全新的、更具洞察力的方式去重构和设计信息处理系统，比如在深度学习模型的正则化策略中寻找更具信息论意义的约束。这本书不是一本快速入门手册，更像是一份需要沉下心来研读的学术宣言。

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相较于其他专注于深度学习优化的书籍，本书的视野更为宏大和基础。它探讨的范畴远超出了当下热门的技术堆栈。最令我印象深刻的是其对**因果推断的几何理解**。在处理混杂因素和反事实问题时，因果图的结构往往是关键。书中提出了一种将**反事实空间嵌入到统计流形**中的方法，从而使得“干预”操作可以被解释为流形上的特定“位移”或“映射”。这种处理方式极大地简化了对复杂因果结构下平均处理效应的计算。此外，书中对**可观测性和可区分性**的几何阐释，也为理解模型的可解释性提供了坚实的数学基础。如果两个模型在信息几何上非常接近（即它们对应的流形上的距离很小），那么从数据角度看，我们几乎不可能区分它们，这直接关联到模型的冗余性和泛化能力。这种对基础理论的深刻挖掘，使得读者在面对新的、尚未有成熟算法的问题时，能够从信息几何的基本公理出发，推导出合理的解决方案框架，而不是仅仅停留在对现有工具的修修补补上。

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这本书的最终价值，我认为体现在它对**“不变性”**的追求上。在数据科学和机器学习中，我们总是在寻找对噪声、对小扰动鲁棒的特征和模型。作者巧妙地将这种鲁棒性与**信息流形的等距变换**联系起来。换句话说，一个“好的”特征提取器，应该是一个尽可能将原始数据空间映射到信息流形上的一个相对“平坦”区域的变换，使得局部扰动不会引起全局概率分布的剧烈变化。书中对**Fisher-Rao度量**的深入讨论，提供了一种衡量这种局部敏感度的精确量化工具。我尝试将书中的几何正则化思想应用到我的时间序列预测模型中，通过惩罚模型参数空间中那些导致信息流形曲率过大的变化，成功地提高了模型在对抗性样本攻击下的稳定性。这本书的阅读过程是充满挑战的，但它最终给予读者的，是一种**数学上的优雅感**和**理论上的自信**，让你能够超越特定算法的限制，去理解信息处理的本质规律，这对于任何严肃从事信息科学研究的人来说，都是一份不可多得的财富。

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读完这本书，我最大的感受是它成功地架设了一座连接纯粹数学与实际工程应用的桥梁，尽管这座桥的设计充满了令人敬畏的数学复杂度。我发现作者在处理**复杂系统的建模**问题时，展现了极高的技巧。书中对**熵作为度量**的讨论，远超出了传统的热力学或信息熵的范畴，而是将其推广为衡量系统不确定性和复杂性的内在几何属性。特别是关于**流形学习与降维**的部分，它不再满足于简单的欧氏距离或线性投影，而是坚持认为数据点实际上嵌入在一个内在的、弯曲的流形上，我们必须沿着这个流形本身的几何结构去理解数据的内在结构。这种观点在处理非线性高维数据，比如自然语言处理中的词向量空间或生物信息学中的基因表达数据时，显得尤为有力。我尝试将书中的一些概念，例如**贝叶斯推断中的后验分布的几何结构**，应用到我目前正在研究的贝叶斯非参数模型中，发现传统的马尔可夫链蒙特卡洛方法在某些情况下表现出的缓慢收敛，其实可以用流形上的“拥堵点”来解释，这为后续的算法改进提供了明确的方向。这本书的价值在于它提供了一种**本体论上的转变**，即把数据视为流形上的点，而不是向量空间中的点。

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