黎曼几何学 正交标架法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:E. 嘉当

出品人:

页数:267

译者:

出版时间:1964

价格:1.30

装帧:21cm

isbn号码:9780412041525

丛书系列:

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《黎曼几何学：正交标架法》 本书致力于系统性地阐述黎曼几何学的核心概念与方法，尤其聚焦于正交标架法在分析黎曼流形上的几何性质所展现出的强大威力。全书围绕着如何构建和运用标架场，以及由此引申出的微分几何工具，层层深入地揭示黎曼几何的内在结构与几何直观。 第一部分：黎曼流形基础与标架场的引入 本部分将首先建立黎曼几何的基本框架。我们将从微分流形的概念出发，介绍切空间、向量场、张量场等基本对象。在此基础上，引入度量张量的概念，定义黎曼度量，从而赋予流形以长度、角度、体积等几何信息。我们将清晰地阐述黎曼流形的拓扑与光滑结构如何通过度量张量被赋予丰富的几何内涵。 紧接着，本书将重点介绍“正交标架”这一核心工具。我们将详细解释什么是局部标架场，以及如何选择和构造一个在流形上处处定义且在每一点的切空间上构成一组正交基的标架场。我们会讨论不同类型标架场（如移动标架、局部正交标架）的定义、性质及其在坐标选择上的自由度。通过引入一系列精心设计的例子，读者将直观理解标架场如何在局部“捕捉”流形的几何形状。 第二部分：联络、曲率与正交标架下的张量分析 在建立了流形和标架场的基础上，本部分将深入探讨黎曼几何的关键概念：联络和曲率。我们将首先介绍联络的概念，特别是列维-奇维塔联络，它是黎曼度量唯一确定的无挠率、度量兼容联络。我们将展示如何在正交标架下计算列维-奇维塔联络系数，并解释它在平行移动中的作用。 曲率张量的计算与理解是本书的重中之重。我们将详细推导黎曼曲率张量、里奇张量和标量曲率在正交标架下的具体表达式。通过对这些曲率不变量的分析，我们可以洞察流形的内在弯曲性质。例如，我们将解释截面曲率如何描述流形在特定平面上的弯曲程度，以及里奇曲率和标量曲率如何反映流形的整体平均弯曲。我们会通过具体的几何模型，如球面、双曲面等，来直观展示这些曲率张量的几何意义。 此外，本部分还将运用正交标架法来分析各种重要的几何张量，如法向张量、曲率张量等。我们将展示如何利用标架场将这些张量分解成更易于分析的分量，以及如何在正交坐标系下简化它们的计算和性质研究。 第三部分：测地线、曲率流与黎曼流形上的几何方程 本部分将聚焦于测地线，它们是黎曼流形上“直线”的推广，是连接两点的最短路径（在局部意义下）。我们将利用正交标架下的联络系数，写出测地线的微分方程，并讨论其解的存在性和唯一性。通过分析测地线的行为，我们可以了解流形的整体几何结构。 接着，本书将引入曲率流（如里奇流）的概念。我们将阐述曲率流如何随着时间演化黎曼度量，以及它们在几何分析和分类中的作用。我们将讨论如何在正交标架下表示和计算曲率流方程，并简要介绍其与流形几何性质变化的关系。 此外，本书还将涵盖一些重要的几何方程，如爱因斯坦方程、杨-米尔斯方程等，并阐述如何在正交标架下理解和求解这些方程。我们将展示如何利用标架场来简化这些方程的分析，并揭示它们与物理学中相关概念的联系。 第四部分：正交标架法的应用与进阶 本部分将拓展正交标架法的应用范围，并介绍一些更深入的理论。我们将探讨如何利用正交标架法来研究黎曼流形上的特定几何结构，例如常曲率流形、对称空间、卡拉比-丘流形等。我们会分析这些特殊流形在正交标架下的特征，以及如何利用标架场来识别和构建它们。 本书还将介绍与正交标架法相关的其他重要概念，如外微分、霍奇分解、德拉姆定理等，并说明它们与黎曼几何的联系。我们将展示如何利用正交标架来计算外微分和积分，以及如何理解和应用霍奇分解定理。 最后，本书将简要提及一些前沿的黎曼几何研究方向，如奇点理论、量子几何等，并指出正交标架法在这些领域中扮演的角色。 本书特点： 理论与直观并重： 强调几何直观的培养，通过大量实例和图示，帮助读者建立对抽象概念的深刻理解。 方法论导向： 聚焦于正交标架这一强大而普适的分析工具，教授读者如何运用该方法解决实际的黎曼几何问题。 循序渐进： 内容组织严谨，从基础概念到复杂理论，步步为营，适合对黎曼几何有一定数学基础的读者。 数学严谨性： 在保证几何直观的同时，对数学定义和定理的严谨性也给予充分的重视。 通过对《黎曼几何学：正交标架法》的学习，读者将能够系统地掌握黎曼几何学的基本理论和分析方法，并能熟练运用正交标架法来解决各种几何问题，为进一步深入研究微分几何、理论物理等相关领域打下坚实的基础。

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这本书的理论构建给我带来一种豁然开朗的感觉，仿佛作者是一位技艺精湛的向导，带领我在复杂的数学结构中稳步前行。它没有那种堆砌术语的晦涩感，而是非常注重逻辑链条的顺畅衔接。我注意到，在引入关键概念时，作者总是会先提供一个直观的、基于几何直觉的铺垫，然后再过渡到严谨的分析表述，这种“形”与“数”的结合，极大地降低了初学者的门槛。特别是对于那些涉及到张量分析和微分形式的章节，作者的阐述简直是教科书级别的清晰，让我对那些原本抽象的概念有了更具象的把握。这种循序渐进的教学法，让学习过程充满了发现的乐趣，而不是枯燥的记忆。读完一章后，我常常会停下来回味，那种茅塞顿开的满足感，是阅读其他同类著作时难以体会的。

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我必须提到这本书在参考文献和索引部分所做的细致工作。这对于任何希望进一步深造的读者来说，都是至关重要的辅助工具。参考文献的选取非常具有代表性，涵盖了从基础奠基之作到最新的前沿进展，构建了一个完整的知识网络。而索引的设计更是体现了作者的匠心，它不仅收录了主要的术语，还细致地标明了次要概念的出现位置，这极大地提高了查阅效率。每次在解决一个疑惑后，我都会习惯性地翻阅索引，常常能发现与当前问题相关的其他重要论述，这种自我导向的学习路径设计，使得这本书的实用价值倍增。它不仅是一个学习的起点，更是一个随时可以返回查阅和参考的可靠“工具箱”。

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这本书的叙事节奏掌握得非常到位，充满了数学家特有的那种冷静而富有激情的笔调。它不像有些著作那样干巴巴地陈述事实，而是带着一种讲述一个宏大而精妙故事的感觉。当你阅读到某个关键转折点，比如关于曲率张量定义的那一段时，你会清晰地感受到作者对数学之美的深深沉醉。那种行云流水般的论证过程，让人沉浸其中，几乎忘记了时间的流逝。虽然内容本身是高度抽象的，但作者通过丰富的类比和实例的穿插，有效地锚定了读者的注意力，使得那些高维度的思考不再遥不可及。这种将严谨的逻辑包装在优雅的文字之中的能力，使得这本书在众多纯粹的数学著作中脱颖而出，成为一本读起来让人感到愉悦的作品。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，那种沉稳中又不失典雅的封面风格，立刻就让人联想到数学的严谨与美感。拿到手里的时候，那纸张的质感，触感温润，翻阅起来非常舒适，可见出版方在细节上的用心。光是看着这封面和书脊上的书名，就感觉已经踏入了那个充满奇妙曲面的几何世界。我尤其欣赏它排版上的留白处理，既不会让人觉得拥挤不堪，又能确保公式和文字的清晰度，长时间阅读下来，眼睛的疲劳感也减轻了不少。这种对阅读体验的尊重，在很多专业书籍中是很难得的。虽然我尚未完全深入到内容本身，但仅从外在来看，它无疑是一件值得珍藏的学术品。它不仅仅是一本工具书，更像是一件精心打磨的艺术品，散发着知识的醇厚气息，让人忍不住想要立刻打开它，一探究竟。

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从一个资深研究者的角度来看，这本书在处理一些经典定理的现代诠释方面，展现出了极高的水准。它不仅仅是对传统教科书内容的简单复述，更融入了作者多年研究的深刻洞察。特别是对黎曼流形上测地线方程的讨论，其深度和广度都超出了我的预期。它没有止步于标准的坐标表示，而是巧妙地引入了一些更高级的代数工具来简化复杂的计算，这对于希望将理论应用于实际问题的读者来说，无疑是极具价值的财富。我发现，其中对一些拓扑性质与曲率特性的关联性分析，角度非常新颖，为我接下来的研究方向提供了一些新的思路和启发。这本书的价值在于，它既能满足入门的需求，也能让有一定基础的人从中汲取到更深层次的学术养分。

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