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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:B. A. Dubrovin

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1991-12

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540976639

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微分几何
• 微分几何7
• Geometry
• 几何学
• 现代几何
• 数学
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• 拓扑学
• 代数几何
• 微分几何
• 射影几何
• 欧几里得几何
• 数学分析

《现代几何学》 《现代几何学》是一部深入探讨现代几何学核心概念与发展脉络的著作。本书并非简单罗列定理公式，而是致力于勾勒出几何学自欧几里得时代以来，如何经历革命性的变革，并拓展至更加抽象和多维的领域。 本书的开篇，将带领读者回顾经典欧几里得几何的坚实基础，解析其公理体系的精妙之处，以及这些公理在构建我们对空间基本认识中的核心作用。然而，故事的重点远不止于此。随着科学技术的发展和人类思维的不断拓展，一些看似不证自明的“事实”开始受到挑战。本书将详细阐述非欧几何的诞生，重点介绍黎曼几何和罗氏几何的公理体系，解析它们如何通过改变平行公理等基本假设，构建出完全不同于我们日常经验的几何空间。读者将在此了解到，曲率的概念如何成为描述空间性质的关键，以及这些非欧几何在物理学（如广义相对论）中的深刻应用。 进入现代，几何学的触角进一步延伸。本书将详尽介绍微分几何，着重解析曲线、曲面以及更高维流形上的微积分工具。读者将学习如何利用切向量、法向量、曲率、挠率等概念，精确地描述几何对象的局部和整体性质。本书将通过丰富的例子，展示微分几何在分析几何形状的弯曲程度、研究曲面之间的等距映射、以及理解物理场的几何结构等方面的强大威力。 拓扑学作为一门研究空间在连续形变下保持不变性质的学科，在本书中占据了重要的篇幅。本书将深入浅出地介绍拓扑空间、连续映射、同胚等基本概念，并探讨同调论、同伦论等重要的代数拓扑工具。读者将理解，在拓扑学的视角下，一个甜甜圈和一个咖啡杯本质上是相同的，这种抽象化的视角如何帮助我们研究更广泛的“形状”概念，并解答诸如“是否有办法在不撕裂或粘合的情况下，将一个球体变成一个立方体”等有趣问题。本书还将触及一些现代拓扑学的热门领域，如微分同胚、低维拓扑以及量子拓扑的可能性。 此外，《现代几何学》还将目光投向代数几何，展示几何与代数之间的深刻联系。本书将介绍射影空间、簇、概形等代数几何中的核心对象，并阐释如何利用多项式方程来定义和研究几何对象。读者将了解到，代数几何为研究高维几何对象提供了一种强大的代数语言，并在数论、密码学等领域有着广泛的应用。本书会适当地引入一些基本的代数工具，如环、域、理想等，以构建起代数几何的基本框架。 本书的另一重要主题是离散几何。在计算机科学、数据分析和计算建模日益普及的今天，研究离散结构上的几何性质变得尤为重要。本书将探讨图论中的几何问题，如平面图的嵌入、多边形分解、凸包的计算等，并介绍计算几何中的重要算法和数据结构。读者将了解到，离散几何如何为理解和处理现实世界中的数据提供几何视角。 《现代几何学》并非仅仅停留在理论层面，它同样关注几何学在各个科学分支中的实际应用。本书将穿插介绍几何学在物理学（如广义相对论中的时空几何、规范场论）、计算机图形学（如三维建模、渲染）、工程学（如结构分析、机器人学）、生物学（如蛋白质折叠、DNA结构）以及经济学（如博弈论中的几何解释）等领域的应用案例，展示现代几何学作为一种强大的分析工具，在解决现实世界问题中的不可或缺性。 本书的写作风格力求严谨又不失可读性。作者在确保数学概念的准确性的同时，也注重通过直观的例子、清晰的图示和逻辑严密的论证来引导读者理解复杂的几何思想。对于需要进一步深入研究的读者，本书也提供了丰富的参考文献和拓展阅读建议。 总而言之，《现代几何学》旨在为读者提供一个全面、深入且富有启发性的几何学知识体系，帮助理解现代几何学如何从古老的欧几里得体系中脱颖而出，发展出丰富多彩的分支，并渗透到现代科学的各个角落。这本书是几何学爱好者、相关领域的研究生以及任何对空间、形状和结构本质感兴趣的读者不可或缺的读物。

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我必须指出，这本书的难度曲线非常陡峭，绝非为零基础的读者准备的“入门指南”。作者默认读者已经对线性代数、多元微积分以及基础的抽象代数结构有扎实的掌握。在某些章节，作者采用了高度凝练的语言风格，有时甚至省略了那些被视为“显而易见”的中间步骤。这对于那些经验丰富的研究人员或高年级学生来说，无疑是效率的保证，因为他们不需要被冗长的细节拖慢思路；然而，对于我这种需要在特定领域进行知识迁移的半路出家者来说，偶尔会感到一丝窒息。例如，在处理纤维丛（Fiber Bundle）的理论时，作者直接跳跃到了上同调的定义，缺乏足够的上下文铺垫来巩固基础。因此，我的建议是，这本书更适合作为第二本、第三本进阶参考书来使用。它的价值在于填补那些在标准教材中被一笔带过的高级概念，但前提是读者必须具备强大的自主学习能力和对数学严谨性的高度敏感。这本书是知识的浓缩精华，喝下去需要慢慢消化。

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说实话，刚拿到手的时候，我有点担心这本专注于“现代”几何的著作会不会过于侧重于近二十年来的高深理论，而忽略了基础的奠基工作。但事实证明，我的担忧是多余的。作者展现了一种罕见的宏观视野，他巧妙地在拓扑学、微分几何和代数几何的交汇点上搭建了一座坚实的桥梁。他没有采取传统教科书那种线性递进的枯燥结构，而是采用了一种螺旋上升的叙事方式。初次接触时，你会被给予一个宏大的框架，一些看似无关的领域被并置展示，让人感到一丝困惑；然而，随着阅读的深入，你会发现这些先前分散的知识点开始如同磁铁般相互吸引、相互印证，最终在某个章节里“啪”地一下，构成了一个完整而有机的体系。这种结构安排，极大地考验了读者的专注力，但一旦跟上节奏，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。我尤其欣赏它对“不变性”这一核心思想的处理，从群论在几何变换中的应用，到同调论对空间结构的捕捉，作者层层剥茧，将“无论你怎么扭曲、拉伸，有些东西是永恒不变的”这一深刻洞见植入了读者的思维深处。

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这本书的排版和印刷质量达到了工艺品的级别。边距的留白恰到好处，使得在演算和批注时有足够的空间，这对于需要频繁在旁边推导辅助证明的读者来说至关重要。纸张的选择也很有品味，那种略带哑光的质感，既能减少反光，又避免了过于光滑带来的廉价感。但真正让我爱不释手的是它对图示的运用。在描述那些多维空间中的截面或奇异点时，往往一张精确的、富有洞察力的插图胜过千言万语。作者显然在如何“视觉化抽象”这一点上花费了大量心血。比如，在介绍辛几何（Symplectic Geometry）的结构时，书中不仅有经典的相空间图景，还引入了一些基于现代计算机图形学的可视化模型，这些模型以一种近乎艺术品的方式展示了李维尔不变性和泊松括号之间的内在联系。这些精美的图例，不仅辅助理解，本身也成了激发灵感的源泉。坦白说，市面上很多数学教材在图文排版上敷衍了事，而这本书的处理方式，体现了对读者阅读体验近乎苛刻的尊重。

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这部书的封面设计简直是视觉上的享受，那种简洁而又充满深意的排版，让人忍不住想立刻翻开扉页，去探寻其中蕴含的奥秘。我最欣赏的是作者在引入新概念时那种庖丁解牛般的清晰度。面对那些初看起来令人望而生畏的抽象结构，作者总能找到最直观的比喻，仿佛将那些高冷的数学符号拉到了我们触手可及的现实世界。举个例子，在讲解黎曼几何中曲率的概念时，书中并没有直接堆砌复杂的张量分析，而是通过对一个在不同表面上滚动的球体的细腻观察，将内蕴和外蕴的差异刻画得入木三分。这种教学方法极大地降低了初学者的心理门槛，让人感觉“原来这并非遥不可及的知识殿堂，而是可以通过逻辑的阶梯一步步攀登上去的。”更值得称赞的是，作者在正文之外精心设置的“历史侧记”部分，穿插着那些伟大数学家们在探索这些理论时所经历的挣扎与灵感迸发，这使得整本书读起来不再是冰冷的公式集合，而是一部充满人文关怀的智力史诗。对于任何想要深入理解现代几何学核心思想的读者而言，这本书提供的不仅仅是知识，更是一种对数学美学的深刻体悟。

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这本书最令人惊喜的创新之处，在于其对“应用前景”的探讨，它并没有将现代几何仅仅视为一个纯粹的数学分支，而是将其置于当代物理学和数据科学的前沿交叉点进行审视。作者花了相当大的篇幅去讨论广义相对论的几何基础如何与微分拓扑学的最新成果相呼应，这部分内容极为前沿，充满了对未来研究方向的预判。更令人兴奋的是，书中探讨了如何利用黎曼几何中的测地线概念来优化复杂的机器学习模型中的特征空间，这简直是为我从事的数据分析工作打开了一扇全新的窗户。这种跨学科的视野，使得这本书的阅读体验不再是单纯的学术探索，而更像是一场前沿科技的战略研讨会。它没有提供具体的应用代码，但它提供了构建这些应用所需的、最深刻的数学直觉和概念框架。读完后，你会感觉自己不仅仅是掌握了一门学科的工具，更是获得了一种审视和解构复杂现实世界问题的新型思维模式，非常具有启发性和指导性。

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这三本读完几何学的基础就非常之好了

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