曲面的一般研究 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:Carl Friedrich Gauss

出品人:

页数:133

译者:

出版时间:2016-5-1

价格:69.00元

装帧:精装

isbn号码:9787040451726

丛书系列:HEP World's Classics

图书标签:

• 数学
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《微分几何初步：曲面与空间曲线的探索》 本书旨在为读者提供一个坚实而易于理解的微分几何入门。我们将从基础的概念出发，逐步深入到曲面和空间曲线的精妙世界。 第一部分：空间曲线的几何 我们首先会建立起描述空间曲线的数学语言。您将学习如何使用参数方程来精确地定义一条曲线，例如螺旋线、摆线等经典例子。接着，我们将引入曲率和挠率的概念，这两个核心工具将帮助我们量化曲线的弯曲程度和空间扭转程度。通过计算和分析，您将能够区分直线、平面曲线以及具有复杂三维形状的空间曲线。 参数化与切向量： 如何用参数描述曲线的运动轨迹，并理解切向量代表的方向和速度。 曲率 (Curvature)： 衡量曲线在一点处弯曲程度的量，理解其几何意义，例如圆的曲率为常数，直线曲率处处为零。 挠率 (Torsion)： 衡量空间曲线扭转程度的量，理解其在描述三维形状中的重要性。 Frenet 标架： 介绍 Frenet 标架（切向量、主法向量、次法向量）及其在描述曲线局部几何性质中的作用，以及 Frenet 公式。 经典曲线的分析： 详细分析例如螺旋线、圆的演化等具有代表性的空间曲线，理解其曲率和挠率的计算与几何意义。 第二部分：曲面的基础理论 本书的重点将放在二维曲面上，这是三维空间中的“皮肤”。我们将学习如何用参数方程来描述曲面，例如球体、圆柱面、抛物面以及更复杂的光滑曲面。为了理解曲面的局部性质，我们将深入研究曲面上的第一基本形式。它如同“内禀度量”，允许我们在不离开曲面本身的情况下测量距离、角度以及计算面积。 参数化曲面： 如何用两个参数来描述曲面上的点，并学习如何表示常见的曲面，如平面、球面、圆柱面、锥面等。 第一基本形式 (First Fundamental Form)： 定义曲面上无穷小距离的平方，理解它如何携带曲面的度量信息，例如面积和角度的计算。 曲面上的曲线： 研究嵌入在曲面上的曲线，例如曲面上的直线（测地线）、曲面上的法向截线等。 曲面上的法向量与切平面： 理解曲面在一点处的法向量方向，以及由切向量张成的切平面，它是曲面在该点的局部线性逼近。 第三部分：曲面的曲率——表征其形变 理解曲面的弯曲程度是微分几何的核心之一。我们将引入高斯曲率和平均曲率这两个关键概念。高斯曲率揭示了曲面自身的内禀弯曲特性，而平均曲率则描述了曲面相对于外部空间的弯曲方式。高斯曲率的标志性性质——高斯曲率的不变性，将引领我们进入一个深刻的洞察，即曲面上的测量（如距离和角度）是独立于其在三维空间中的嵌入方式的。 第二基本形式 (Second Fundamental Form)： 定义曲面相对于外部空间的弯曲程度，它描述了曲面切平面的变化。 法曲率 (Normal Curvature)： 沿曲面法方向上的截线的曲率，理解不同方向上的法曲率。 主曲率 (Principal Curvatures)： 在曲面上存在两个相互垂直的方向，使得法曲率取得最大值和最小值，这两个值称为主曲率。 高斯曲率 (Gaussian Curvature)： 是两个主曲率的乘积，它是曲面的一个内禀不变量，意味着它只依赖于曲面自身的度量性质，而不依赖于曲面在外部空间的嵌入方式。 平均曲率 (Mean Curvature)： 是两个主曲率的算术平均值，它描述了曲面在该点的平均弯曲程度，与曲面在三维空间中的“张力”有关。 高斯-博内定理简介： 触及这个深刻的定理，理解曲面的总曲率与拓扑性质之间的联系。 学习目标： 通过学习本书，您将能够： 熟练运用参数方程描述和分析空间曲线与曲面。 理解并计算曲率、挠率、高斯曲率和平均曲率等关键几何量。 运用第一和第二基本形式来分析曲面的局部性质。 初步领会内禀几何与外在几何的区别，以及高斯曲率的不变性。 为进一步学习更高级的微分几何、拓扑学、广义相对论等领域打下坚实的基础。 本书采用清晰的语言和循序渐进的讲解方式，并配以丰富的例子和练习题，帮助读者克服抽象的数学概念，亲身感受几何图形的魅力。无论您是数学、物理、工程专业的学生，还是对几何世界充满好奇的探索者，本书都将是您旅程中宝贵的起点。

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我尝试着用一种非常“直觉性”的方式去理解这本书的整体脉络，但坦白说，这种试图用日常认知去套用它复杂结构的努力很快就碰了壁，这恰恰说明了作者构建知识体系的难度和创新性。初读几章，我感觉自己像是在攀登一座由抽象概念构成的山脉，每一步都需要精确地定位脚下的立足点，稍有偏差便可能滑落至完全的迷惘之中。书中对“边界条件”的探讨，那种层层剥离、深入骨髓的论述方式，简直是教科书级别的范例。它没有简单地罗列已有的理论，而是从最基础的公理出发，以一种近乎哲学的思辨性来审视这些概念的内在一致性和适用范围。特别是关于非线性系统的分析部分，作者引入了一种我此前从未接触过的视角，将原本被视为“噪音”或“扰动”的元素，提升到了构成结构本身的关键要素的高度。这种思维的跃迁，迫使我必须不断地回溯前文，甚至停下来在草稿纸上进行大量的符号推演，以期跟上作者那近乎超前的洞察力。它不是一本用来消磨时间的读物，更像是一次需要全神贯注投入的智力探险。

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这本书的语言风格非常独特，它在保持极度严谨的数学表述的同时，偶尔又会穿插一些极具画面感的比喻，这种“硬朗”与“诗意”的奇妙结合，是它最吸引我继续读下去的动力之一。在阐述那些极其抽象的几何变换时，作者会使用类似“空间如同被无形的手温柔地拉伸和折叠”这样的描述，这在冰冷的符号世界中投下了一束温暖的光，让读者得以暂时抽离符号的桎梏，去感受其背后的物理或空间直觉。然而，这种诗意的点缀绝不喧宾夺主，它只是作为理解复杂性的辅助工具，一旦进入核心证明环节，语言便立刻回归到最精准、最不容置疑的逻辑链条上。这种张弛有度的叙事节奏，极大地降低了纯理论研究带来的枯燥感。我甚至发现自己开始期待下一个抽象概念的出现，好奇作者会用何种出人意料的语言或类比来揭示它的本质。这本书的作者显然是一位精通如何“讲故事”的数学家，他的故事就是真理的演化史。

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深入阅读这本书后，我最大的感触是它对“不确定性”和“局部最优解”的审慎处理。在许多现代应用数学领域，人们倾向于追求完美的解析解，而这本书却花了相当大的篇幅去探讨系统在信息不完全或条件受限下的行为模式。它引导读者接受这样一个现实：在真实复杂系统中，全局最优往往是遥不可及的奢望，而对局部稳定性的深刻理解和有效控制，才是推动实际进步的关键所在。作者通过一系列精妙的案例分析，展示了如何利用已知的边界条件，最大限度地榨取系统的有效信息，并构建出在特定约束下最具鲁棒性的模型。这种务实而又深刻的哲学观渗透在字里行间，它教会我的不仅仅是计算技巧，更是一种面对复杂世界应有的谦逊态度——即承认自身的认知边界，并在边界之内做到极致的精细化管理。这本书的价值，在于它提供了一套应对“已知未知”的思维框架，这在任何需要决策的领域都具有非凡的指导意义。

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与其他领域的学术著作相比，这本书在引用和参考文献的处理上展现出一种罕见的“自洽性”与“宏大视野”的平衡。作者似乎并不满足于在既有的研究框架内修修补补，而是努力构建一个可以容纳跨学科思想的广阔平台。例如，在讨论某些拓扑结构时，他巧妙地引入了来自信息论和复杂网络科学中的工具和视角，这种跨界的嫁接处理得十分自然，没有丝毫生硬的堆砌感。翻阅尾声的附录部分，我注意到作者对一些早期奠基性学者的工作进行了非常精妙的“再解读”，这种解读不是简单的总结或批判，而更像是一种对话——如同一个后来的大师在与前辈的智慧进行深入的、辩证的交流。这种尊重历史又不拘泥于历史的态度，使得全书充满了活力，绝非那种故步自封的陈旧文献。对于那些渴望站在巨人肩膀上看得更远的研究者而言，这本书提供的参照系和方法论支持，其价值是难以估量的。它不仅仅是知识的传递，更是一种研究精神的薪火相传。

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这本书的装帧设计给我留下了极为深刻的印象，那种厚重而又内敛的气质，仿佛预示着其中蕴含着不凡的学识深度。封面采用了一种低饱和度的深蓝色，配合着烫金的标题字体，在光线下散发出一种沉静而高级的光泽。触感上，它并非那种廉价的涂布纸，而是略带纹理的亚麻质感，每一次翻阅都像是在进行一种庄重的仪式。内页的纸张选择也极其考究，米白色的微哑光处理，有效地减少了长时间阅读带来的视觉疲劳，这对于研究类书籍来说至关重要。排版上，作者和出版社显然花了不少心思，字体大小适中，行间距处理得当，即便是那些复杂的公式和符号，也清晰可辨，逻辑链条一目了然。我尤其欣赏它在章节起始处所采用的留白设计，这种克制的留白不仅提供了必要的喘息空间，更在视觉上将不同的理论模块巧妙地分隔开来，使得整本书的阅读节奏感非常流畅。从物理形态上来说，它已经超越了一本普通书籍的范畴，更像是一件值得珍藏的学术艺术品，让人在尚未深入内容之前，就已经对作者的严谨态度和出版方的专业水准油然而生敬意。这种对细节的极致追求，无疑为接下来的阅读体验设定了一个极高的基准线。

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