Differential Geometry of Curves and Surfaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Thomas Banchoff

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:2010-3

价格:0

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isbn号码:9781568814568

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《曲面与曲线的微分几何学》：探索空间之美的数学语言 本书是一本深入探讨数学中一个迷人分支——微分几何学的著作。它旨在为读者提供一个严谨而富有洞察力的框架，以理解和描述二维空间（曲面）和一维对象（曲线）的局部和整体性质。通过运用微积分和线性代数的力量，我们得以将直观的空间几何概念转化为精确的数学语言，从而揭示隐藏在复杂形状背后的深刻规律。 全书的核心在于“微分”这一概念的运用，它允许我们局部地分析光滑的曲线和曲面。通过计算曲线上某一点的切线，我们可以理解曲线在该点的弯曲程度和方向；通过研究曲面上某一点的法平面和曲率，我们可以量化曲面的局部形状，例如它是像球面一样向内或向外弯曲，还是像马鞍面一样同时向两个方向弯曲。这些局部信息，一旦被系统地收集和分析，便能揭示出物体整体的几何特征。 第一部分：从局部到整体的旅程——曲线的微分几何 本书的开篇将带领读者踏上一段关于曲线的探索之旅。我们将从最基本的概念入手，定义光滑曲线，并引入参数化这一强大的工具，它允许我们用一个变量来描述曲线的每一个点。接着，我们将深入研究曲线的几个关键微分不变量： 切向量 (Tangent Vector)： 它是曲线在某一点上“前进方向”的指示，其方向和大小（速度）都蕴含着丰富的信息。我们学习如何计算它，并理解它如何随着参数的变化而变化。 法向量 (Normal Vector) 和主法向量 (Principal Normal Vector)： 当曲线弯曲时，我们自然会关心它“向哪边弯”。法向量垂直于切向量，而主法向量则进一步指示了曲线弯曲的确切方向。 挠率 (Torsion)： 对于三维空间中的曲线，除了弯曲，我们还需要考虑它是否会“扭转”。挠率正是衡量曲线扭转程度的量，它为我们描绘了曲线在三维空间中的空间轨迹。 曲率 (Curvature)： 这是描述曲线弯曲程度的最核心概念。曲率越大，曲线在该点就越弯曲。我们不仅要理解其几何意义，还要学习如何计算它。 通过对这些概念的深入理解，我们将能够构建一系列重要的几何工具，例如： 挠率-曲率曲线 (Frenet Frame)： 这是与曲线紧密相连的一个局部坐标系，它随着曲线的运动而“携带”着曲线的切线、主法线和次法线方向，为我们提供了分析曲线局部性质的有力框架。 自然参数化 (Natural Parametrization)： 这种特殊的参数化方式，使得参数代表曲线的弧长，极大地简化了许多几何计算，并将曲率和挠率直接与参数的导数联系起来。 本部分将通过一系列精选的例子，展示如何运用这些工具来分析各种类型的曲线，从简单的直线和圆，到复杂的螺旋线和摆线，帮助读者建立起对曲线几何性质的直观感知和严谨理解。 第二部分：深入二维的维度——曲面的微分几何 在掌握了曲线的微分几何之后，我们将目光转向更丰富的二维世界——曲面。曲面是构成我们周围世界绝大多数三维物体表面的数学模型。本书将系统地介绍研究曲面局部性质的关键工具和理论： 曲面参数化 (Surface Parametrization)： 类似于曲线，我们将使用两个参数来描述曲面上的每一个点，从而建立起曲面与其局部平面之间的对应关系。 第一基本形式 (First Fundamental Form)： 这是描述曲面上的距离和角度的根本工具。它由曲面在参数空间中的导数定义，能够帮助我们计算曲面上的弧长、面积，以及两个向量之间的夹角。第一基本形式揭示了曲面内在的几何性质，与曲面如何嵌入到外部空间无关。 第二基本形式 (Second Fundamental Form)： 它则侧重于曲面在三维空间中的“弯曲”程度，即曲面是如何“陷”入或“凸”出其切平面的。第二基本形式包含了曲面的曲率信息，是我们理解曲面形状的关键。 曲率 (Curvature) 的深入探讨： 对于曲面，我们将遇到两种重要的曲率： 法曲率 (Normal Curvature)： 它表示在特定方向上，曲面沿着该方向的法截线的曲率。 主曲率 (Principal Curvatures)： 这是在曲面上取遍所有方向，能够使得法曲率达到最大值和最小值的两个方向上的法曲率。它们是描述曲面局部形状的最基本量。 高斯曲率 (Gaussian Curvature) 和平均曲率 (Mean Curvature)： 高斯曲率是两个主曲率的乘积，它决定了曲面在某一点是局部凸起（正高斯曲率，如球面）、局部凹陷（正高斯曲率，如抛物面）、还是呈马鞍状（负高斯曲率，如双曲抛物面）。平均曲率是两个主曲率的平均值，它在许多物理问题中扮演重要角色，例如表面张力。 测地线 (Geodesics)： 这是曲面上“最直”的曲线，相当于欧氏空间中的直线。测地线的概念对于理解曲面上的最短路径以及曲面自身的几何结构至关重要。我们将学习如何定义和计算测地线。 本书的第二部分将深入探讨一系列重要的定理，例如： 高斯绝妙定理 (Gauss’s Theorema Egregium)： 这个里程碑式的定理表明，高斯曲率只取决于第一基本形式，因此是一个内在不变量，不会因为曲面在三维空间中的弯曲或变形而改变。这意味着，即使两个曲面在三维空间中看起来形状不同，但如果它们拥有相同的高斯曲率，那么它们在内在几何上是等价的。 曲面的等温线 (Isothermal Coordinates) 和等距映射 (Isometric Mapping)： 我们将探讨如何找到能够简化曲面方程的特殊坐标系，以及如何理解和构建保持距离和角度不变的映射，这对于地图绘制和几何建模有着重要意义。 第三部分：连接与应用——更广泛的视野 在为读者打下坚实的微分几何基础之后，本书的最后部分将拓展视野，探讨微分几何在更广泛领域的应用和相关主题： 黎曼几何简介： 我们将初步介绍黎曼几何，这是微分几何的一个更广阔的推广，它研究的是弯曲的流形，而不仅仅是二维曲面。广义相对论等现代物理理论正是建立在黎曼几何的框架之上。 微分几何在物理学中的应用： 从经典力学中的运动轨迹分析，到广义相对论中时空的几何描述，微分几何是理解这些物理现象的不可或缺的数学工具。 微分几何在计算机图形学和几何建模中的应用： 光滑表面的表示、变形和渲染，都离不开微分几何的原理。理解曲面的曲率和测地线，有助于创建更逼真和可控的三维模型。 学习目标与读者群体 本书适合于具备一定微积分和线性代数基础的本科生、研究生以及对数学和几何有浓厚兴趣的科研人员。通过系统地学习本书内容，读者将： 掌握分析和描述曲线与曲面局部与整体几何性质的数学工具。 培养严谨的数学思维和解决几何问题的能力。 深刻理解微分几何作为连接代数、分析与几何的桥梁的重要性。 为进一步学习更高级的几何理论以及理解其在科学和工程领域的应用打下坚实基础。 《曲面与曲线的微分几何学》不仅仅是一本介绍数学理论的教科书，更是一扇通往探索空间之美、理解物质世界背后数学规律的窗口。它邀请您一同踏上这场严谨而充满发现的数学旅程。

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坦白说，我接触过好几本关于微分几何的读物，但很少有能像这本一样，将“拓扑直觉”与“分析工具”结合得如此天衣无缝的。作者似乎有一种天赋，能够将那些看起来风马牛不相及的分析工具——比如各种微分算子——巧妙地编织进对曲面几何特性的描述中。我印象最深的是关于曲率流的引言部分，虽然篇幅不长，但它清晰地勾勒出了一个动态的几何过程，让人看到空间是如何“自我演化”的。这本书的风格非常“欧式”，强调严格的局部分析，对于那些更偏爱整体拓扑视角的研究者来说，可能需要自行补充一些更现代的理论框架。但就其作为经典微分几何教材的定位而言，它无疑是教科书级别的典范。它教会你的不仅仅是公式，更是一种审视空间和形变的数学思维方式，一种探寻内在一致性的方法论。

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这本《微分几何中的曲线与曲面》的阅读体验，怎么说呢，就像是走进了一座由数学家精心雕琢的几何迷宫。作者的笔触细腻入微，对于那些抽象的曲面概念，他总能用最直观的方式引导你进入。比如在讲解黎曼度量和测地线时，我感觉自己不是在看书，而是在触摸和感受空间本身的弯曲。书中对各种经典曲面——从环面到螺旋面——的详尽分析，让我对“局部性质决定整体结构”有了更深刻的理解。尤其值得称道的是，作者对“第二基本形式”的阐述，那种层层递进的逻辑推导，简直是一种智力上的享受。虽然有些章节的计算量确实不小，需要读者投入相当的耐心和时间，但一旦你跨越了那道坎，你会发现眼前的几何世界豁然开朗，那些曾经在三维欧氏空间中看似随意的线条和面，在微分几何的框架下，都变得有章可循，遵循着优雅的内在法则。这本书无疑是为那些渴望真正理解空间结构本质的读者准备的，它不只是工具书，更是一部几何思想的艺术品。

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这本书的排版和图示设计，在我看来，是其一大亮点。在处理像法丛、切空间这样容易让人产生空间错乱感的抽象概念时，作者提供的插图并非简单的二维投影，而是极具启发性的示意图，它们巧妙地平衡了直观性与数学的精确性。我尤其喜欢作者在引入新的坐标系或参数化方法时，总会附带一个简短的历史背景或应用实例，这让枯燥的数学推导多了一丝人文色彩。例如，在讲解曲面的等距变换时，书中穿插的那些关于“不变性”的讨论，极大地激发了我对几何分类学的兴趣。虽然核心内容依旧是硬核的理论推导，但这些“润滑剂”使得长时间的阅读变得不那么令人疲惫。对我而言，这本书的价值不仅在于它教授了多少知识点，更在于它如何通过视觉和叙事上的精心编排，将这些复杂的知识点“装入”读者的脑海，使其易于消化和记忆。

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这本书的阅读过程更像是一次马拉松赛跑，而非短跑冲刺。它对读者的要求极高，需要持续的专注力和对细节的敏锐捕捉能力。我发现，每一次重新翻阅某个章节，总能从中领悟到初读时遗漏的微妙之处，这正是好书的标志。例如，关于“可展曲面”的判定标准，书中的推导清晰有力，让我彻底明白了为什么某些曲面可以被“摊平”而不拉伸。这种对“不可能”与“可能”之间界限的精确描绘，极具说服力。如果说有什么可以改进的地方，也许是它对应用领域的着墨略显保守，更多是停留在理论基础的构建上，但这或许正是作者的本意——先打下最坚实的地基。总而言之，对于那些真正想在纯数学领域建立起微分几何知识体系的人来说，这是一部必备的、值得反复研读的珍贵资料。

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拿到这本书时，我首先被它那严谨的、近乎堡垒般的结构所震撼。它不像某些入门教材那样试图用过于简化的类比来“哄骗”读者，而是开宗明义，直接将读者置于微分几何的纯粹逻辑之中。我必须承认，初期阅读时，我时常需要停下来，翻阅参考书，去确认那些张量符号和微分形式的精确含义。然而，正是这种不妥协的严谨性，使得一旦你掌握了其中一个概念，它就能牢固地扎根于你的数学知识体系中。特别是在涉及曲率的讨论部分，作者对主曲率、高斯曲率和平均曲率的区分和联系的阐述，细致到了极致，让人不得不佩服其对数学细节的痴迷。这本书的难度是毋庸置疑的，它要求读者具备扎实的微积分和线性代数基础，但对于那些已经有一定基础，想要在微分几何领域深耕的人来说，它提供的知识深度和广度是其他许多教材望尘莫及的。读完后，你不会只是“会用”这些公式，而是真正“理解”它们背后的几何意义。

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