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出版者:Dover Publications

作者:Heinrich W. Guggenheimer

出品人:

页数:400

译者:

出版时间:1977-6-1

价格:USD 17.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486634333

丛书系列:Dover Books on Mathematics

图书标签:

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《曲面之境：探索三维空间的无限可能》 本书是一次对二维曲面几何性质的深度探索，其关注点在于理解曲面本身所蕴含的内在结构和规律，而非依赖于其所处的外部空间。我们将抛开高维嵌入的束缚，仅仅通过研究曲面上点与点之间的距离、曲率等内在量，来揭示曲面丰富的几何特性。 第一部分：度量与测地线——勾勒曲面的骨架 我们将从最基础的概念——黎曼度量张量——开始，构建描述曲面上距离和角度的语言。这个张量如同一个精密的尺子，赋予了曲面以度量属性。通过它，我们可以计算出曲面上任意两点之间的最短路径，也就是我们所熟知的“测地线”。我们将深入探讨测地线的存在性、唯一性以及它们在曲面上的行为，例如是否存在封闭的测地线，或者测地线是否会发散。 我们会研究测地线的奇点，以及它们如何反映曲面的全局形状。例如，在球面上，所有过北极和南极的经线都是测地线，这与平直空间中直线行为截然不同。我们将通过具体的例子，如平面、球面、圆柱面、环面等，来直观感受黎曼度量和测地线在不同曲面上的表现。 第二部分：曲率的维度——衡量曲面的弯曲程度 曲率是衡量曲面弯曲程度的关键概念。我们将区分几种不同的曲率： 法曲率： 沿着某个方向上，曲面在该点相对于切平面的弯曲程度。我们会研究法曲率的方向性和数值，理解在某个点上，曲面在不同方向上的弯曲程度可以截然不同。 主曲率： 在曲面上，法曲率取得最大值和最小值时的方向，这两个方向上的法曲率称为主曲率。它们的乘积被称为高斯曲率，而它们的平均值则被称为平均曲率。 高斯曲率： 这个量有着深刻的几何意义。我们将证明高斯曲率是曲面的内在量，这意味着它仅由曲面本身的度量决定，与曲面如何嵌入三维空间无关。我们将深入理解高斯曲率的符号所代表的几何含义：正的高斯曲率意味着曲面在该点是“凸”的，如球面的顶部；负的高斯曲率意味着曲面在该点是“鞍”形的，如马鞍；零高斯曲率则表示曲面在该点是平坦的，如圆柱面的侧面。 平均曲率： 这个量则是一个外在量，它与曲面在三维空间中的“挤压”或“扩张”程度有关。我们将探讨平均曲率在极小曲面理论中的重要性，这些曲面具有处处为零的平均曲率，它们在物理学中有广泛的应用，例如肥皂膜的形状。 第三部分：联络与平行移动——在曲面上“移动”向量 为了在曲面上进行更精细的分析，我们需要引入“联络”的概念。联络允许我们在曲面上定义向量的“平行移动”。与在欧几里得空间中平行移动向量的直观方式不同，曲面上的平行移动会受到曲面弯曲的影响。 我们将定义列维-奇维塔联络，它是曲面上唯一满足无挠率和度量保持性质的联络。通过平行移动，我们可以定义曲面上的协变导数，从而将欧几里得空间的微分运算推广到曲面上。我们将研究平行移动的路径依赖性，以及这种依赖性如何反映曲面的曲率。例如，在球面上，沿着一条平行四边形的路径平行移动一个向量，最终得到的向量可能与初始向量不一致，这个差异的量值直接与该区域的高斯曲率相关。 第四部分：高斯绝妙定理——内蕴几何的辉煌 高斯绝妙定理是微分几何的基石之一，它以一种令人惊叹的方式连接了曲面的内在几何和外在几何。定理指出，一个二维曲面的总曲率（对高斯曲率在曲面上积分）与其欧拉示性数（一个拓扑不变量）之间存在着简单的关系。这意味着，即使我们不关心曲面在三维空间中是如何弯曲的，仅仅通过研究曲面上点的几何性质，我们就能得知关于其整体拓扑性质的重要信息。 我们将深入理解这个定理的证明思路，并探讨其在理解曲面拓扑结构上的巨大威力。我们将看到，曲面的局部曲率信息，通过积分的方式，可以揭示出其全局的、拓扑的性质，如洞的数量等。 第五部分：黎曼流形初步——从曲面到高维空间的飞跃 在掌握了二维曲面的几何之后，我们将初步涉足更高维的黎曼流形。我们将看到，许多在曲面上发展的概念，如黎曼度量、测地线、联络、曲率等，都可以自然地推广到任意维度的光滑流形上。 我们将简要介绍一些高维黎曼流形的重要概念，例如里奇曲率和斯凯勒曲率，它们是高斯曲率在更高维的推广，在广义相对论中扮演着核心角色。我们将强调，虽然我们无法像二维曲面那样直观地“看到”高维流形的几何，但通过数学的语言，我们依然可以深入理解它们的内在结构。 本书特色： 严谨与直观并重： 本书在保持数学严谨性的同时，力求通过丰富的几何直觉和具体的例子来帮助读者理解抽象的概念。 聚焦内在几何： 强调曲面的内蕴性质，培养读者从曲面本身去理解其几何规律的能力。 循序渐进的结构： 从基础的度量和测地线，到曲率的深入分析，再到联络和高斯绝妙定理，最后展望高维流形，逻辑清晰，层层递进。 丰富实例支持： 大量运用平面、球面、圆柱面、环面等经典曲面作为例子，使抽象的理论具体化。 目标读者： 本书适合数学专业本科生、研究生，以及对几何学、拓扑学、物理学（特别是广义相对论）感兴趣的科研人员和工程师。具备一定的微积分和线性代数基础的读者将能更好地掌握本书内容。 通过阅读本书，您将不仅仅学会描述曲面的形状，更将领悟到几何学中深刻的内在规律和数学的优雅之美。

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这本《微分几何》简直是数学爱好者的一场视觉与思维的盛宴。从翻开扉页的那一刻起，我就被作者那严谨而又充满诗意的笔触深深吸引住了。这本书的结构设计得非常巧妙，它不像某些教科书那样干巴巴地堆砌公式，而是将抽象的概念融入到具体的几何图像中，让读者能够直观地感受到空间是如何被扭曲、拉伸和弯曲的。尤其是关于黎曼曲率张量那一章，作者用了大量的篇幅来解释其物理意义，而不是仅仅停留在代数运算层面，这一点对于我这个更倾向于应用层面的读者来说，简直是太友好了。书中对各种拓扑空间的讨论也极其深入，从基本的流形到更复杂的纤维丛，每一步推导都清晰有力，让人感觉每走一步都是坚实的。我尤其喜欢它在讲解曲率时所采用的类比手法，比如用光线的传播来比喻测地线，这使得原本晦涩难懂的内在几何概念变得触手可及。读完前半部分，我感觉自己仿佛脱离了欧几里得平直空间的束缚，开始以一种全新的、多维的视角审视周围的世界。这本书的难度不低，但作者的引导性极强，让你在感到挑战的同时，又充满了探索下去的动力。

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我以一个应用数学研究者的角度来看待这本《微分几何》，它的价值在于提供了一种坚不可摧的数学基础框架。在我的研究领域中，我们经常需要处理非欧几里得的、弯曲的时空或数据流形。市面上很多资料只是简单地介绍如何“套用”公式，但这本书则深入剖析了这些工具背后的“为什么”。作者对纤维丛理论的阐述，尤其是关于联络（Connection）的定义和性质的讨论，清晰地揭示了在不同“局部观察点”之间如何进行一致性过渡的数学机制。这种对“整体”与“局部”关系的深刻洞察，对于理解现代场论和拓扑数据分析至关重要。书中对于辛几何的介绍也十分精彩，它为相空间动力学提供了一个优美的数学语言。虽然阅读过程中不时需要查阅大量背景知识，但一旦掌握，它能让你对任何涉及流形和几何结构的复杂系统拥有更强的掌控力，感觉像是从只能看平面的地图，突然获得了俯瞰整个大陆的卫星图像的能力。

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坦率地说，这本书给我的感觉是“高冷”而又“迷人”。它不是一本让你读完就能立刻去解决实际问题的工具书，它更像是一部哲学著作，探讨的是空间、结构和变化本身的本质。书中的论证风格非常古典、欧几里得式的，步步为营，逻辑链条长到令人发指，但每一个环节都无可指摘。我尝试用它来辅助理解一些物理学中的广义相对论概念，结果发现，一旦你用这本书的语言去重构物理问题，那些原本看起来像是“拟合”的公式，立刻显露出其内在的几何必然性。这种从底层逻辑构建世界观的能力，是这本书给予读者的最大财富。然而，这种深度也意味着极高的阅读门槛，我发现自己常常需要借助一些辅助的讲义和在线资源来填补理解上的空白。总的来说，这是一部需要耐心、毅力和奉献精神才能真正掌握的经典，它回报给你的，是看待数学世界的一种全新的、更为深刻的眼光。

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这本书的排版和插图质量绝对是顶级的，这对于一本严肃的数学著作来说，难能可贵。我向来对那些印刷粗糙、图示模糊的书籍感到反感，但《微分几何》在这方面做得无可挑剔。那些复杂的向量场图、截面曲率的示意图，都清晰地展现了作者想要表达的几何直觉。特别是关于李群和李代数的部分，作者借助图示清晰地展示了群结构的局部线性化过程，这种视觉辅助极大地减轻了抽象概念带来的认知负担。而且，书中的习题设置非常有水平，它们不是简单的计算题，而是真正考验你对概念理解深度的思考题。很多习题的解答需要你综合运用书中所学的多个定理和技巧，解开它们带来的成就感是无与伦比的。我特别欣赏作者在每一章末尾设置的“历史回顾与展望”，这部分内容让人明白这项研究是如何一步步发展至今的，也为我们指明了后续可以深入探索的方向，极大地拓宽了阅读的视野。

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我花了整整一个暑假才勉强啃完这本《微分几何》，老实说，过程相当“酸爽”。这本书的文字密度大得惊人，平均每页都需要我来回读三四遍才能勉强跟上作者的思路。对于初学者来说，这本书的门槛可能高得有些吓人，尤其是关于微分形式和霍奇理论的部分，简直是数学语言的极致考验。它完全没有照顾“小白”读者的意思，直接将你抛入到高维流形的深水区，要求你自行摸索前进。不过，一旦你克服了最初的阵痛，你会发现其内部逻辑的严密性是无懈可击的。作者对细节的把控达到了吹毛求疵的地步，任何一个看似微不足道的定义，都会在后续的推导中起到关键作用。这本书更像是一本给研究生甚至博士生准备的参考书，而不是入门读物。我个人认为，如果读者没有扎实的微积分和线性代数基础，直接上手这本书会非常痛苦。但对于那些渴望触及现代几何前沿的读者来说，这本书无疑提供了一个极其扎实、几乎是无可替代的基石。

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