平面代数曲线 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:Gerd Fischer

出品人:

页数:231

译者:胥鸣伟

出版时间:2015-11

价格:49.00元

装帧:平装

isbn号码:9787040322903

丛书系列:大学生数学图书馆

图书标签:

• 数学
• 代数几何
• AHA!
• 平面几何
• 代数曲线
• 代数几何
• 射影几何
• 复分析
• 拓扑学
• 微分几何
• 经典数学
• 数学史
• 高等数学

《几何之舞：从二维图形到空间想象》 引言 在浩瀚的数学星空中，代数与几何犹如两颗璀璨的恒星，各自闪耀着独特的光芒，却又以一种难以言喻的优雅姿态彼此辉映。当我们试图理解世界的形状、结构的内在联系，以及那些隐藏在现象背后的规律时，代数代数地精确表达，几何几何地直观勾勒，便成为了我们探索的有力工具。本书《几何之舞：从二维图形到空间想象》正是一次深入这两大数学分支交汇点的旅程，一次试图揭示代数语言如何描绘几何形态，而几何直觉又如何启迪代数思维的探索。 我们生活在一个三维空间中，但很多深刻的数学思想，却可以从最基础的二维平面开始层层剥离，逐渐深入。平面，这个我们熟悉的无限延伸的画布，承载了无数的图形、曲线和方程。从简单的直线到复杂的圆锥曲线，再到更加抽象的代数簇，每一个点、每一条线、每一个形状，都可以用代数的语言精确地描述，用代数的公式来刻画其属性。反之，那些看似冰冷的代数方程，在几何的视角下，却展现出无比生动的图景，诉说着它们所代表的几何对象的故事。 本书并非要梳理某一个具体的数学分支的全部内容，例如，它不会详尽地展开“平面代数曲线”的全部理论体系。相反，它旨在以一种更为广阔的视角，引导读者领略代数与几何在二维平面上的交融所能激发的无限可能性。我们将从基础的概念出发，逐步搭建起理解更复杂结构的桥梁，重点在于展现数学思想的形成过程、它们之间的内在联系，以及它们如何被应用来解决实际问题，或是激发更深层次的数学探索。 第一章：平面上的基本元素与方程的语言 万事万物皆有其本源，数学的探索也不例外。在二维的平面上，最基本的元素莫过于点。一个点，由一对有序的实数 $(x, y)$ 来唯一确定其在平面上的位置，这便是坐标系的威力。这个简单的定义，将抽象的数字与具体的视觉形象联系起来，为一切后续的几何描述奠定了基础。 我们还将深入探讨“直线”这个最基础的几何对象。在代数中，直线可以用一次方程 $Ax + By + C = 0$ 来表示。这个简洁的表达式，蕴含了直线的斜率、截距等重要信息。我们将学习如何从方程中提取这些几何信息，如何通过几何图形反推出代数方程。理解直线方程的系数与几何性质之间的对应关系，是理解更复杂曲线的基础。 第二章：圆的优雅与曲线的初步探索 直线之后，我们自然会想到“圆”。圆的定义——平面上到定点距离相等的点的集合，可以用勾股定理转化为代数方程 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$。这个方程揭示了圆心 $(a, b)$ 和半径 $r$ 这两个关键的几何参数。我们将分析这个方程的结构，理解它如何准确地描绘出圆的形状，并探索不同参数取值时圆的变化。 圆的探索将自然地引出对更一般“曲线”的思考。并非所有的曲线都可以用简单的二次方程来描述，但很多重要的曲线，如椭圆、抛物线和双曲线，都属于“圆锥曲线”的范畴。它们可以通过一个点与一条直线（焦点和准线）的距离关系来定义，或者通过平面截一个圆锥体得到的截口来理解。本书将着重于展示这些曲线的几何定义与代数方程之间的深刻联系，比如椭圆的“两点定距”与 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$ 形式的方程；抛物线的“点到直线定距”与 $y = ax^2 + bx + c$ 或 $x = ay^2 + by + c$ 形式的方程；双曲线的“两点差定距”与 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ 形式的方程。我们会分析这些方程的系数如何影响曲线的形状、焦点位置、离心率等几何特性。 第三章：多项式方程的几何诗篇 当我们将目光投向更高次的多项式方程时，代数与几何的联系变得更加丰富多彩。例如，三次方程 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 在平面上描绘出“三次曲线”，这些曲线可以展现出比二次曲线更为复杂的形态，如弯曲、拐点等。本书将不局限于对具体方程的求解，而是着重于理解高次多项式方程所代表的几何对象的“拓扑”性质，即它们在变形下保持不变的基本特征。 我们将探讨如何通过分析多项式方程的系数来预测其代表曲线的大致形状，例如，方程的最高次项如何决定曲线的“渐近行为”或“无限延伸”的趋势。我们还会触及一些经典代数曲线，例如，摆线（cycloid）——当一个圆在直线上滚动时，其边缘上一点的轨迹。摆线的生成过程本身就是一种几何运动，但它所对应的参数方程却能用简洁的代数形式表达。 第四章：参数方程与隐式方程的对话 几何对象的描述方式并非只有一种。除了显式方程（如 $y = f(x)$）和隐式方程（如 $F(x, y) = 0$），“参数方程”提供了一种全新的视角。通过引入一个独立的参数（例如 $t$），我们可以将 $x$ 和 $y$ 都表示成参数的函数：$x = f(t), y = g(t)$。这种描述方式在描绘运动轨迹、曲线的生成过程，以及处理一些显式或隐式方程难以表达的曲线时尤为强大。 本书将对比不同方程形式的优劣，以及它们之间的相互转化。我们将看到，一个简单的圆可以通过参数方程 $(cos t, sin t)$ 来优雅地表示，而一条直线也可以用参数方程 $(x_0 + at, y_0 + bt)$ 来描述。理解参数方程如何“引导”我们画出曲线，以及如何从参数方程中“消去”参数得到隐式或显式方程，是掌握曲线表达多样性的关键。 第五章：曲线的交点与代数几何的萌芽 当两条或多条曲线相交时，它们的交点对应于联立方程组的解。通过分析方程组的解的数量和性质，我们可以了解曲线之间的几何关系。本书将探讨如何通过代数方法来确定交点的数量，以及交点的性质（例如，是相切还是相交）。 这一部分将稍微触及“代数几何”的早期思想。代数几何是一个研究代数方程组的几何性质的数学分支。在二维平面上，我们研究的代数曲线的交点问题，正是代数几何最基础的课题之一。我们将看到，代数方程组的系数与几何交点的性质之间存在着深刻的联系，这些联系是后来更复杂代数几何理论的基石。 第六章：从二维到更高维度的展望 本书的最后，我们将尝试将我们在二维平面上的探索推向更高维度，尽管不进行深入的理论推导，但旨在激发读者的空间想象力。我们将在三维空间中简要提及曲面（由两个变量的方程描述）和曲线（通常由三个变量的参数方程描述）的概念。这可以帮助读者理解，在二维平面上建立起来的代数与几何的桥梁，是如何自然地延伸到更高维度的。 我们将简要介绍一些在物理学、工程学等领域中常见的代数曲面，例如球体、椭圆体、抛物面等，并思考它们的代数方程形式。同时，我们将提及一些在三维空间中描绘运动轨迹的参数方程，例如行星轨道的描述。 结语 《几何之舞：从二维图形到空间想象》旨在为读者提供一个理解代数与几何如何相互作用的独特视角。我们所进行的探索，是从最基础的二维平面出发，通过对点、线、圆、圆锥曲线以及更高次多项式方程所代表的几何对象的分析，展现代数语言的精确性与几何直观性的完美结合。 本书并非一本详尽的代数几何教材，也非一本详尽的平面代数曲线的专著。它更像是一个引路人，引导您去发现代数方程背后隐藏的几何世界，去欣赏数学的优雅与和谐。通过对基本概念的深入理解，对不同方程形式的比较，以及对几何对象与代数表达式之间联系的探索，我们希望您能在这个过程中，感受到数学的魅力，培养出对抽象概念的几何直觉，并激发您进一步探索更广阔数学领域的兴趣。 数学的旅程是无止境的，而代数与几何的交汇点，无疑是其中最激动人心的篇章之一。愿这本书能点燃您心中的好奇之火，让您在未来的数学探索中，能够更加自如地在代数的精确与几何的想象之间穿梭，舞出属于您自己的数学之歌。

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说实话，我一开始对这本书抱有很高的期望，毕竟在我的专业领域里，对平面代数几何的扎实基础至关重要。然而，读完前三分之一后，我必须承认，这本书在某些地方的深度和广度上略显不足，尤其是在涉及到现代代数几何工具的应用方面。例如，在讨论曲线的奇点理论时，虽然给出了必要的判别式和性质，但对于如何利用更高级的拓扑学或复分析的视角来深入剖析这些奇点的本质，着墨不多。我更希望看到一些关于黎曼曲面理论与代数曲线之间联系的探讨，这能让读者更全面地理解曲线的内在结构。此外，部分证明过程虽然严谨，但跳跃性稍强，对于习惯于步步为营的读者来说，可能需要在草稿纸上花大量时间去填补逻辑上的“空隙”。这本书更像是一本优秀的入门教材，侧重于经典欧氏几何和代数基础的建立，对于希望探索前沿研究方向的读者而言，或许需要搭配其他更具挑战性的专著进行补充阅读。不过，它的习题设计倒是值得称赞，很多题目都巧妙地引导你去重新审视前面学过的概念，是检验理解深度的绝佳途径。

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这本书的行文风格，似乎带着一种古典数学家的严谨与自信，语调沉稳，逻辑缜密，但偶尔也会流露出一丝对这门古老学科的热爱。我注意到，作者在介绍一些重要定理时，往往会先给出直观的动机，然后才进入形式化的证明，这非常符合我个人的学习偏好——先建立“为什么”，再深入“怎么做”。然而，对于习惯了当代数学教材中那种高度符号化和压缩性的表达方式的读者，这本书初读时可能会感觉略微“冗长”。它似乎不急于将所有内容塞进有限的篇幅内，而是愿意花篇幅去解释某些“显而易见”的步骤背后的几何意义。例如，在处理退化曲线的分解时，书中花了不少笔墨来解释为什么某些分母不能为零，以及在这种情况下几何图形会如何“坍缩”。这种对基础的扎实夯实，虽然在快速学习时会显得效率不高，但从长远来看，它建立的数学直觉是极其宝贵的。这是一本需要慢慢品味，而不是囫囵吞枣的书籍，每次重读都会有新的体会。

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我是在参加一个关于计算几何学的短期培训时，被导师推荐阅读此书作为背景知识巩固。坦白说，我最欣赏这本书的地方，在于它对于“不变性”这一核心概念的贯穿始终的强调。从仿射变换到射影变换，作者总是会回到最根本的问题：哪些几何性质在这些变换下保持不变？这种思考方式极大地提升了我对几何本质的洞察力。书中关于曲线次数的定义、交点数的代数判据（如贝祖定理的初级应用），以及如何利用不变式来区分不同类型的曲线，讲解得非常透彻。特别是当引入“无穷远点”的概念时，那种将有限几何提升到无限维度的思维冲击感，让我对整个数学框架有了更宏大的理解。它不仅仅是在教我们如何计算曲线方程，更是在教我们如何用代数的语言去“描述”和“分类”几何对象。对于那些已经掌握了基础微积分和线性代数的读者，这本书提供了一个绝佳的平台，将已有的知识体系进行一次彻底的、富有创造性的重构。

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这本书的排版和装帧质量，绝对是专业水准的典范。很多数学书籍往往在视觉体验上敷衍了事，但《平面代数曲线》在这方面做得非常出色。字体选择清晰易读，间距适中，即便是长时间盯着屏幕或纸面阅读复杂的公式，眼睛的疲劳感也相对较轻。更值得称赞的是图示的运用。代数几何是高度依赖直觉和视觉辅助的学科，本书的插图质量极高，线条干净利落，能够精准地描绘出抽象的几何对象。例如，在解释贝塞尔曲线（如果书中涉及）的控制点影响时，那些动态变化的图形演示，比任何文字描述都来得有力。我特别喜欢它在引用经典文献或历史背景时所采用的脚注方式，既不打断主线叙述的流畅性，又能为有兴趣的读者提供深入探索的线索。这种对细节的极致追求，让阅读体验从单纯的知识获取，升华为一种愉悦的学术享受。这不禁让人感叹，一本好书，不光是内容要好，连“穿衣打扮”也同样重要。

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这本《平面代数曲线》的封面设计着实抓人眼球，那深邃的蓝色背景上，用流动的金色线条勾勒出的几何图形，仿佛预示着一场深奥而迷人的数学之旅。我原本以为这会是一本枯燥的理论堆砌，没想到翻开第一页就被作者那清晰而富有条理的叙述风格所吸引。书中对代数曲线的起源和基本概念的阐述，简直像一位经验丰富的向导，带着初学者平稳地跨过了那些看似高不可攀的门槛。特别是关于射影平面上的点和线的介绍，作者巧妙地运用了类比和直观的几何图像来辅助理解，使得那些抽象的坐标变换和齐次坐标不再是令人望而却步的符号，而是可以触摸、可以感知的空间结构。书中的例子选取得非常精妙，既有经典的圆锥曲线，也有更复杂的有理曲线，每一步推导都力求详尽，绝不含糊其辞，让人感觉作者是手把手地在教导读者，而不是简单地罗列公式。阅读这本书的过程，更像是在解开一个又一个精巧的数学谜题，每攻克一处难点，带来的成就感都让人欲罢不能。这本书为我打开了一扇通往更高维度的几何世界的大门，我非常期待接下来的章节能带来更多惊喜。

评分☆☆☆☆☆

这很古老了吧

评分☆☆☆☆☆

如果不想看Griffith大厚书，而仅仅想掌握代数曲线的计算，那么这本书应该是不错的吧，体量小

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