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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:I.R. Shafarevich

出品人:

页数:439

译者:

出版时间:1990-03-23

价格:USD 32.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540082644

丛书系列:Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

图书标签:

数学
代数几何7
代数几何
代数几何
基本代数几何
代数簇
射影空间
理想理论
环论
域论
交换代数
代数变换
格罗滕迪克

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具体描述

《代数几何基础》内容简介《代数几何基础》是一本为数学专业本科生、研究生以及对代数几何感兴趣的科研人员量身打造的入门性教材。本书致力于清晰、系统地阐述代数几何的核心概念与基本工具，为读者构建扎实的理论基础，从而能够进一步探索更深奥的代数几何课题。本书不追求面面俱到，而是精选了代数几何领域中最重要、最基础的概念，并对其进行深入浅出的讲解，确保读者在掌握基本理论的同时，能够理解其背后的几何直觉。本书的写作风格严谨而不失灵动，力求在概念的引入、定理的证明以及例子的选取上，都能够充分激发读者的学习兴趣，并帮助其建立起对抽象代数结构的几何化理解。我们深知，代数几何是一门结合了抽象代数与几何直觉的迷人学科，因此，本书在讲解的过程中，始终贯穿着对几何直观性的强调，并将抽象的代数概念与具体的几何对象联系起来，让读者在脑海中能够勾勒出清晰的几何画面。第一章：簇的引入与基本性质本章将带领读者进入代数几何的第一个核心概念——代数簇。我们将从最基本的射影空间出发，定义多项式方程组的零点集，并将其命名为仿射簇。在此基础上，我们将引入齐次坐标的概念，并逐步过渡到射影簇，理解其在代数几何研究中的重要性。射影空间：介绍射影空间 $mathbb{P}^n$ 的定义，包括其拓扑结构和代数结构。我们将探讨点、直线、平面等基本射影几何对象，并为后续学习奠定基础。仿射簇：定义仿射簇为仿射空间 $mathbb{A}^n$ 中多项式方程组的公共零点集。我们将通过一系列具体的例子，例如直线、圆锥曲线、二次曲面等，来理解仿射簇的几何形态。理想与簇的对应关系：引入理想的概念，并阐述代数簇与其对应的理想之间的关键联系。我们将介绍希尔伯特零点定理（Nullstellensatz），这是代数几何的基石之一，它建立了代数簇与代数本身之间深刻的对应关系。齐次多项式与射影簇：引入齐次多项式的概念，并基于齐次多项式定义射影簇。我们将解释齐次坐标的意义，以及射影簇与仿射簇之间的关系，例如仿射化（affinization）的过程。簇的性质：探讨簇的基本性质，如连通性、不可约性。我们将理解不可约簇的重要性，因为它们是构成复杂簇的基本“积木”。第二章：多项式环与坐标环本章将深入探讨与代数簇密切相关的代数结构——多项式环及其商环，即坐标环。理解坐标环的性质，是理解代数簇几何性质的关键。多项式环：复习多项式环的定义及其性质，例如其上的理想。坐标环：定义代数簇 $V$ 的坐标环 $k[V]$，并理解其作为函数代数刻画簇的几何性质。我们将看到，两个代数簇同构当且仅当它们的坐标环同构。理想的根基（Radical of an ideal）：引入理想的根基概念，并阐述其在希尔伯特零点定理中的作用。我们将理解根基理想对应着无nilpotents的环，这与簇的“无奇点”性质紧密相关。整环与代数闭域：讨论在代数闭域上研究代数簇的便利性，并引入整环的概念，理解代数闭域上的代数簇对应着整环的坐标环。第三章：概形入门本章将初步引入概形（Scheme）这一更抽象但威力强大的代数几何语言。概形是现代代数几何的基础，它将代数簇的概念推广到更一般的环上，从而能够处理更多的几何对象。环谱（Spectrum of a ring）：定义一个环 $R$ 的谱 $operatorname{Spec}(R)$，将其视为由环 $R$ 的素理想组成的集合。我们将看到，仿射簇的坐标环的谱就是该仿射簇本身，这是一个重要的连接。概形的定义：基于环谱和齐空间（sheaf）的构造，引入概形的定义。我们将理解概形是如何将代数与几何概念统一起来的。阿贝尔范畴与齐空间：简要介绍阿贝尔范畴的概念，并引入齐空间的思想，为理解概形的局部性质打下基础。仿射概形：将 $operatorname{Spec}(R)$ 视为一种特殊的概形，称为仿射概形。我们将探讨仿射概形的性质，并理解其与仿射簇之间的对应关系。概形态射：定义概形之间的态射，以及态射在代数几何中的几何意义。第四章：齐空间与层本章将深入探讨代数几何中至关重要的工具——齐空间（Sheaf）和层（Layer）。齐空间提供了一种描述几何对象局部性质的框架，并且是概形理论的核心组成部分。拓扑空间上的齐空间：定义一个拓扑空间 $X$ 上的齐空间 $mathcal{F}$，它将 $X$ 的每个开集 $U$ 赋予一个代数对象 $mathcal{F}(U)$，并满足一定的相容性条件。局部性质的描述：理解齐空间如何捕捉几何对象的局部性质，例如一个开集上的函数，可以通过其在开集的子集上的函数来定义。层（Layer）：介绍层（Layer）的概念，它是齐空间的一种具体实现方式，尤其是在代数几何中，我们将遇到结构层（structure sheaf）等重要层。粘合引理（Gluing Lemma）：学习粘合引理，它允许我们在局部定义的对象“粘合”起来形成一个全局的对象，这是构建复杂几何对象的关键。代数簇的结构层：讨论代数簇的结构层，它将每个开集赋予该开集上的代数函数，从而构成了簇的代数几何的结构。第五章：向量丛与切空间本章将介绍代数几何中另一个重要的几何对象——向量丛（Vector Bundle），并引出切空间的概念，它描述了几何对象在点上的“局部线性化”行为。向量丛的定义：定义一个向量丛，它在拓扑空间上局部的样子像一个平凡向量丛，但全局上可能更复杂。向量丛的代数几何意义：理解向量丛在代数簇上的重要性，例如切向量丛描述了簇在点上的切线空间。切空间（Tangent Space）：定义代数簇在一点处的切空间，它是一个向量空间，刻画了该点附近的局部线性行为。德里涅-雷曼张量（Deligne-Rham Tensor）：简要介绍与切空间相关的概念，例如德里涅-雷曼张量，它在更高级的代数几何中扮演重要角色。向量丛的例子：通过具体的例子，如切向量丛、余切向量丛，来加深对向量丛概念的理解。第六章：可商与群概形本章将介绍代数簇的商构造以及群概形的概念，这使得我们能够研究具有代数结构的几何对象，例如代数群。群概形（Group Scheme）：定义群概形，即一个既是概形又是群的结构，并且群运算是概形态射。代数群：探讨代数群，例如一般线性群 $GL_n$、特殊线性群 $SL_n$ 等，它们是代数几何中的重要对象。商构造：介绍在代数几何中构造商空间的方法，这通常需要作用于代数簇的群。商群概形：讨论如何利用群概形构造新的群概形，例如有限群作用下的商。例子：通过一些简单的例子，例如加法群 $mathbb{G}_a$ 和乘法群 $mathbb{G}_m$，来理解群概形的概念。第七章：代数簇的分类与不变量本章将初步探讨代数簇的分类问题，并介绍一些衡量代数簇“几何形状”的不变量。代数簇的同构与同胚：区分代数簇的同构（代数意义上的等价）和同胚（拓扑意义上的等价）。不变量：介绍代数簇的不变量，例如贝蒂数、霍奇数等，它们在分类过程中起着重要作用。维度：强调代数簇维度的概念，并探讨如何计算和刻画簇的维度。代数簇的曲面：简要提及二维代数簇（代数曲面）的分类问题，这是代数几何中的一个经典课题。进一步研究的方向：为读者指明代数簇分类等更深奥课题的进一步研究方向。学习建议扎实基础：本书建立在一定的线性代数、抽象代数和拓扑学基础之上。建议读者在阅读本书之前，对这些基础知识有充分的掌握。动手练习：代数几何是一门非常注重理解和应用的学科。强烈建议读者认真完成书中的习题，通过练习来巩固概念，加深理解。几何直觉：尽管代数几何是抽象的，但几何直觉至关重要。在学习过程中，尽量将抽象的概念与具体的几何对象联系起来，形成清晰的几何图像。参考资料：在必要时，可以参考一些代数几何领域的经典教材或文献，以获得更全面的理解。讨论交流：与同学、老师或同行进行讨论和交流，能够帮助我们从不同的角度理解问题，发现自己的不足。《代数几何基础》旨在为您打开代数几何的大门，激发您对这个美丽而深刻的数学领域的探索热情。通过本书的学习，您将能够掌握代数几何的基本工具和核心思想，为未来在代数几何及相关领域的深入研究打下坚实的基础。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

我试图用这本书来指导我完成一个关于黎曼曲面代数表示的小项目，希望能找到一些具体的计算方法或实例来检验理论。然而，这本书似乎对“计算”和“具体例子”持有相当的保留态度。它更专注于建立理论的普适性和优雅性，致力于揭示隐藏在不同数学分支之下的统一结构。例如，它用了大量的篇幅来探讨“局部环”的性质及其在代数簇中的重要性，但当我期待看到一个具体的例子，比如一个简单的二次曲线的局部环是什么样子时，书中提供的往往是抽象的定理证明。这种处理方式使得这本书更像是一部哲学宣言，而不是一本工具书。我需要的那些能够让我动手操作、感受代数几何力量的“砖块”，在这里却被包裹在了厚厚的、难以穿透的理论外衣之下。对于那些希望将理论应用于解决具体几何问题的读者来说，这本书提供的理论基础虽然坚实，但缺乏必要的“接口”和“操作说明书”。

评分☆☆☆☆☆

这本书的作者显然是一位思想深刻的数学家，其对代数几何深层结构的洞察力是毋庸置疑的。然而，这种深刻性似乎是以牺牲读者的可接近性为代价的。我尝试着将其与其他领域的基础教材进行对比，比如一些经典的拓扑学或代数教材，那些书在介绍关键概念时，总是会先提供一个“低维直观模型”作为锚点。这本书却几乎从一开始就默认读者已经拥有了对这些模型的深刻理解，并直接进入了更高维度的抽象构造。这种做法的后果是，读者很难建立起对抽象概念的“本体感”。我阅读完后，感觉自己掌握了一套非常精确的语言体系，但我仍然无法“看到”它所描述的几何对象。这本书更像是一个精密的仪器说明书，它告诉你所有部件如何运作，但没有告诉你如何使用这个仪器去观察世界。对于希望建立起代数几何直觉的自学者而言，这本书的价值更多地体现在其作为理论参考的深度，而非其作为学习起点的有效性。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和符号系统堪称典范，印刷质量极高，公式对齐无可挑剔，这在数学书籍中是值得称赞的。但是，阅读体验的好坏不仅仅取决于物理质量。我发现，作者在引入新概念时，常常依赖于对前述章节中高度抽象的定义和引理的直接引用，仿佛读者应该了然于心。比如，在讨论某个重要的构造时，它会直接引用一个需要跨越三章才能找到定义的“收缩性模空间”的概念，这种做法极大地打断了我的阅读流程。我不得不频繁地在书的后半部分和前半部分来回翻阅，试图重构整个逻辑链条，这极大地消耗了我的认知资源，让我无法沉浸于当前正在阅读的内容。我本来期待的是一种线性的、由易到难的渐进式学习路径，但这本书提供的更像是一个高度互联的网络，要求读者已经具备了在整个网络中自由导航的能力。对于需要扎实基础支撑才能向前的学习者来说，这种互文性过强的写作方式，无疑增加了学习曲线的陡峭程度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计着实让人眼前一亮，那种简约而不失深邃的风格，很符合我对数学经典著作的期待。我原本是冲着书名里“代数几何”这几个字来的，想着这本书也许能帮我理清一些基础概念，毕竟很多高阶的几何学理论都建立在坚实的代数基础上。然而，当我真正翻开第一页时，才发现它似乎更侧重于某种更抽象的、脱离了传统欧氏几何视角的讨论。大量的符号和定义像迷宫一样展开，虽然文字描述很严谨，但对于一个渴望看到图示和直观例子的读者来说，这种纯理论的推进速度让人有些喘不过气。我期待的是那种能够将复杂的空间结构用清晰的代数语言逐步构建起来的过程，但这本书似乎直接跳到了结论的构建，缺乏必要的“脚手架”。我花了不少时间试图在脑海中构建那些由方程定义的奇异点和曲线的图像，但收效甚微，这让我开始怀疑，自己是否真的抓住了作者想要引导我们进入的那个“几何”世界。也许是我自身的背景知识储备还不够，无法跟上这种高密度的概念跳跃，但一本好的入门书，理应更具引导性，而不是直接将读者置于高空俯瞰。这本书给我的第一印象是：这是一部写给已经熟悉了特定数学语境的同行的专著，而不是面向广大初学者的“基础”读物。

评分☆☆☆☆☆

我花了整个周末的时间，试图消化其中关于“概形”的章节，希望能从中找到一些关于如何用代数工具描述几何对象的直观理解。这本书的行文风格极其凝练，几乎没有冗余的词汇，每一个句子都像一个被精确计算过的数学命题，这对于追求效率的读者来说固然是优点，但对于我这种习惯于通过“讲故事”的方式来理解复杂概念的人来说，却成了一种阻碍。我本来以为“基础代数几何”会涵盖如何将多项式环与空间联系起来的基础步骤，比如什么是零点集，它们如何形成拓扑空间，以及如何引入更精细的结构。然而，这本书似乎在很早的时候就转向了对范畴论和函子的深度运用，讨论的焦点很快就转移到了更抽象的结构性关系上，而不是具体对象的性质。这让我感到有些迷失，我感觉自己像是在学习一门关于“结构如何相互作用”的语言，而不是在学习“空间本身是如何被代数定义的”。期待中那些关于曲线、曲面、奇点分类的经典内容，在这里似乎只是被一笔带过，或者被更宏大的理论框架所取代，这让我对它“基础”的定位产生了深刻的疑问。

评分☆☆☆☆☆