平面解析几何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:上海科学技术出版社

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页数:501

译者:

出版时间:1965-9

价格:1.05

装帧:平装

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丛书系列:数理化自学丛书

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《几何世界的探索与构建：从欧几里得到现代前沿》 本书旨在引领读者踏上一段穿越几何学宏伟画卷的旅程，从其最古老、最基础的根基，一路抵达今日几何学研究的前沿领域。我们并非简单地罗列定义与定理，而是致力于揭示几何学思想的演进脉络，理解其在人类认知与科学发展中所扮演的关键角色，并探索其在各个学科分支中生生不息的应用活力。 第一部分：欧几里得几何的基石与延伸 我们将从古希腊时期文明的瑰宝——欧几里得的《几何原本》开始。但这并非一次枯燥的定理复述，而是深入理解其 axiomatic 系统如何构建起一个自洽而严谨的逻辑框架。我们将探究“公理”、“公设”与“定义”的深刻含义，以及它们如何层层递进，推导出庞大而精妙的几何世界。我们还会关注《几何原本》的五条公设，特别是第五公设，它所引发的关于平行线理论的漫长思考，将为我们后续的非欧几何探索埋下伏笔。 本部分将细致地解析欧几里得几何中的基本概念：点、线、面、角、多边形、圆等。我们不会止步于它们的表面定义，而是会深入探讨它们之间的关系，例如全等、相似、面积、周长等度量性质。通过大量的几何作图示例与思考题，读者将亲手构建起对这些基本元素的直观理解。我们将学习如何运用几何语言来描述现实世界中的物体形状与空间关系，理解比例、相似在建筑、艺术甚至自然界中的普遍存在。 进一步地，我们将探讨欧几里得几何的分析方法。虽然“平面解析几何”这个名称被排除在外，但我们可以从更广阔的视角理解几何的代数化思路。例如，我们可能会提及古希腊人在测量与构建中的一些非形式化的代数思想，以及它们如何为后世的解析几何奠定基础。我们将通过一些经典的几何问题，如“三等分角”、“倍立方”和“化圆为方”的不可解性，来展现几何证明的严谨性与局限性，并引出数学发展的内在驱动力。 第二部分：非欧几何的革命性突破 紧接着，我们将进入一个颠覆性的领域——非欧几何。当对欧几里得第五公设的坚持变得愈发困难时，数学家们开始大胆地尝试构建不依赖于它的几何系统。我们将详细介绍黎曼几何与罗巴切夫斯基几何的诞生历程，解析它们在公设上的不同选择如何导向完全不同的几何空间。 在黎曼几何中，我们将在曲面上展开探索。我们将理解曲率的概念，以及它如何决定空间中的“直线”行为。我们将看到，在球面上，三角形的内角和大于180度，平行线会相交。而在双曲空间中，三角形的内角和小于180度，会有无数条过一点且不与给定直线相交的直线。我们将通过生动的例子，如地球的表面、马鞍形曲面等，帮助读者建立对这些抽象空间的直观感受。 在罗巴切夫斯基几何中，我们将主要关注在“负曲率”空间中的几何性质。我们将分析平行公理的几种可能形式，并理解它们如何导致逻辑上一致但与我们日常经验迥异的几何体系。我们将看到，在这样的空间中，过一点的平行线可以有无数条，且它们“向外”弯曲。 非欧几何的出现，并非是对欧几里得几何的否定，而是对其局限性的认识与拓展。它深刻地改变了我们对空间本质的理解，并为现代物理学，尤其是爱因斯坦的广义相对论，提供了关键的数学工具。我们将简要提及非欧几何在理解引力、时空弯曲等物理现象中的重要作用，展现几何学的强大解释力。 第三部分：微分几何与拓扑学的崭新视野 进入现代，几何学的触角延伸得更远，变得更加精细与抽象。微分几何的出现，使得我们能够对光滑的曲线、曲面乃至于更高维的流形进行精确的分析。我们将介绍微分几何的核心思想：通过微积分的工具，局部地逼近复杂的几何对象。 我们将学习曲线的曲率、挠率等概念，理解它们如何描述曲线的弯曲程度与扭转情况。对于曲面，我们将探讨其第一基本形式与第二基本形式，理解高斯曲率与平均曲率如何刻画曲面的内在几何性质。我们将看到，曲率在局部上决定了曲面的形状，而高斯曲率在度量上具有一种“守恒”的性质（高斯-博内定理），即使在弯曲的空间中依然成立。 我们将简要介绍流形的概念，理解它如何作为光滑的、局部像欧几里得空间的数学对象，成为研究高维几何的有力工具。我们将看到，微分几何为我们提供了分析曲面与流形上各种性质的强大方法，例如测地线（连接两点最短路径）、曲率张量等。 紧随其后，我们将探讨拓扑学，一个与微分几何既有联系又相互独立的领域。拓扑学关注的是几何对象在连续变形下保持不变的性质，即“不随形变而改变”的特征。我们将介绍拓扑等价的概念，以及如何通过同胚来判断两个几何形状是否在拓扑上等价。 本部分将重点介绍一些经典的拓扑学概念，如连通性、孔洞的数量、凸性等。我们将通过著名的“柯尼斯堡七桥问题”来引出图论与拓扑学的早期思想，并介绍“欧拉示性数”这个重要的拓扑不变量。我们将深入探讨“莫比乌斯带”的奇特性质，以及“克莱因瓶”的不可定向性，它们都是拓扑学领域引人入胜的例子。 我们将看到，拓扑学提供了一种更宏观、更抽象的视角来理解空间。它并不关心距离、角度等精确的度量，而是关注整体的结构与连接方式。这种视角在很多领域都有重要应用，例如凝聚态物理中的拓扑物相、计算机科学中的网络分析等。 第四部分：几何学在现代科学与技术中的应用 几何学的价值，绝不仅仅在于其抽象的数学之美，更在于其在改造世界、理解宇宙中的强大力量。我们将跨越不同学科，展现几何学的广泛应用。 在物理学领域，我们将重申非欧几何在广义相对论中的核心地位。我们将看到，引力并非一种力，而是时空本身的弯曲。天体运动的轨迹，正是在弯曲时空中沿着“测地线”前进的结果。微分几何更是描述电磁场、量子场论等物理现象不可或缺的语言。 在计算机科学与工程领域，几何学扮演着至关重要的角色。三维建模、计算机图形学、虚拟现实都离不开对几何形状的精确描述与处理。我们将提及计算几何在机器人导航、路径规划、碰撞检测等方面的应用。 在生物学与医学领域，几何学的概念也日益受到重视。例如，蛋白质的折叠结构、DNA的螺旋形状，都可以用几何的语言来描述。医学影像处理，如CT、MRI扫描，也需要复杂的几何算法来重建三维模型。 在数据科学与机器学习领域，几何学被用来分析高维数据的结构，例如流形学习技术，旨在发现数据在高维空间中的低维嵌入结构。 本书的结尾，我们将展望几何学未来的发展方向。我们可能会提及代数几何、离散几何、离散外微分几何等新兴领域，以及它们在理论研究与实际应用中可能带来的新机遇。 结语 《几何世界的探索与构建》并非一本纯粹的教材，而是一部关于几何思想史的漫游指南，一次关于空间认知的深度探索。我们希望通过这本书，让读者不仅仅掌握几何学的基本工具，更能体会到几何学思想的演进，理解几何学如何深刻地影响着我们对世界以及我们自身在宇宙中的位置的认知。从古希腊先哲的智慧之光，到现代科学家们对未知宇宙的求索，几何学始终是驱动我们理解与创造的强大动力。

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这本书的排版和插图，说实话，让人有些提不起精神。在当今这个信息图表盛行的时代，一本数学专著如果不能提供清晰、高质量的视觉辅助，无疑是自断一臂。图例部分显得尤为单薄，许多关键的定理论证图，比如椭圆和双曲线的渐近线关系，或者抛物线与焦点的构造，都只是用最基本的直线和圆弧粗略勾勒出来，缺乏必要的阴影、标记和细节注释。这使得在理解某些复杂的空间曲面交截问题时，读者不得不花费额外的精力去脑补图像的立体感。更别提那些印刷质量，有些线条边缘模糊，墨迹深浅不一，这对于需要精确辨认交点和切线的几何图形来说，简直是种折磨。我甚至怀疑，这些插图是不是直接从几十年前的老旧版本中扫描、未经过任何现代排版优化就直接套用了。阅读体验因此大打折扣，让人感觉这不是一本面向当代读者的精心制作，而更像是一份匆忙赶工的学术资料汇编。

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这本书的封面设计倒是挺有意思的，那种深沉的蓝色调，配上一些几何图形的线条勾勒，初看之下给人一种既古典又现代的矛盾美感。我原本是抱着对经典数学著作的好奇心翻开它的，期待能找到一些令人眼前一亮的阐述方式，毕竟“解析几何”这个名字本身就带着一种严谨的学术气息。然而，当我试图沉浸其中时，却发现内容似乎过于侧重于一些我早已熟悉的欧氏空间基础，对于现代数学分支的联系挖掘得不够深入。例如，在讨论二次曲线的分类时，作者的推导过程虽然无可指摘地准确，但缺乏一些能够将这些抽象概念与实际应用场景巧妙结合的案例。我更希望看到的是，如何用这些基础工具去解析更复杂、更具挑战性的物理或工程问题。比如，如果能增加一些关于微分几何初步概念的引入，或者探讨一下如何用解析几何的语言来描述广义相对论中的时空曲率，那这本书的价值可能会瞬间提升一个层次。目前给我的感觉是，它更像是一份扎实却略显陈旧的教材复刻，适合初学者打牢基础，但对于已经掌握了基础知识、渴望探索前沿或跨学科应用的读者来说，可能会觉得内容有些“干”。它缺少了那种能让人拍案叫绝的、将枯燥公式与生动图像完美融合的“灵光一闪”。

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我对作者在处理“极坐标系”和“柱坐标系”时的论述方式感到非常困惑。这部分内容似乎被放在了一个非常靠后的位置，而且处理得异常仓促，仿佛只是为了凑齐“标准”章节数量而不得不写上去的一笔带过的内容。极坐标在描述圆周运动、螺旋线以及天文学中的轨道问题时，其简洁性是普通笛卡尔坐标系无法比拟的。然而，这本书并没有充分利用这个优势，反而花费了大量的篇幅去反复证明一些关于半径和角度之间转换关系的恒等式，这些恒等式在其他更基础的微积分书籍中已经烂熟于心了。我期待的是，作者能深入探讨极坐标系在处理周期性边界条件或非欧几何初步探索中的应用潜力，而不是停留在如何将 $r^2 = x^2 + y^2$ 这种初中知识点进行二次包装。这种对基础概念的过度渲染和对高级应用的刻意回避，使得这本书在深度上始终徘徊不前，无法满足我对于“解析”二字所蕴含的深刻洞察的期望。

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这本书最让我感到失望的，是它在“向量代数与几何”交汇处的处理方式。解析几何的现代发展，很大程度上受益于向量工具的引入，它极大地简化了对直线、平面和空间几何体的描述。书中的向量部分似乎被割裂开来，以一种独立于解析几何主体结构的姿态存在。作者先是花了大量篇幅讨论了点积和叉积的代数定义，然后才冷硬地将它们嫁接到空间直线方向向量和平面法向量的概念上。这种教学设计思路显得非常僵硬，缺乏将代数运算与几何直观进行无缝连接的努力。真正的解析几何大师，会让你在计算两个向量的叉积时，脑海中立刻浮现出“那个新向量垂直于原平面”的画面。但在这里，我感觉自己更像是在做一场复杂的力学分析题，而非欣赏一种优美的空间描述语言。如果能更早、更自然地引入三维向量的概念，并用它来统一处理平面和空间的几何关系，这本书的逻辑连贯性和教学效率将得到质的飞跃，可惜，它选择了一条更加迂回曲折的传统路径。

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我花了整整一个下午来研读其中关于坐标变换的那几个章节，说实话，那种感觉就像是走进了一个巨大的、布满镜子的迷宫。作者在介绍旋转矩阵和反射矩阵时，叙述方式极其繁复，仿佛生怕读者一不小心就“误解”了这些基本操作。理论上，坐标变换的核心在于理解向量在不同基底下的投影和表示，这是一个非常优雅的数学概念。但是，这本书的处理方式更像是机械地罗列了一系列行列式和代数运算规则，每一步的几何意义都被淹没在了密密麻麻的希腊字母和上下标之中。我甚至不得不掏出笔记本，自己重新绘制了大量的二维和三维图形，试图还原出作者笔下那些变换背后的空间形变。一个优秀的解析几何读物，理应能让读者在脑海中“看到”旋转和拉伸的过程，而不是仅仅“计算”出结果。对于那些习惯于通过直觉和可视化来学习的读者来说，这本书的门槛设置得太高了，它要求你先成为一个代数专家，才能去体会它所要表达的几何美感，这完全是本末倒置了。

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天体运行，行星轨迹。

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