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出版者:Dover Publications

作者:Nathan Jacobson

出品人:

页数:331

译者:

出版时间:1979-12-01

价格:USD 15.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486638324

丛书系列:Dover Books on Mathematics

图书标签:

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探秘纯粹数学的宏伟结构：代数拓扑学导论 图书信息： 书名： 代数拓扑学导论 (Introduction to Algebraic Topology) 作者： [虚构的资深数学家姓名，例如：阿诺德·施密特 (Arnold Schmidt)] 出版社： [虚构的权威学术出版社，例如：普林斯顿高等数学出版社 (Princeton Advanced Mathematical Press)] 页数： 约 850 页 目标读者： 数学专业高年级本科生、研究生、以及对高维几何和结构感兴趣的研究人员。 --- 核心内容概述 《代数拓扑学导论》是一部旨在系统而深入地介绍代数拓扑学基础理论及其核心工具的学术专著。本书的核心宗旨在于构建一套坚实的理论框架，使读者能够理解如何使用代数工具（如群、环和模）来精确描述和分类拓扑空间（研究空间在连续形变下保持不变的性质）。 本书摒弃了过于繁琐的分析细节，专注于代数不变量的构建、性质的证明以及它们在解决经典拓扑学问题中的应用。全书结构严谨，论证清晰，力求在保证数学严密性的同时，提供充足的直观解释和丰富的示例。 第一部分：拓扑空间与基本概念的重塑 本部分旨在为后续代数工具的应用打下坚实的拓扑基础，但其侧重点与纯粹的集合论拓扑学有所区别，更注重那些对代数方法敏感的拓扑属性。 第一章：拓扑空间的回顾与深化 本章首先回顾了拓扑空间、连续映射、紧致性、连通性等基本概念，但迅速转向更精细的结构，如局部紧致性、可数性条件，并引入了同伦等价的概念作为初步的形变不变性度量。 第二章：基本群与环路空间 这是代数拓扑的第一个代数不变量的登场。本章详细阐述了如何从一个拓扑空间 $X$ 的一个基点出发，构造出其基本群 $pi_1(X)$。内容涵盖了路径的乘法、群的运算性质（如结合律的证明依赖于同伦的精确操作），以及 $pi_1(X)$ 作为区分拓扑空间的关键工具的应用。特别地，本书对单连通空间和非单连通空间（如环面和球面）的基本群进行了详尽的计算实例分析。 第三章：覆盖空间理论的几何与代数统一 本章是理解更高阶基本群的关键桥梁。我们深入探讨了覆盖映射的定义、提升性质（Path Lifting Property）和环路提升性质（Loope Lifting Property）。通过利用基本群与覆盖空间之间的万有覆盖空间的对应关系（即盖扎定理），读者可以清晰地看到代数结构是如何精确地编码了空间的几何“层叠”方式。 第二部分：同调理论的诞生与发展 同调论是代数拓扑学的核心，它提供了强大的、可计算的代数不变量来处理更复杂的拓扑结构，特别是那些基本群难以区分的空间（如高维球面）。 第四章：链复形与链的构造 本章引入了构建同调理论的代数框架——链复形 (Chain Complexes)。我们详细定义了链群 $C_n(X)$，边界算子 $partial_n$，以及链复形的性质。重点在于构建几种重要的链复形：单纯复形（Simplicial Complexes）、奇点复形（Singular Complexes）以及带边界的构造。 第五章：同调群的定义与基础性质 基于链复形，本章正式定义了同调群 $H_n(X)$ 作为 $ ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$。本书对如何证明同调群的函子性（Functoriality）给予了极大的篇幅，强调了链映射诱导出同调映射的必然性。我们展示了如何利用同调群来证明 Brouwer 不动点定理的经典二维情况，以及欧拉示性数与链复形的联系。 第六章：同伦等价与精确序列 如何证明两个空间具有相同的同调群？本章通过正合序列 (Exact Sequences) 来回答这个问题。 1. 马耶尔-维托里斯序列 (Mayer-Vietoris Sequence)： 这是应用同调论最强大的工具之一。本书详细解释了如何通过分解空间 $X = A cup B$ 来构造出与 $H_n(X)$ 相关的长正合序列，并用它来计算环面、球面以及楔形和积空间的同调群。 2. 同伦等价的意义： 证明同伦等价的空间具有同构的同调群，从而确立了代数拓扑学的基本承诺：代数不变量确实捕获了连续形变下的不变性。 第三部分：更高级的同调工具与应用 在打下基础后，本书转向更精细和更通用的计算工具。 第七章：相对同调与截断 本章探讨了相对同调群 $H_n(X, A)$，它衡量了空间 $X$ 剥去子空间 $A$ 后的拓扑结构。这对于理解割裂空间（如球面上的圆盘）的性质至关重要，并自然引出了约化同调群（Reduced Homology Groups）。 第八章：系数的改变与张量积 本章从纯粹的代数角度审视同调理论。我们引入了张量积 $otimes$ 及其与链复形的相互作用，特别是关于如何改变同调群的系数域（例如，从整数 $mathbb{Z}$ 域切换到有理数 $mathbb{Q}$ 域）。这部分深入探讨了系数同调群与万有系数定理 (Universal Coefficient Theorem) 的联系，揭示了拓扑空间中自由部分与挠率部分（Torsion Subgroups）的深刻分离。 第九章：胞腔同调的效率与应用 虽然奇点同调是普适的，但对于具有良好结构的空间（如流形），胞腔同调 (Cellular Homology) 提供了极其高效的计算方法。本章详细阐述了 CW 复合体的构造，并展示了胞腔链复形的简洁性，使得计算高维球面 $S^n$ 的同调群变得直接而优雅。 结论：结构的统一性 本书的收尾部分将代数拓扑学的核心思想——用代数语言捕捉几何形状——推向新的高度。尽管本书没有深入涉及微分几何或更先进的层论，但它成功地为读者构建了一个坚实的组合与代数基础，使之能够自信地步入更专业的领域，例如纤维丛理论或流形上的微分同调。全书的结构旨在培养读者对“不变性”的深刻理解，并熟练掌握从复杂空间中提取可操作代数信息的技巧。

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不得不提一下，这本《经典力学：从牛顿到拉格朗日》的叙事风格，简直是反传统教材的典范。它没有那种冷冰冰的公式堆砌，而是充满了对物理思想演变的洞察力。作者似乎对分析力学的历史发展有着深刻的见解，他将牛顿力学的局限性描述得绘声绘色，然后顺理成章地引出了变分原理的重要性。读到拉格朗日量的那一章时，我简直感觉自己是在阅读一部史诗。他没有直接给出一个公式，而是通过一个抛体运动的例子，展示了“作用量最小”这个概念是如何从直觉走向严谨的数学框架的。最让我印象深刻的是，他花了好大力气去解释为什么选择能量函数而不是力本身作为基本量，这种对物理直觉的培养，远比死记硬背欧拉-拉格朗日方程要重要得多。这本书的插图也非常用心，特别是那些关于约束条件的图示，简洁却有力地揭示了问题背后的几何约束。总而言之，这是一本能让你爱上物理思考过程的书，它教会你如何“看”问题，而不是仅仅如何“算”问题，对于渴望培养物理直觉的读者来说，价值无可估量。

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我最近刚读完《函数分析导论》，这本书给我的感受是**极致的严谨与优美的结构感**。作者在处理希尔伯特空间和巴拿赫空间时，表现出了令人敬畏的逻辑控制力。开篇对度量空间和范数空间的回顾虽然简短，但措辞精确，为后续的稠密性、完备性等核心概念铺垫得无懈可击。尤其是在探讨**傅立叶级数收敛性**时，作者巧妙地引入了$L^2$空间的概念，使得原本在经典分析中需要大量三角函数技巧的问题，瞬间被内积结构统一起来，极大地提升了理解的层次。书中对开闭算子的处理，特别是**闭图像定理**的证明，逻辑链条清晰得让人赞叹，每一步的假设和结论都紧密扣合，没有丝毫冗余。虽然内容深度不浅，但作者在关键定理后总会配上一些**应用实例**，比如它如何应用于偏微分方程的解的存在性问题，这使得原本抽象的理论立刻有了落地的感觉。对于想在泛函分析领域深耕，追求数学纯粹性的读者来说，这本书无疑是最好的工具书之一，它的结构之美，本身就是一种强大的说服力。

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这家伙，拿到手的这本《代数结构漫游指南》真是让人大开眼界。初看封面，还以为是那种枯燥的教科书，结果翻开后才发现，作者的叙述方式简直是行云流水，像是在跟一个老朋友聊天。特别是关于群论那一部分，他没有直接抛出那些拗口的定义，而是先用生活中的例子来引入，比如轮子旋转的对称性，一下子就把抽象的概念具象化了。我记得有一章专门讲了有限群的分类问题，本来我总觉得那是高不可攀的理论，但作者的笔触轻柔而精准，仿佛带着我一步步走进了那个复杂迷宫的中心，每一步都有清晰的路标。他对阶和生成元的解释尤其到位，让我对“结构”这个词有了全新的理解。读完这部分，我甚至有种冲动，想立刻去翻阅一些更深入的拓扑学著作，感觉自己已经打下了坚实的基础。这书的排版也很舒服，字体大小适中，脚注处理得恰到好处，不会打断阅读的连贯性。对于那些想从零开始系统学习代数，但又害怕被纯粹的数学符号吓跑的读者来说，这本书绝对是量身定做的入门利器，它没有把知识点堆砌起来，而是精心编织了一张引人入胜的知识网络。

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这本书的精妙之处，在于它对**张量分析的深度剖析**，那可真是让我眼前一亮。我之前接触过一些基础的微分几何书籍，但大多都浅尝辄止地提到了张量，让我总觉得不得要领。然而，这本书却花费了整整两章的篇幅，极其细致地阐述了协变和逆变张量的区别，以及它们在不同坐标系下的变换法则。作者在引入指标记号时，非常讲究逻辑的递进，先从简单的向量和对偶向量讲起，然后自然过渡到高阶张量。我特别欣赏他引入的那个“指标提升和下降”的几何意义的解释，不再是单纯的代数操作，而是能让人想象出空间中曲线和曲面的弯曲程度。此外，书中对黎曼曲率张量的推导过程，清晰得令人发指，每一步的矩阵运算和符号约定都被标注得清清楚楚，即便是像我这样对线性代数有一定基础，但对微分几何不甚精通的人，也能紧随其后不至于掉队。如果你想深入理解广义相对论中的时空几何，或者只是想搞明白那些弯曲空间中的“力”，这本书在张量理论这一块的表现，绝对是教科书级别的典范，远超我预期的深度和清晰度。

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这本《概率论与随机过程》的书，简直是为工程师和应用数学家量身定制的圣经。我尤其欣赏它对**马尔可夫链**的详尽论述。与其他侧重于纯理论证明的书籍不同，这本书大量地采用了**状态转移矩阵**和**图论**的语言来描述随机过程的演化。它没有一开始就陷入随机变量和概率测度的复杂性中，而是先通过一系列实际的例子——比如排队论、布朗运动的离散化——来建立读者的直观感受。书中关于**平稳分布**的求解部分，处理得极为透彻，不仅给出了详细的代数求解方法，还从极限角度解释了其物理意义——系统最终会“忘记”初始状态。此外，它对**鞅**理论的介绍也相当到位，虽然难度有所增加，但作者通过对赌博理论的分析，将鞅的不停时定理等概念阐述得非常生动。这本书的特色在于，它让你在掌握严密数学工具的同时，始终不忘应用场景，是那种读完后能立刻上手解决实际问题的实用指南，实用性和理论深度达到了完美的平衡点。

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