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出版者:Springer

作者:Igor R. Shafarevich

出品人:

页数:281

译者:M. Reid

出版时间:1996-3-18

价格:USD 74.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540575542

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 代数几何
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《代数几何基础 2》图书简介 一、 代数几何的深度探索与结构构建 本书《代数几何基础 2》是继《代数几何基础 1》之后，对现代代数几何核心概念和工具的系统性、深入的探讨。它旨在为读者提供一个坚实的数学基础，使其能够理解和运用代数几何中最为精妙和强大的理论工具，特别是在研究射影簇、局部性质以及范畴论在几何中的应用等方面。本书的叙事结构严谨，逻辑推进步步为营，力求在保持代数严谨性的同时，不失几何直观的启发性。 本书并非对基础代数几何概念的简单重复，而是着眼于深化和拓展，将读者从对经典簇（如椭圆曲线）的初步认识，引导至对更抽象、更具普遍性的几何对象的理解。 二、 核心主题：射影空间与簇的结构 第一部分：射影空间与齐次坐标的深入剖析 本书开篇即回归并深化了对射影空间 $mathbb{P}^n$ 的理解。我们不仅讨论了射影空间的拓扑结构（例如 $mathbb{P}^n$ 的欧拉示性数和基本群），更重要的是，深入探讨了齐次坐标如何自然地引出对射影簇的研究。 射影簇的定义与例子： 详细阐述了在 $k$ 上的射影空间中，由齐次多项式零点集定义的射影簇的性质。重点分析了如费马曲线等经典射影曲线的几何特征。 理想与簇之间的关系（希尔伯特零点定理的射影版本）： 对理想 $I(X)$ 和簇 $X$ 之间的对偶性进行了细致的推导，强调了在射影情形下，理想的齐次性如何成为保持几何结构的关键。 第二部分：层论的初步引入与局部性质 代数几何的真正威力在于其能够处理“局部”信息并将其“粘合”成一个整体结构。本书将层论作为理解几何局部行为的基础工具。 预层与层： 引入了预层（Presheaf）和层（Sheaf）的严格定义，特别是针对开集上的环和模的结构。清晰区分了恒等层、常数层、零层等基本层。 结构层 $mathcal{O}_X$： 重点研究了代数簇 $X$ 上的结构层 $mathcal{O}_X$。我们通过局部环 $mathcal{O}_{X,p}$ 来理解簇在点 $p$ 处的局部行为。这包括对正则函数的精确刻画。 推导出： 详细讨论了如何利用层论的概念来定义和计算正切空间 $T_p X$ 和微分。这部分是理解奇点理论的基石。我们用同调语言初步探讨了导出函子（Derived Functors）的必要性，为后续章节的深入打下基础。 三、 维度理论与奇异点 本书将大量篇幅用于建立代数几何中的维度概念，并将其与代数中的Krull 维度紧密联系起来。 维度的代数与几何定义： 从 Krull 维度的角度出发，证明了在仿射簇上，$dim X = dim mathcal{O}_X(U)$ 对于任何非空开仿射集 $U$ 成立。重点讨论了主理想定理在射影曲线上的推广。 奇点的识别： 奇点是簇的几何性质发生“退化”的点。本书采用局部正则性来刻画奇点。详细分析了正则环 (Regular Ring) 与正则局部环 (Regular Local Ring) 的性质，以及它们与光滑点之间的等价性。 解析化与形式化： 引入了形式化幂级数环 $widehat{mathcal{O}}_{X,p}$ 的概念，并展示了其如何作为研究局部奇点结构的有力工具。通过与完备化技术的结合，为识别和分类二重点、尖点等经典奇点提供了精确的代数框架。 四、 更有机地整合：张量、向量丛与态射 本书最后一部分旨在将前述工具应用于更复杂的几何对象——向量丛，并为理解态射（Morphisms）的全局性质做准备。 线丛（Line Bundles）的本质： 将线丛视为 $mathcal{O}_X$-模的局部自由层（秩为 1），而不是仅仅作为纤维丛的特殊情况。深入讨论了典范丛 (Canonical Bundle) $K_X$ 的定义，它是判断曲面代数几何性质（如亏格）的核心工具。 向量丛与局部自由层： 推广到一般秩 $r$ 的向量丛，并解释了它们如何对应于局部自由环环 $S$ 上的秩 $r$ 射影模。这部分强调了代数结构与几何纤维的直接对应关系。 态射的分析： 研究了从一个簇 $X$ 到另一个簇 $Y$ 的态射 $phi: X o Y$ 在局部如何由环同态 $phi^: mathcal{O}_Y o phi_ mathcal{O}_X$ 决定。重点分析了光滑态射 (Smooth Morphisms) 的条件，即在局部上的微分映射是满射的。 总结 《代数几何基础 2》是一部面向研究生和深入研究人员的教材。它要求读者已经熟练掌握了交换代数的基础，特别是诺特环、积分域和维度的概念。本书的目标是构建起一个从代数对象（环、模、理想）到几何对象（簇、点、切空间）的清晰、可操作的桥梁，为进一步探索如代数微分几何、模空间理论或算术几何打下不可或缺的基础。全书的叙事风格严谨而不失洞察力，确保读者在掌握高深理论的同时，也能体会到代数几何深层的内在美感。

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这本书在处理某些核心概念时的侧重点，让我开始重新审视自己对“基础”的理解。例如，在涉及局部化和函子操作的部分，作者似乎毫不犹豫地使用了非常成熟的语言，完全跳过了对这些操作在几何背景下直观意义的详细阐述，直接进入了其范畴论的精确描述。我期待的是一种渐进式的、由具体到抽象的过渡，然而，这本书似乎更倾向于从一开始就采用最普适、最抽象的语言来框架整个学科。这使得整本书读起来像是一篇高度浓缩的综述，信息密度之高令人咋舌，但缺乏那种能让人产生“顿悟”瞬间的教学引导。它更像是一份精心编纂的知识图谱，要求读者必须自己去寻找连接各个节点的路径，而不是由作者亲自铺设桥梁。对于那些寻求“通俗易懂”的入门读物的人来说，这本书带来的可能更多是挫败感而非学习的乐趣。

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这部教材，恕我直言，感觉像是为那些已经对代数几何有着相当扎实基础，并且正在寻求更高阶、更抽象视角的学者准备的。从我初步翻阅的印象来看，它并没有试图用过于亲切的方式引导初学者进入这个领域，而是直接切入了一些非常核心且技术性的概念。书中对预备知识的要求似乎相当高，特别是对于那些在复几何或经典代数几何方面训练不足的读者来说，可能需要大量的额外阅读才能跟上节奏。我特别留意了其中关于奇点理论和模空间的章节，那里的论证深度和广度都令人印象深刻，但同时也意味着，如果你的目标只是掌握基础的曲线或曲面理论，这本书可能会显得过于“硬核”和抽象。它更像是一本参考手册或进阶研讨会的讲义，适合那些已经知道自己在寻找什么，并且能够轻松应对复杂范畴论和层论工具的读者。对于我这种还在努力理解Scheme基本定义的阶段的人来说，它像是一座高耸入云的山峰，我能看到顶峰的壮丽，但攀登的路径对目前的我来说还显得异常崎岖和模糊。希望它能在某个更合适的阶段，成为我手中指引方向的罗盘。

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这本书的排版和结构设计，坦白地说，透露出一种极强的“学术原教旨主义”风格。它的证明往往是极其精炼的，每一个逻辑步骤都紧密相连，几乎没有多余的赘述或辅助性的图示来帮助视觉化抽象的概念。这对于追求纯粹数学严谨性的专业人士来说或许是优点，能让信息密度达到最大化，但对于我这种偏好“讲故事”式教学的读者而言，简直是灾难。我花了大量时间试图在脑海中重建一个清晰的几何图像来支撑那些代数推导，但常常发现自己迷失在了符号的海洋中。特别是当我们讨论到某些更深层的同调理论的应用时，作者似乎假定读者已经内化了这些工具的全部细微差别。我更希望看到一些更细致的“脚手架”，比如通过具体例子来缓慢搭建起理论框架，而不是直接把框架搭建好后，要求读者自行去寻找稳固地基的过程。它更像是一份给同行评审的终稿，而不是面向广泛学生的教学材料。

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从内容的选择来看，作者明显聚焦于现代代数几何中那些最前沿、最需要深厚背景知识的领域。我注意到书中有大量篇幅致力于发展某些特定的同调理论以及它们在算术几何中的潜在联系，这使得这本书的视野非常开阔，但同时也显得“不接地气”。对于那些希望通过这本书打下坚实的、可应用于古典代数几何问题的基础的读者来说，这本书提供的路径可能过于迂回甚至可以说是跑偏了。它更像是瞄准了未来十年研究热点的一份路线图，而不是对过去百年经典成果的一次全面回顾与梳理。如果你的兴趣点在于完备性、模空间形如椭圆曲线或K3曲面等经典对象的具体构造和性质，这本书对这些内容的讲解深度和侧重点可能与你的预期有显著偏差。它似乎更青睐于结构本身的美感，而非具体对象的物理（或几何）表现。

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翻阅此书，我产生了一种强烈的“被挑战”感，这种挑战并非源于我对知识的渴望，而更像是被作者的高标准直接抛入了深水区。叙述的语气非常自信，几乎没有“也许”、“可能”这样的词汇，所有结论都是以一种不容置疑的权威性陈述出来的。这要求读者必须以极高的专注度去阅读每一个句子，因为漏掉一个词语，可能就会错失一个关键的限制条件或者一个至关重要的定义域调整。这种写作风格，无疑可以最大限度地压缩篇幅，但它也无形中构建了一道高墙，阻挡了那些习惯于在学习过程中进行反复试错和自我修正的读者。我感觉这本书与其说是在教我如何“做”代数几何，不如说是在向我展示“大师”是如何思考的，而大师的思考过程往往是简洁、跳跃且高度直觉化的，这对于初学者来说，是极其难以模仿和消化的。

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为了GTM126，需要了解一些代数几何中的概念。从GTM 21第一章过度而来，仅读了Scheme这一部分，我想足够了：） 以后要读的话， 估计会以GTM 52，或者Liu Qing的书开始吧

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为了GTM126，需要了解一些代数几何中的概念。从GTM 21第一章过度而来，仅读了Scheme这一部分，我想足够了：） 以后要读的话， 估计会以GTM 52，或者Liu Qing的书开始吧

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好书。

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为了GTM126，需要了解一些代数几何中的概念。从GTM 21第一章过度而来，仅读了Scheme这一部分，我想足够了：） 以后要读的话， 估计会以GTM 52，或者Liu Qing的书开始吧

评分☆☆☆☆☆

为了GTM126，需要了解一些代数几何中的概念。从GTM 21第一章过度而来，仅读了Scheme这一部分，我想足够了：） 以后要读的话， 估计会以GTM 52，或者Liu Qing的书开始吧