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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:William Fulton

出品人:

页数:430

译者:

出版时间:1995-7-27

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387943275

丛书系列:

图书标签:

• 代数拓扑
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• 拓扑不变量
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《代数拓扑》一书是对现代数学一个至关重要的分支的深度探索，它巧妙地运用代数工具来研究几何形状的性质。这本书并非简单地罗列定理和证明，而是力求揭示代数拓扑的核心思想：如何通过代数的语言来理解和区分不同拓扑空间的内在结构。 本书首先会带领读者深入理解拓扑空间的基本概念，包括开集、闭集、连续映射、同胚等。在此基础上，我们将引入一些初步的代数工具，例如基本群（fundamental group）。基本群的构建过程本身就充满了数学的智慧，它捕捉了空间中“洞”的形状和连通性。通过计算不同空间的odings，读者将学会如何区分那些在几何上看起来相似但拓扑上却截然不同的对象。例如，我们将看到如何用基本群来证明一个球体与一个圆盘在拓扑上是不同的，尽管它们在表面上都显得光滑。 本书接下来的重点将是更为强大的代数不变量：同调论（homology theory）。同调论通过构造一系列的阿贝尔群来衡量空间的“洞”的维度。我们将从单纯同调（simplicial homology）开始，详细阐述如何通过将空间分解为简单的几何单元（单纯形）来构建代数对象。这个过程虽然在技术上有所要求，但其直观性能够帮助读者理解同调群的几何意义。书中会详细解释链复形、边界算子、同调群的定义，以及如何利用这些概念来计算具体空间的同调群。我们还会探讨同调论的优越性，例如它不依赖于空间的剖分方式，能够更好地处理复杂的拓扑结构。 为了进一步拓展同调论的应用，本书还将深入研究奇异同调（singular homology）。与单纯同调不同，奇异同调不依赖于空间的具体剖分，而是使用映射到空间中的标准单纯形来定义同调群。这种方法更加普适，并且使得我们在处理更一般性的拓扑空间时更加得心应手。读者将学习如何构造奇异链复形，理解同态的定义以及同调的长精确序列等关键概念。 本书的一个重要部分还将涵盖同调的公理化方法。我们将阐述同调论的五条基本公理，并证明满足这些公理的理论（如奇异同调）在一定条件下是唯一的。这种公理化的视角不仅提升了理论的严谨性，也为理解更高级的代数拓扑工具奠定了基础。 除了计算和理解同调群，本书还将探讨同调论的运算性，特别是积运算（cup product）。通过引入上同调环（cohomology ring）的概念，我们将看到代数结构如何进一步丰富我们对拓扑空间的认识。我们将学习如何计算和使用上同调环来区分空间，以及它在某些特定问题中的强大应用。 在全书的最后，我们将触及一些更高级的主题，例如层论（sheaf theory）的初步概念，以及它在代数拓扑中的初步应用。尽管不会深入到非常专业的地步，但会为读者提供一个窥视更广阔领域的窗口，展示代数拓扑与其他数学分支的联系。 《代数拓扑》一书的目标是让读者掌握一套强大的分析和理解几何形状的数学工具。通过严谨的推导、丰富的例子和清晰的讲解，本书力求让读者不仅能够理解代数拓扑的抽象概念，更能体会到其在解决实际几何问题中的巨大威力。它将是一本对于有志于深入研究拓扑学、几何学以及相关领域的学生和研究者都极具价值的参考书。

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这本书在数学内容的组织上，充分体现了其深度和广度。作者从最基础的拓扑概念，如开集和连续性，稳步推进到更抽象的同伦和同痕。我尤其喜欢他对基本群的阐释，他不仅定义了路径的和，还深入探讨了群的性质以及它在单连通空间与非单连通空间中的作用，这为理解后续的同调论打下了坚实基础。接着，书中对同调论的介绍，可谓是精彩绝伦。通过链复形、边界算子和同调群的概念，作者将抽象的代数工具与几何空间的结构紧密联系起来。例如，他通过对不同空间的具体计算，如球面和环面的同调群，让我们能够直观地理解代数方法如何揭示空间的“洞”。而对于辛格霍姆同调群的阐述，更是让我眼前一亮，它不仅与基本群紧密相连，而且在区分一些细微的拓扑性质上表现出了强大的能力。整本书的叙述风格非常引人入胜，既有严谨的数学推导，又不失生动的比喻和直观的解释，让学习过程充满乐趣，并且能够满足不同层次的读者对代数拓扑的探索需求。

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这本书在对抽象概念的处理上，堪称教科书级别的典范。作者对于“同伦”这一核心概念的阐释，没有停留在字面上的“连续形变”，而是深入到其背后的数学定义和性质。他通过一系列巧妙的例子，比如将一个圆拉伸成一个点，或者将一个甜甜圈变成一个咖啡杯，生动地展示了同伦的意义，以及为何在拓扑学中，这两种形状被认为是等价的。对于“同调”的讲解，作者更是将抽象的代数结构与几何直观完美结合。他引入的链复形和边界算子，虽然初看之下有些令人生畏，但作者通过对不同空间的具体计算，例如对球面和环面的同调群的计算，让我们逐渐理解了这些代数工具是如何捕捉到空间的“洞”的。特别是关于辛格霍姆同调群的部分，作者非常细致地解释了它与基本群的联系，以及它在判断两个空间是否同伦等价时的独特作用。这本书没有回避那些复杂的证明，但又总能以一种非常易于理解的方式呈现，让人在掌握严谨数学的同时，也能感受到其中蕴含的美。

评分☆☆☆☆☆

这本书在数学表述的严谨性与直观性之间，找到了一个完美的平衡点。作者在介绍基本群时，不仅仅停留在路径的定义，而是深入探讨了路径的等价性以及群结构的来源，这种对细节的关注，为后续理解更复杂的拓扑概念奠定了坚实的基础。我尤其喜欢书中对于同调论的阐释，它将原本抽象的代数结构，通过链复形和边界算子的概念，变得可以触摸和计算。例如，作者通过对不同空间的具体例子，如球面和环面，计算它们的同调群，这种将抽象理论与具体实例相结合的方式，让我能够更深刻地理解代数工具如何揭示空间的内在属性。关于辛格霍姆同调群的部分，作者更是将其与基本群巧妙地联系起来，并详细解释了它在区分拓扑空间时的关键作用。这本书的叙述方式非常流畅，不会让人感到晦涩难懂，即使是那些复杂的证明，作者也总是能以一种清晰且富有条理的方式呈现，让人在掌握严谨数学的同时，也能领略到代数拓扑的优雅与魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书在数学概念的引入和发展上，展现出了极高的艺术性和严谨性。作者在讲解基本群时，并没有仅仅停留在路径的定义上，而是深入探讨了路径的等价性以及群结构的来源，这种对细节的关注，为后续理解更复杂的拓扑概念奠定了坚实的基础。我尤其欣赏本书在引入同调论时的处理方式，它将原本抽象的代数结构，通过链复形和边界算子的概念，变得可以触摸和计算。例如，作者通过对不同空间的具体例子，如球面和环面的具体计算，让我们能够更深刻地理解代数工具如何揭示空间的内在属性。关于辛格霍姆同调群的讲解，更是让我眼前一亮。作者不仅清晰地阐述了它与基本群之间的紧密联系，而且详细解释了它在区分拓扑空间时所扮演的重要角色。本书的语言流畅自然，即使在处理复杂的数学证明时，也能做到条理清晰、逻辑严谨，让我在享受学习过程的同时，也能深入理解代数拓扑的精髓。

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这本书在对抽象概念的引入和讲解上，堪称艺术品。作者在介绍基本群时，并没有仅仅停留在路径和闭合路径的定义上，而是深入探讨了路径的等价性和群的运算律，这使得我们能够更深刻地理解代数结构如何隐藏在几何空间之中。我尤其欣赏本书在引入同调论时的处理方式，它将原本令人望而生畏的链复形和边界算子，通过一系列精心设计的例子，例如对球面和环面的具体计算，变得直观且易于理解。这种将抽象的代数工具与几何直观相结合的方法，让我能够更深刻地体会到代数拓扑的威力。关于辛格霍姆同调群的讲解，更是让我的眼前为之一亮。作者不仅清晰地阐述了它与基本群之间的紧密联系，而且详细解释了它在区分拓扑空间时所扮演的重要角色。本书的语言流畅自然，即使在处理复杂的数学证明时，也能做到条理清晰、逻辑严谨，让我在享受学习过程的同时，也能深入理解代数拓扑的精髓。

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这本书在介绍代数拓扑的各个重要工具时，都力求做到深入浅出，并且注重数学的内在联系。作者在讲解基本群时，不仅仅是定义了路径的和，还深入探讨了它的性质，比如链法则和覆盖空间的作用，这为后续的同伦理论打下了坚实的基础。我尤其欣赏作者在引入同调论时，那种循序渐进的思路，从链复形的定义到边界算子的计算，再到同调群的生成，每一步都充满了逻辑的美感。他通过对不同空间的具体例子，比如多面体和球面，来计算它们的同调群，让我们能够直观地理解代数工具如何捕捉到空间的洞。关于辛格霍姆同调群的介绍，更是让我眼前一亮。作者非常清晰地阐述了它与基本群之间的关系，以及它在区分一些微妙的拓扑结构方面的强大能力。这本书的语言风格非常细腻，不会生硬地抛出公式，而是通过生动的比喻和清晰的解释，引导读者一步步理解抽象的概念，这对于初学者来说，无疑是一本非常友好的入门读物，同时也能够满足有一定基础的读者对理论深度的需求。

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这本书在构建代数拓扑的知识体系时，展现出了非凡的组织能力和清晰的逻辑。作者从最基础的拓扑空间和连续映射出发，逐步引入了同伦与同痕的概念，为我们打开了理解拓扑等价性的新视角。我特别欣赏他对基本群的详尽讲解，不仅仅是定义了路径的和，更是深入探讨了群的性质以及它在单连通空间与非单连通空间之间的作用。接着，本书对同调论的介绍，可谓是精彩绝伦。通过链复形、边界算子和同调群的概念，作者将抽象的代数工具与几何空间的结构紧密联系起来，并且通过对不同空间的具体计算，例如球面和环面的同调群，让我们能够直观地理解代数方法如何揭示空间的“洞”。而对于辛格霍姆同调群的阐述，更是让我眼前一亮，它不仅与基本群紧密相连，而且在区分一些细微的拓扑性质上表现出了强大的能力。整本书的叙述风格非常引人入胜，既有严谨的数学推导，又不失生动的比喻和直观的解释，让学习过程充满乐趣。

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这本书的章节安排，逻辑性非常强，仿佛是一条精心铺设的道路，引领着读者从初学者一步步走向代数拓扑的深邃领域。开篇对基本群和覆盖空间的介绍，就如同给读者打开了一扇窗，让我们看到了拓扑空间中隐藏的“路径信息”。作者在讲解覆盖空间时，对单连通空间的依赖性以及非单连通空间带来的丰富性，都做了非常透彻的分析。接着，书中对同调论的引入，更是标志着进入了代数拓扑的核心。从链复形、链映射到同调群，每一步的推导都非常严密。我特别赞赏作者在介绍链复形的时候，不仅仅是给出了一个定义，而是通过具体的例子，比如球面上的链复形，展示了如何通过代数工具来刻画几何空间的结构。书中对辛格霍姆同调群的讲解，可以说是我读过的最清晰的版本之一。作者通过对同伦群的联系，巧妙地引出了辛格霍姆同调群的定义，并且强调了它在区分同胚但非同伦等价空间中的重要作用。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，封面那种深邃的蓝色背景，上面点缀着复杂的、似乎永无止境的几何图案，就已经透露出一种神秘而引人入胜的气息。当我第一次拿到它的时候，它的重量就给了我一种“内容扎实”的预感，翻开书页，那种熟悉的纸张触感，散发着淡淡的油墨香，瞬间将我带入了数学的殿堂。这本书的排版非常清晰，字体大小适中，行间距也恰到好处，即使是阅读那些错综复杂的公式和定理时，也不会感到视觉疲劳。每一个定义、每一个定理都经过了精心设计，无论是标题还是内容，都显得那么庄重而有序。那些穿插在文字中的插图，虽然只是简单的线条勾勒，却精准地捕捉到了代数拓扑的核心概念，例如那些奇妙的同伦群的图形化表示，或是胞腔复形的结构展示，它们不仅仅是装饰，更是理解抽象概念的有力辅助，仿佛在无声地诉说着数学的语言。作者在讲解过程中，善于运用类比和直观的解释，将那些晦涩难懂的抽象概念，转化成可以被我们大脑轻松接受的形象，这一点是我非常欣赏的。它并非一味地堆砌公式，而是努力构建一个直观的理解框架，让读者在掌握技术的同时，也能领略到代数拓扑的内在美。

评分☆☆☆☆☆

这本书在概念的引入上，可以说是循序渐进，丝丝入扣。从基础的同调论开始，作者并没有直接抛出那些复杂的链复形和边界算子，而是先从更直观的“洞”和“连通性”入手，利用球体、圆环等简单对象的例子，一点点揭示代数拓扑研究的核心问题。我尤其喜欢作者在介绍同伦等价时，那种“连续变形”的生动描述，仿佛是将抽象的数学概念，变成了可以触摸、可以感知的物理过程。书中对辛格霍姆同调群的讲解，更是精雕细琢，它不仅给出了严谨的定义和计算方法，还深入浅出地解释了它在分类不同类型拓扑空间中的重要作用。读到这里，我仿佛能感受到一种力量，一种能够区分看似相似但本质不同的空间的强大力量。作者在讲解过程中，始终保持着一种对数学细节的严谨态度，每一个证明都推导得一丝不苟，逻辑链条清晰得如同艺术品。同时，他又不会让理论的严谨性压倒读者的理解，总能在关键时刻穿插一些历史背景或者与其它数学分支的联系，让整个学习过程不至于枯燥乏味，反而充满了探索的乐趣。

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這個標題不全啊... 應該是Algebraic topology.. A first course

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