具体描述
《拓扑学基础》是普通高等教育“十五”国家级规划教材。作为拓扑学的入门书，《拓扑学基础》从方法论角度统一处理拓扑学的基础内容，注重拓扑学与其他学科的联系以及拓扑学不同分支之间的内在联系与统一，强调严密的逻辑推理与几何直观并重、抽象的理论与具体的应用相结合，突出概念、定理的背景与意义，同时对拓扑学的一些经典内容作了现代化处理。
全书共分五章，第一章作为学习拓扑学课程的必要准备，介绍关于集合、映射以及序结构的基本概念和相关结果。第二章是拓扑学最基础的内容，介绍拓扑空间及其相关的基本概念、拓扑空间上的极限理论、连续映射与同胚以及构造拓扑空间的基本方法等。其后的三章：几类重要的拓扑空间，拓扑与代数结构——基本群，拓扑与序结构，分别介绍从分析的，代数的以及序结构的三种角度来处理拓扑学问题。
《拓扑学基础》取材新颖，内容丰富，篇幅不大，论证严谨，例题较多，习题适中。适合作为综合性大学、高等师范院校数学类专业本科生的拓扑学课程教材，也可作为非数学类有关专业的研究生教材和科技工作者、数学爱好者学习、了解拓扑学的入门教材或参考资料。
作者简介
目录信息
§1.1 集及其运算 1
§1.2 映射 6
§1.3 序关系 10
§1.4 笛卡儿积与选择公理 15
第二章 拓扑空间 19
§2.1 拓扑、基与邻域 19
§2.2 闭包、内部与分离性 24
§2.3 连续映射与同胚 32
§2.4 拓扑空间中的极限——网与滤子的收敛 38
§2.5 积空间 44
第三章 几类重要的拓扑空间 50
§3.1 度量空间 50
§3.2 具有函数分离性的空间 57
§3.3 紧空间 63
§3.4 连通空间与道路连通空间 71
第四章 拓扑与代数结构——基本群 80
§4.1 商空间与闭曲面 80
§4.2 基本群的概念与基本性质 91
§4.3 覆盖空间 100
§4.4 基本群的计算与应用 105
第五章 拓扑与序结构 112
§5.1 连续格与拓扑 112
§5.2 Sober 空间与特殊序 118
§5.3 局部紧空间 123
§5.4 拓扑表示定理 127
符号说明 135
名词索引 138
参考书目 142
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读后感
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用户评价
这本书的阅读体验，就像是在一个逻辑严谨的迷宫中探索。我始终在寻找书中是否有关于“同调论”的初步概念，因为我知道它是研究空间“洞”的更强大的工具。虽然本书没有深入到同调群的计算，但它对“连通性”的细致划分，为理解这些概念埋下了伏笔。我花了很多时间去理解“紧致性”的各种等价定义，特别是“有界闭集”在度量空间中的紧致性，这让我体会到不同数学分支之间的联系。书中对“度量空间”中“闭集的性质”的阐述，让我认识到闭集是开集的补集，它们共同构成了空间的拓扑结构。我还对“度量空间的完备性”进行了深入的研究，它保证了柯西序列的收敛，使得在这些空间中进行不动点定理等证明成为可能。书中对“邻域”的定义，让我理解了“点”在拓扑空间中的“局部环境”，以及这些局部环境如何决定了空间的整体性质。我还对书中关于“分离公理”（如Hausdorff空间）的讨论产生了兴趣。这些公理决定了空间中点的“可区分性”，并且对于一些重要的定理是必不可少的。
评分这本《拓扑学基础》我拿到手已经有一段时间了，期间断断续续地翻阅，试图理清那些抽象的几何概念。最开始吸引我的是书名中“基础”二字，以为可以轻松入门，没想到打开扉页，迎面而来的是一系列看似简单却又引人深思的定义和定理。例如，书中对“拓扑空间”的定义，强调的是开集的集合族，以及它所满足的三个公理。起初我以为就是普通的集合论，但随着深入，才发现这种抽象化的定义带来了无与伦比的灵活性。它可以将我们熟悉的欧几里得空间、球面、环面等等都纳入同一个框架之下，并且能够研究那些在连续形变下保持不变的性质，比如连通性、紧致性、可数性等等。我特别欣赏作者在解释这些抽象概念时所使用的类比，虽然我无法完全依赖这些类比，但它们确实为我提供了一个初步的理解方向。比如，书中有提到将一个甜甜圈变成一个咖啡杯，这是因为它们的拓扑性质是相同的——都只有一个“洞”。这种直观的例子，帮助我在大脑中构建起初步的图像，虽然实际的学习过程远比这复杂。我花了不少时间在理解“同胚”这个概念上，它指的是一种保持拓扑性质的双射函数。这意味着两个拓扑空间如果同胚，那么它们在拓扑学意义上就是“相同”的，尽管它们的具体形态可能截然不同。书中对同胚的证明过程，往往涉及到构造这样的映射，并证明其连续性和逆映射的连续性，这让我感到一种数学的严谨和美妙。我还在努力消化关于“度量空间”和“非度量空间”的区别，以及它们在拓扑性质上的差异。这本书的深度和广度，让我意识到拓扑学并非仅仅是关于形状的分类，而是研究空间更本质、更抽象的结构。
评分《拓扑学基础》这本书，在我学习数学的道路上，确实带来了一些全新的视角。我一直关注书中是否有关于“图论”的拓扑应用，因为我知道图论中的许多问题，都可以用拓扑学的语言来描述和解决。本书所建立的抽象框架，为理解这些应用提供了基础。我花了大量时间去理解“开集”和“闭集”的性质，以及它们如何构成一个拓扑空间。在我看来，开集就像是空间的“开放区域”，而闭集则是这些区域的“边界”加上“内部”。书中对“紧致性”的深入探讨，特别是“ Heine-Borel定理”的推广，让我体会到紧致性在分析和几何中的核心地位。我还对“度量空间”的“稠密性”进行了深入研究。一个稠密子集的存在，意味着我们可以用这个子集中的点来“逼近”空间中的任何一点，这在数值计算和近似理论中至关重要。书中对“完备性”的定义，也让我认识到，在一些空间中，即使是一个趋于收敛的序列，也可能在空间之外达到极限，而完备性保证了这一点不会发生。我还对书中关于“计数性”的讨论产生了兴趣。第一可数性和第二可数性，虽然都是关于“可数”的属性，但它们对空间的结构有着截然不同的影响。
评分阅读《拓扑学基础》的过程，就像是在攀登一座精心设计的数学山峰。我并没有一开始就直接去攻克最困难的章节，而是从前面几章的基础概念开始，循序渐进。作者对“邻域”和“闭集”的阐述，是我花费最多时间的部分。在欧几里得空间中，我们对邻域的概念比较熟悉，比如一个点的所有比它近某个固定距离的点组成的集合。但当拓扑空间脱离了欧几里得的度量，邻域的定义就显得更加抽象，它是一种包含某个点的集合，并且该点是这个集合的内点。这个“内点”的定义，又依赖于开集的性质。一旦理解了开集的定义，闭集的定义（开集的补集）也就自然而然了。然后，书中引出了“序列紧致”和“可数紧致”的概念，并探讨了它们在不同拓扑空间中的关系。我记得书中有一个例子，讨论了一个无限集合的特定拓扑，在这个拓扑下，只有空集和整个集合是开集，这样的空间被称为“不可数空间”，它的拓扑性质与我们熟悉的欧几里得空间大相径庭。这让我深刻体会到，不同的拓扑结构可以赋予同一个集合完全不同的“形状”的认知。书中对“连通性”的讨论，也让我印象深刻。一个空间是连通的，意味着它不能被分成两个不相交的非空开集。这听起来很简单，但当我看到如何用“道路连通”来进一步细化连通性时，我意识到数学家们是如何层层递进地探索这些概念的。特别是书中关于“紧致空间”的性质，比如任意开覆盖都有有限子覆盖，这在实分析中是至关重要的。理解紧致性，对于证明一些重要定理，比如连续函数在紧致集上的性质，是不可或缺的。这本书的价值在于，它不仅仅是概念的堆砌，更重要的是展示了这些概念之间如何相互关联，形成一个严谨而有力的数学体系。
评分这本书的阅读过程，仿佛是一次精神的洗礼。我一直在寻找书中关于“同伦论”的初步介绍，因为我知道这是拓扑学中一个非常活跃且重要的分支，它研究的是空间在连续形变下的不变性。虽然《拓扑学基础》并没有深入到同伦群的计算，但它为理解同伦提供了必要的概念铺垫。我花了大量时间在消化“道路连通”和“路径连通”的区别上。一个空间是道路连通的，意味着任何两点之间都可以通过一条连续的曲线连接起来。而路径连通是道路连通的一种更强的形式，它要求存在一个固定的点，使得该点到空间中的任意一点都可以用一条连续曲线连接。这些对连通性的不同刻画，让我意识到数学家们是如何精雕细琢地定义和研究空间的性质。书中对“完备度量空间”的讨论，也让我受益匪浅。完备性意味着空间中的每个柯西序列都收敛，这在许多分析和几何问题中都是非常重要的性质。我特别欣赏书中通过构造反例来证明某些性质的局限性。例如，证明一个序列紧致的空间不一定是可数紧致的，或者一个度量空间是可数紧致但不一定是序列紧致的，这些反例的构建，极大地加深了我对概念的理解。我还对书中关于“Hausdorff空间”和“T1空间”的定义产生了浓厚的兴趣。这些分离公理，虽然听起来简单，但它们却能够区分出不同“分离性”的拓扑空间，并且在很多拓扑定理的陈述中，这些条件是必不可少的。
评分《拓扑学基础》这本书，对我而言，是一次深刻的认知重塑。我一直在寻找书中是否有关于“微分流形”的初步介绍，因为我知道这是将拓扑学与微积分结合起来的重要领域。本书所构建的抽象框架，为理解微分流形提供了概念上的支撑。我花了很多时间去理解“开集”的性质，以及它是如何通过“邻域”的概念来定义的。在我看来，开集是拓扑空间中最基本的“构件”，它们定义了空间的“局部结构”。书中对“紧致性”的讨论，特别是“ Heine-Borel定理”的拓扑化表述，让我对这个概念有了更深的认识。这个定理表明，欧几里得空间中的有界闭集是紧致的，反之亦然。我还对“度量空间”的“完备性”进行了深入的研究，它保证了柯西序列的收敛，这是许多分析证明的核心。书中对“商空间”的构造，也让我产生了浓厚的兴趣。通过对一个空间的元素进行“等价划分”，我们得到新的拓扑空间，这在研究周期性结构或对称性时非常有用。我还对书中关于“不可数集”和“可数集”在拓扑空间中的行为进行了探讨。在某些特殊的拓扑下，即使是不可数集，其拓扑性质也可能与我们直觉相悖。
评分这本书的阅读体验，就像是在探索一片未知的数学大陆。我一直对书中是否有关于“曲率”的讨论抱有期待，虽然它不是纯粹的拓扑学概念，但与空间的几何性质密切相关。本书所建立的抽象框架，为理解曲率在不同空间中的表现提供了基础。我花了很多时间去理解“紧致性”的两种主要定义：序列紧致和覆盖紧致，以及它们在度量空间和一般拓扑空间中的等价性。书中通过清晰的论证，阐述了这些定义之间的联系和区别。我对于“度量空间”中的“开集”和“闭集”是如何由距离定义的，也进行了细致的研究。这让我明白，我们熟悉的欧几里得空间中的开球和闭球，是构成其拓扑结构的基本单元。我还对书中关于“完备空间”的性质进行了深入的探讨，特别是柯西序列的收敛性，以及它在实分析中的重要应用。书中对“度量空间的稠密子集”的定义，也让我印象深刻。一个稠密子集是指，它在空间中的闭包等于整个空间，或者说，空间中的任何一点都可以被稠密子集中的点“无限接近”。我还对书中关于“第一可数空间”的定义产生了兴趣。这意味着每个点都有一个可数的局部基，这使得在这些空间中，利用序列来定义极限和连续性成为可能。
评分坦白说，《拓扑学基础》这本书带给我的体验是既有挑战性，又有极大的启发性。一开始，我试图寻找书中是否有关于“低维拓扑”的具体例子，比如如何区分不同形状的曲面，或者研究纽结理论。虽然书中并没有专门花大篇幅介绍这些应用，但它所建立的抽象框架，恰恰是理解这些复杂问题的基石。我花了很多时间去理解“紧致空间”的性质，以及它的几种等价定义。例如，书中提到一个度量空间是序列紧致当且仅当它是全有界的且完备。这个结论在我的学习过程中，起到了承上启下的作用，它将我们之前学习到的度量空间的性质，与更抽象的拓扑性质联系了起来。我特别关注书中关于“可分离性”和“计数性”的讨论。可分空间意味着存在一个可数稠密子集，而计数性则有第一可数和第二可数之分。这些性质在研究函数的极限、连续性以及空间的某些结构时，扮演着至关重要的角色。我还在琢磨书中关于“商空间”的构造。当我们通过等价关系将一个空间进行“粘合”时，会产生新的拓扑空间，而商空间的拓扑结构，则取决于原始空间的拓扑以及这个等价关系。这让我想到，很多看似复杂的几何对象，都可以通过这种商空间的方式来构造，比如射影空间、复射影空间等等，这些都是拓扑学强大的工具。书中对“同胚”和“同伦”的区分，也引起了我浓厚的兴趣。虽然同胚要求一对一的连续双射且逆也连续，而同伦则是一种更弱的等价关系，它允许连续形变。这种对“相似”概念的精细化处理，体现了数学的精确性。
评分这本书的阅读过程，是一次对抽象思维的极致锻炼。我始终在寻找书中是否有关于“代数拓扑”的初步介绍，因为我知道它是用代数工具来研究拓扑空间的强大分支。本书所奠定的基础，为理解代数拓扑的入门概念提供了必要的知识储备。我花了相当多的时间去理解“拓扑空间”的定义，以及它所包含的“开集族”如何满足特定的公理。在我看来，开集就像是空间的“开放区域”，它们定义了空间的“局部结构”和“邻近关系”。书中对“紧致性”的探讨，让我认识到它是衡量空间“大小”和“结构稳定性”的一个重要指标，尤其是在处理连续映射时。我还对“度量空间”的“完备性”进行了深入研究。完备性保证了柯西序列的收敛，这使得许多重要的分析定理，如不动点定理，都可以在这些空间中得到证明。书中对“商空间”的构造，也让我产生了浓厚的兴趣。通过对一个空间的元素进行“等价划分”，我们得到新的拓扑空间，这在研究周期性结构或对称性时非常有用。我还对书中关于“分离公理”的讨论产生了兴趣。这些公理决定了空间中点的“可区分性”，并且对于一些重要的定理是必不可少的。
评分《拓扑学基础》这本书，在我看来，是一扇通往抽象数学世界的窗户。我始终在寻找书中是否有关于“流形”的初步概念，因为我知道流形是拓扑学在几何学和物理学中最重要的应用之一。虽然本书侧重于基础理论，但它对“局部欧几里得性”的铺垫，为理解流形打下了基础。我花了相当多的时间去理解“紧致集”的性质，以及它的定义是如何通过“有限开覆盖”来刻画的。这个性质在许多证明中都起到了关键作用，例如证明一个连续映射在紧致集上的像也是紧致的。书中对“度量空间”的定义，强调的是距离函数所满足的四条公理，而拓扑空间则是一种更一般化的概念，它只关注开集的结构。这种从具体到抽象的过渡，是我学习过程中的一个重要体会。我还在努力消化书中关于“连通分支”的定义，以及如何判断一个空间的连通分支的数量。这与空间的连通性密切相关，但它指的是将空间划分成最大连通子集的过程。我还对书中关于“紧致化”的构造产生了兴趣。对于一个非紧致的空间，我们可以通过添加一个“无穷远点”等方式，使其变成一个紧致空间，这在某些分析问题中很有用。书中对“同胚”概念的反复强调，让我认识到它是衡量两个拓扑空间是否“相等”的最基本标准。
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