Algebraic Curves and Riemann Surfaces (Graduate Studies in Mathematics, Vol 5) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Rick Miranda

出品人:

页数:390

译者:

出版时间:1995-04-01

价格:USD 54.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821802687

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 黎曼曲面
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经典代数几何的基石：从初等曲线到高维流形 本书旨在为数学系的本科高年级学生和初级研究生提供一个严谨且直观的代数几何和复分析基础，重点关注黎曼曲面的结构理论及其在复分析、拓扑学和代数几何中的深远联系。本书摒弃了对过于抽象的概化和现代代数几何的深层工具的立即引入，而是选择了一条更具建设性的路径，通过对一维复流形——黎曼曲面的深入剖析，构建起理解高维代数簇的基础框架。 本书结构清晰，逻辑严密，从复分析的初步概念出发，逐步过渡到几何直觉的建立。我们首先回顾了必要的复分析背景，包括全纯函数、幂级数展开、复积分以及留数定理，这些都是后续分析黎曼曲面拓扑和分析性质的必备工具。随后的章节致力于黎曼曲面的构造与分类，这构成了全书的核心。 第一部分：复分析基础与黎曼曲面的初步引入 我们从最基础的复数域 $mathbb{C}$ 及其上的全纯函数概念开始。重点阐述了开映射定理和恒等定理的重要性。随后，我们引入莫比乌斯变换，并将其视为黎曼球面 $hat{mathbb{C}}$ 上的基本变换群，这为理解具有有限体积的曲面提供了第一个模型。 黎曼曲面的核心概念——复结构的引入并非空穴来风，而是对复分析函数域的几何化表达。我们详细讨论了覆盖空间理论在构造黎曼曲面中的作用，特别是如何通过将 $mathbb{C}$ 上的一些等价关系进行商化，来产生具有特定拓扑结构（如环面）的曲面。对于给定的拓扑曲面 $X$，我们定义了复结构：一组相互补丁（Chart）及其上的局部坐标，使得过渡函数（Transition Maps）在复数域上保持全纯性。 第二部分：黎曼曲面的拓扑与分析性质 本部分深入探讨了黎曼曲面的拓扑不变量，特别是亏格（Genus）。我们利用欧拉示性数（Euler Characteristic） $chi(X)$ 将拓扑不变量与黎曼曲面的分析结构直接联系起来。对于紧致、连通的黎曼曲面，欧拉示性数是唯一的拓扑不变量，它决定了曲面的“洞”的数量。 关键工具微分形式和向量场在分析黎曼曲面上的性质至关重要。我们定义了全纯微分形式 $Omega^1(X)$ 的空间，这是一个有限维的复向量空间。黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）的代数版本和分析版本的铺垫从这里开始。虽然我们不会在此时立即展示最终的代数形式，但我们会通过分析除数（Divisor）的概念，建立起函数域与几何结构之间的深刻桥梁。一个函数 $f in mathbb{C}(X)$ 的零点和极点构成了其主理想因子，即主除数 $ ext{div}(f)$。黎曼-罗赫定理精确地量化了具有给定除数性质的亚纯函数和全纯微分形式的数量。 第三部分：函数域与曲线的对应 本章将讨论如何从代数角度理解这些几何对象。我们介绍了代数曲线的概念，即 $mathbb{C}[x, y]$ 中的一个不可约多项式 $F(x, y) = 0$ 所定义的集合。我们证明了函数域 $mathbb{C}(X)$ 与平面代数曲线的函数域之间存在同构关系，这标志着代数几何的诞生。 重点讨论了奇点（Singularities）的处理。代数曲线上的奇点，如尖点和交点，在黎曼曲面的视角下，会通过正规化（Normalization）过程被消除。我们展示了如何通过构建适当的覆盖空间，将奇异的代数曲线“展开”成一个光滑的黎曼曲面，从而使得后续的几何分析得以进行。 第四部分：椭圆曲线与模空间（初步接触） 作为黎曼曲面中最特殊的例子，椭圆曲线（亏格为 1 的紧致黎曼曲面）的结构被单独深入研究。椭圆曲线的加法群结构是其独特之处。我们展示了如何通过格（Lattice） $Lambda subset mathbb{C}$ 来构造标准的复环面 $mathbb{C}/Lambda$，并说明了所有亏格为 1 的黎曼曲面本质上都是同构于某个椭圆曲线的。我们引入了Weierstrass $wp$ 函数和Pezzati微分方程，展示了它们如何生成椭圆曲线上的群结构。 最后，本书对高维代数簇（代数集合）的讨论进行了展望。我们通过Blow-up 构造（黎曼曲面上的一个简单例子是 $mathbb{C}^2$ 中原点的 blow-up），展示了如何用局部结构（如环）来定义和处理更高维的几何对象，为进入更高级的代数几何课程（如 K3 曲面或 Calabi-Yau 流形）打下坚实的解析基础。 本书的特色在于其对直觉的培养和对核心概念的清晰界定。它要求读者具备扎实的复分析和拓扑学知识，并引导他们如何使用分析工具（如微分形式、积分）来揭示代数几何对象的内在结构。

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从语言风格上讲，这本书的文字风格极其凝练，充满了数学家特有的简洁美感。作者很少使用冗余的修饰词或口语化的表达，每一句话似乎都承载了精确的数学信息。这种“惜字如金”的写作方式，在需要快速获取核心信息的专业阅读中效率极高。然而，对于初学者而言，这种密度可能会带来极大的阅读疲劳。例如，一个概念的定义和其背后的核心引理可能仅用三行文字便概括完毕，如果读者对上下文不够熟悉，很容易错过作者隐藏在精炼文字下的深层含义。总而言之，它是一本需要反复咀嚼、时常停下来进行深度思考的经典著作，它要求读者不仅是知识的接收者，更是知识的建构者。

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我花了相当长的时间在研读这本书的某些核心章节，尤其是在处理局部完全化（local completion）和模空间（moduli spaces）的构建时，我深刻体会到了作者在数学严谨性上的追求。他们的论证环环相扣，逻辑链条几乎找不到任何可以被质疑的漏洞。不过，这种极度的严谨性也带来了一定的阅读挑战。对于那些更倾向于“先建立直觉，后补足证明”的学习者来说，可能需要查阅大量的辅助材料来消化每一步骤背后的几何意义。例如，在介绍奇点（singularities）的解析性质时，作者直接跳到了更高级的工具，这对于基础不够扎实的读者来说，会感觉像是在高空中行走，需要极强的专注力才能跟上节奏。可以说，这本书的目标读者群似乎更偏向于已经具备扎实复分析和代数基础的研究生或年轻学者，它更像是一部精确的手册而非入门的向导。

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我必须承认，这本书的习题设置是其最大的亮点之一，也是最令人望而生畏的地方。它们并非简单的计算或概念复述，而是真正意义上的“挑战”。很多习题设计得极其巧妙，它们要么是引导读者自行发现一个重要引理的证明路径，要么是要求将书中学到的两个看似不相关的概念进行深入的结合。举个例子，有一个关于**自同构群（automorphism group）**的练习，需要你综合运用群论、拓扑和代数几何的知识才能找到一个优雅的解法，这极大地锻炼了独立解决问题的能力。对于那些希望通过“实战”来巩固知识的学习者来说，这本书提供的训练强度是教科书级别的“魔鬼训练”。如果能认真完成大部分习题，那么对该领域的掌握程度将远超一般水平。

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这本书的封面设计得很有品味，深蓝色的背景配上简洁的白色字体，给人一种既古典又现代的感觉。翻开扉页，首先映入眼帘的是严谨的排版和清晰的字体，这让初次接触代数几何和黎曼曲面的读者也能感到一丝亲切。作者在引言部分对全书内容的宏观把握和学习路径的规划非常到位，清晰地指出了初学者可能遇到的难点和需要重点攻克的知识点。比如，他们并没有急于将读者推入抽象的代数结构中，而是巧妙地用了一些几何直观的例子来铺垫，这使得后续的理论推导看起来不那么枯燥和难以捉摸。尤其是对射影空间和基本群的介绍部分，讲解得非常细致入微，仿佛作者就在身旁耐心指导。对于那些希望系统性学习这一领域，但又苦于找不到一本既有深度又不失可读性的教材的读者来说，这无疑是一个非常好的起点。整体来看，这本书的装帧质量和内页设计都体现出了出版方对学术著作应有的尊重和用心。

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这本书的结构安排非常巧妙地平衡了代数和几何的视角。它没有固守传统的叙事方式，而是将代数曲线的**有理点**和**函数域**的性质紧密地编织在一起。我特别欣赏作者处理**韦伯方程（Weierstrass equation）**和**模空间**的章节，他们引入了诸如模函数（modular functions）和模形式（modular forms）的概念，并以一种非常“自然”的方式将其融入到黎曼曲面的分类体系中。这使得原本可能被视为分支学科的理论，在本教材中得到了有机的统一。读完这些章节后，我对更高维代数簇的理解也得到了极大的启发。这种跨越不同数学分支的综合性视角，是很多专业教材所缺乏的宝贵财富。它迫使读者跳出单一学科的框架，去思考不同数学工具之间的深层联系。

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黎曼面真是一门漂亮的学问。。

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Nice

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Very clearly written and down-to-earth. Should've read it before taking a course on schemes...

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讨论班用书。从最基础的内容到层的上同调，有非常多的例子，而且很多表述都是general的，但个人感觉编排不是很好。

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挺trivial的，应该在大三看掉的。。。值得看