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出版者:Beekman Books Inc

作者:Boris Demidovich

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1975-6-1

价格:GBP 13.72

装帧:Hardcover

isbn号码:9780846407614

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深入探索数值计算的基石与前沿 《计算方法与算法设计》 书籍导览 本书旨在为读者提供一套全面且深入的现代数值计算方法体系。我们聚焦于如何将复杂的数学问题转化为可高效、精确求解的计算过程，覆盖了从基础的误差分析到前沿的并行计算策略。本书结构严谨，逻辑清晰，力求在理论深度与工程实践之间找到完美的平衡点。 第一部分：基础理论与误差分析 本部分为后续所有高级主题奠定坚实的理论基础。我们从最基本的数值逼近问题入手，探讨了多项式插值（包括拉格朗日、牛顿形式）的收敛性与稳定性，并深入分析了分段插值（如样条插值）在处理光滑度和局部性质方面的优势。 关键在于对误差的量化和控制。我们将详细阐述截断误差与舍入误差的来源、传播机制，并引入条件数的概念来衡量问题本身的敏感性。读者将学会如何评估一个数值算法的稳定性和可靠性，理解“好问题”与“病态问题”之间的本质区别。我们不仅停留在理论定义，更会通过大量的实例演示，展示浮点运算在实际计算中如何引入不可避免的误差，以及如何通过选择合适的算法和精度来最小化这些影响。 第二部分：线性方程组的求解 线性代数是计算科学的支柱。本部分将系统地介绍求解大型稀疏和稠密线性方程组 $mathbf{Ax}=mathbf{b}$ 的核心方法。 对于直接法，我们将详尽剖析高斯消元法、LU分解、Cholesky分解（针对对称正定矩阵）的稳定性和计算复杂度。重点将放在矩阵的因子分解如何在工程应用中被重复用于不同右端项的求解。 更重要的是，鉴于现代科学计算中遇到的矩阵规模，迭代法占据了核心地位。本书将深入探讨雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代的收敛性判据。随后，我们将把精力集中在最强大的两类迭代方法：Krylov子空间方法。这包括了求解对称正定系统的共轭梯度法（CG）以及求解一般系统的双共轭梯度法（BiCGStab）和广义最小残差法（GMRES）。我们将详细推导这些算法的数学原理，分析其收敛速度，并探讨预处理技术（如代数多重网格预处理、不完全LU分解预处理）如何显著加速收敛过程，使其在万亿级别矩阵上具备实用性。 第三部分：非线性方程与优化 求解单个或多个非线性方程 $f(mathbf{x})=mathbf{0}$ 是工程和科学中的常见挑战。 对于单变量方程，我们将对比分析不动点迭代、牛顿法及其收敛速度，并重点讨论割线法和抛物线法作为牛顿法替代方案的实用性。对于多变量系统，我们将系统地介绍牛顿法、拟牛顿法（如BFGS、DFP）和信赖域法。这些方法的核心在于如何有效地求解线性化子问题，并确保全局收敛性。 优化问题是数值分析的另一大主题。本书将覆盖无约束优化，从最基础的最速下降法到更高效的牛顿类方法。对于约束优化，我们将介绍拉格朗日乘子法的基本概念，并深入探讨序列二次规划（SQP）作为求解非线性约束优化的黄金标准算法的实现细节和收敛保证。 第四部分：特征值问题的数值计算 矩阵的特征值和特征向量在量子力学、振动分析和主成分分析中扮演着至关重要的角色。 本书从定义出发，对比了直接计算法（如求特征多项式）的局限性。随后，我们将核心置于迭代方法上，包括幂迭代法和反幂迭代法（用于求解特定特征值）。对于大型对称矩阵，我们将详尽介绍Lanczos迭代和QR算法的本质。特别地，QR算法的隐含平移和双平面迭代将是重点讲解内容，它们是现代商业软件中求解特征值的基石。我们还将讨论非对称矩阵的约化方法，如Hessenberg约化，以提高后续迭代的效率。 第五部分：微分方程的数值解法 常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的数值求解是应用数学中最活跃的领域之一。 对于初值问题（IVP），我们将分析欧拉法的稳定性和区域，并过渡到更高阶的龙格-库塔方法（如RK4）。对于刚性系统，我们将详细论述隐式方法（如后向欧拉法、Crank-Nicolson方法）的必要性，并探讨它们的A-稳定性和代数求解的难度。 对于偏微分方程，本书将重点介绍有限差分法（FDM）。我们将以一维对流-扩散方程为例，构建显式和隐式差分格式，分析其稳定性和收敛性（如Von Neumann分析）。最后，我们将触及更先进的有限元方法（FEM）的基本框架，介绍形函数、刚度矩阵的构建，为读者进入更专业的PDE求解领域做好准备。 总结与展望 本书的最终目标是培养读者“算法思维”。每一个算法的介绍都伴随着对其适用范围、计算效率（大O记法）、稳定性和病态敏感度的深入分析。我们相信，通过对这些核心数值方法的精深掌握，读者将能够独立分析、设计并优化解决实际工程和科学问题的计算方案。书中的例题和案例将引导读者利用主流的计算工具（如Python/NumPy或MATLAB）实现这些算法，从而真正理解理论到实践的桥梁是如何构建的。

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坦白说，一开始我被这本书的厚度和难度吓到了，但深入阅读后，我发现它简直是为那些渴望突破“计算高手”迈向“分析大师”的读者量身定做的。这本书的叙述风格非常古典而有力，不拖泥带水，直击数学分析的核心。它没有过多花哨的图示或现代化的包装，而是回归了数学的本质——逻辑的严密性和推理的精准性。我尤其喜欢它在引入新概念时所采用的“历史的眼光”，那种追溯问题起源和解决思路的叙述方式，让人感觉自己仿佛真的在与那些伟大的数学家并肩作战。对于那些对数学史和理论基础有浓厚兴趣的读者，这本书提供的不仅仅是解题技巧，更是一种深刻的数学哲学熏陶。读完几章，你会发现自己对“为什么”的追问远比“怎么算”要重要得多。

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这本书的魅力在于它的“普适性”和“深度”。无论你是准备参加国际数学竞赛的高中生，还是在为博士资格考试做准备的研究生，你都能在这本书中找到适合自己的挑战点。我注意到，作者在很多证明中都采用了非常简洁而富有洞察力的技巧，这些技巧往往是在主流教材中被简化或略去的。例如，在处理某些关于均匀收敛性的例子时，书中所展示的方法，比我之前接触的任何其他版本都要来得更加直接和富有启发性。它不是简单地罗列公式，而是真正地在“教你思考”。如果你真的想把数学分析这门学科吃透，理解其内在的逻辑结构，而不是仅仅停留在套用公式的层面，那么这本书无疑是你书架上最值得拥有的经典之一。

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这本书的排版和装帧虽然不算得上是市面上最炫酷的那种，但却有一种沉稳、可靠的工业美感。纸张的质感非常好，墨迹清晰，即使长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。更重要的是，这本书的习题覆盖面极广，涵盖了不同难度和不同应用场景的分析问题。我发现许多其他参考书中往往一带而过的关键定理的推导，在这本书里都得到了详尽而富有洞察力的论述。例如，关于黎曼积分的收敛性讨论，作者给出的证明路径非常优雅，它巧妙地结合了拓扑学的一些初步思想，让人对积分的本质有了全新的认识。对于研究生阶段的学习者而言，这本书提供的不仅仅是知识点，更是一种面对未知问题时，如何构建完整逻辑体系的范本。

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我必须承认，这本书的难度曲线相当陡峭，它绝不是一本可以轻松翻阅的“消遣读物”。对于初学者来说，可能会感到有些吃力，甚至有些挫败感。然而，正是这种“硬核”的挑战性，造就了它无与伦比的价值。它更像是一场马拉松，需要持之以恒的毅力和对数学的热忱。我花了整整一个暑假的时间来攻克其中的核心章节，每当卡在一个难题上彻夜难眠时，那种最终豁然开朗的感觉，是任何其他轻松读物都无法给予的智力上的巅峰体验。这本书教会我的，是如何在面对复杂系统时，保持冷静并系统地拆解矛盾，这对于我未来的研究工作无疑是极其宝贵的财富。

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哇，这本《Problems in Mathematical Analysis》简直是数学爱好者的福音！我拿到书后，立刻被它那严谨的结构和海量的习题所吸引。它不仅仅是一本练习册，更像是一位耐心的导师，引导你一步步深入理解微积分的精髓。书中的例题和习题设计得非常巧妙，从基础的极限、导数、积分，到更深层次的级数、傅里叶分析，每一步都有明确的逻辑和清晰的脉络。我特别欣赏作者在处理复杂问题时的那种“庖丁解牛”般的清晰度，即便是看似棘手的题目，也能被拆解成若干个可以轻松应对的小步骤。对于那些想要夯实基础、挑战自我极限的读者来说，这本书绝对是不可多得的宝藏。它不会给你现成的答案，而是逼迫你独立思考，最终让你在解决问题的过程中获得真正的成长和满足感。

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