微分方程基础及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:时宝

出品人:

页数:219

译者:

出版时间:2007-8

价格:21.8

装帧:平装

isbn号码:9787030197993

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 数学分析
• 应用数学
• 高等数学
• 工程数学
• 数学建模
• 数值分析
• 科学计算

现代概率论与随机过程导论 作者： [此处填写作者姓名，例如：张伟、李明] 出版社： [此处填写出版社名称，例如：高等教育出版社、科学出版社] ISBN： [此处填写ISBN号码] 图书定价： [此处填写定价] --- 核心内容概述 本书旨在为读者提供现代概率论与随机过程领域全面而深入的理论基础与应用视角。内容涵盖了从测度论基础到复杂随机系统的建模与分析，尤其侧重于现代金融工程、信息科学以及物理系统中的实际应用。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保持数学严密性的同时，兼顾工程实践的可操作性。 第一部分：概率论的测度论基础 本部分构建了现代概率论的严格数学框架。我们首先回顾测度论的基本概念，包括$sigma$-代数、可测空间以及测度的一般性质。重点讲解了勒贝格积分的构建及其与黎曼积分的关系，这是理解随机变量期望定义的基石。随后，详细阐述了概率空间的定义，并引入了随机变量的严格定义及其分布函数和密度函数。本部分对依概率收敛、依分布收敛、几乎处处收敛等各种收敛概念进行了细致的辨析和证明，为后续的极限理论打下坚实基础。 第二部分：核心概率定理与大数定律 本部分聚焦于概率论中最核心的极限理论。首先，对特征函数进行了详尽的讨论，包括其定义、性质及其在确定分布、证明收敛性中的关键作用。中心极限定理（CLT）的证明是本章的重点，不仅包括经典的林德伯格-费勒（Lindeberg-Feller）版本，还引入了对更一般随机变量序列的推广。大数定律的讨论涵盖了弱大数定律和强大数定律，特别是对柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）强大数定律的深入分析，探讨了独立同分布随机变量序列的样本均值的收敛性。 第三部分：条件期望与鞅论基础 条件期望是连接概率论与时间序列分析的关键工具。本章首先从条件概率的概念出发，过渡到基于$sigma$-代数的条件期望的测度论定义，强调其在信息流更新中的作用。随后，引入鞅（Martingale）的概念，这是分析序列信息的有效工具。详细讨论了鞅、次鞅（Submartingale）和超鞅（Supermartingale）的性质，包括它们的上界估计（如Doob不等式），并探讨了鞅差序列的性质。鞅论在最优停止时间问题和金融定价中的应用将作为重点案例贯穿其中。 第四部分：随机过程——马尔可夫链 随机过程是描述随时间演变的随机现象的数学模型。本部分从离散时间的马尔可夫链（Markov Chain）入手。详细介绍了状态空间、转移概率矩阵以及高阶转移概率的计算。对马尔可夫链的平稳分布、常返性、瞬时性等概念进行了严格的定义和判别。内容深入到不可约链的遍历性定理，并探讨了有限不可约链的唯一平稳分布的存在性与计算方法。 第五部分：连续时间随机过程——泊松过程与布朗运动 本部分转向连续时间模型，特别是工程和物理学中极为重要的两种随机过程。 泊松过程（Poisson Process）： 详细分析了泊松过程的生成机制、增量独立性与平稳性。讨论了复合泊松过程及其在排队论和可靠性理论中的应用。 维纳过程/布朗运动（Wiener Process/Brownian Motion）： 引入布朗运动的定义、路径性质（如处处不可微性、二次变差）。深入探讨了伊藤积分（Itô Integral）的构造及其性质，这是分析连续时间随机微分方程的基础。 第六部分：随机微分方程（SDE）与应用 本部分是全书的高级应用篇章，重点介绍如何使用随机分析工具来建模和求解实际问题。 伊藤公式： 详细推导并应用伊藤公式，这是处理涉及布朗运动的函数随机变量变化率的核心工具。 随机微分方程（SDEs）： 介绍了基本的SDEs类型，如几何布朗运动（用于股票价格建模）和Ornstein-Uhlenbeck过程（用于利率和均值回归）。讨论了求解SDE的基本方法，如采用积分形式和变易法。 随机控制与应用实例： 结合金融数学中的Black-Scholes定价模型，展示SDE如何用于衍生品定价。此外，在信号处理中，SDE也被用于描述噪声环境下的系统动态。 --- 本书特色与读者对象 数学深度与应用广度的平衡： 本书在保证测度论和分析基础扎实的同时，并没有止步于纯粹的理论推导。每一核心定理的引入都伴随着对其实际意义的解析。例如，在讲解中心极限定理时，会强调其在统计推断和近似算法中的重要性。鞅论的引入，则为读者理解信息动态演化提供了强大的框架。 强调工具性： 本书的重点在于教授读者一套解决复杂随机问题的“工具箱”，包括特征函数的使用、鞅的性质判断、泊松过程的建模能力，以及最关键的伊藤随机微积分。这些工具在现代数据科学、量化金融、通信系统和复杂物理系统模拟中具有不可替代的地位。 清晰的结构与丰富的例题： 全书的章节划分逻辑清晰，从确定性基础到随机极限，再到动态随机过程。每节后均配有大量的精选例题和习题，部分习题具有挑战性，旨在引导学生进行深入的数学思考和模型构建。书后附有详细的参考解答（或部分解答）。 读者对象： 数学、统计学、物理学等学科的高年级本科生和研究生，作为概率论与随机过程的专业教材。 工程技术人员、计算机科学家，特别是从事信号处理、金融工程、人工智能（如强化学习中的随机性建模）等领域，需要掌握严谨随机分析工具的专业人士。 具备微积分和基础实分析知识的自学者。 本书力求成为一本兼具理论深度和实践指导意义的、面向现代科学研究与应用的前沿教材。

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我花了将近一个月的时间，利用这本书作为我深入钻研控制理论模型的辅助教材。坦白说，这本书的理论深度是相当可观的，它不像市面上一些流行的入门读物那样，仅仅停留在求解常微分方程的皮毛。作者在处理高阶线性微分方程组的解法时，引入了诸如拉普拉斯变换和特征值分析的系统性方法，并且非常详尽地推导了每一步的逻辑。特别是关于非线性系统稳定性的讨论部分，它不仅介绍了李雅普诺夫方法的基本思想，还通过多个精心挑选的工程实例，展示了如何运用这些抽象的数学工具来分析实际系统的长期行为。这本书的价值在于，它迫使读者不能满足于“会做题”，而是要去理解“为什么这样做”。

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这本书的附录部分，虽然常常被读者忽略，但在这里我发现了它的另一重惊喜。附录中收录了大量关于数值方法的介绍，特别是有限差分法在求解边值问题上的应用，作者没有仅仅停留在理论的推导上，而是给出了清晰的算法步骤和伪代码示例。这对于我后续转向计算数学领域的研究工作起到了关键性的铺垫作用。以往很多教材在数值方法部分往往敷衍了事，但此书却将其视为与解析解同等重要的组成部分来对待，体现了作者与时俱进的学术视野，也让这本书的适用范围从理论研究扩展到了工程实践的应用层面，具有很高的实用价值。

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从教学法的角度来看，这本书的结构安排堪称教科书级别的典范。它似乎是为那些已经具备一定微积分基础，但对微分方程的系统性理解尚有欠缺的学生量身定制的。每一章的开头都会有一个简短的“学习目标”列表，这极大地帮助我明确了本章的学习重点和预期掌握的技能。更值得称赞的是，章节末尾的习题设计层次分明：基础练习用来巩固基本运算，中级挑战用于检验理解深度，而最后的“研究性问题”则常常需要结合其他领域的知识进行综合运用，这有效地培养了我们的问题解决能力和跨学科思维，绝非那种只求熟练计算的题海战术可以比拟的。

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阅读这本书的过程中，我最大的感受是作者对待严谨性的执着。在引入偏微分方程的概念时，作者并没有急于展示复杂的求解技巧，而是花费了大量的篇幅去构建数学模型与物理现实之间的桥梁。例如，在讨论热传导问题时，书中不仅推导了热传导方程，还细致地解释了傅里叶定律中那个比例常数在微观层面的物理意义，这种对“源头”的追溯，极大地增强了我的学习兴趣和对这门学科的敬畏感。这本书的叙述语言非常精准，没有模棱两可之处，每一个定义和定理的表述都力求精确无误，这在面对前沿课题的研究时，提供了坚实的理论基石。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，那种略带复古的深蓝色封皮，配上烫金的书名，散发出一种沉稳而厚重的气息。初次翻阅时，我注意到它的排版非常考究，字体大小适中，行间距处理得恰到好处，即便是长时间阅读也不会感到视觉疲劳。特别是那些复杂的数学公式，它们在页面上呈现得清晰、规范，每一个希腊字母和小标点符号都仿佛经过了精心的雕琢，这对于我们这些需要反复对照公式的学习者来说，无疑是一个巨大的福音。此外，随书附赠的学习指南也颇具匠心，它并非简单地罗列章节目录，而是巧妙地将一些核心概念的几何意义和物理背景进行了简要的阐述，这种“润物细无声”的引导方式，使得学习过程变得更加富有启发性，而不是枯燥的公式堆砌。

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