Newton Methods for Nonlinear Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Peter Deuflhard

出品人:

页数:424

译者:

出版时间:2004-04-26

价格:USD 119.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540210993

丛书系列:

图书标签:

• Newton方法
• 非线性问题
• 优化算法
• 数值分析
• 迭代方法
• 数学建模
• 科学计算
• 工程应用
• 数值解
• 函数求解

《现代数值分析：理论、算法与应用》 图书简介 本书系统而深入地探讨了现代数值分析的核心理论、关键算法及其在实际工程与科学问题中的广泛应用。它旨在为高等院校数学、计算科学、工程学及物理学等专业的学生和研究人员提供一本全面、严谨且具有高度实践指导意义的参考书。本书内容覆盖了从基础概念到前沿技术，力求在理论深度与应用广度之间取得完美的平衡。 第一部分：基础理论与误差分析 本部分为后续复杂算法的理解奠定坚实的基础。 第一章：数值计算的基本概念与误差理论 本章首先介绍了数值计算在现代科学中的不可替代性，随后深入剖析了有限精度算术对计算结果的影响。重点讨论了截断误差（Truncation Error）与舍入误差（Round-off Error）的来源、量化方法以及误差传播规律。引入了条件数（Condition Number）的概念，用以衡量问题的固有敏感性，并阐述了如何通过向后误差分析（Backward Error Analysis）来评估算法的数值稳定性。详细分析了浮点数的IEEE 754标准及其在C/Fortran等主流语言中的实现机制。 第二章：线性代数方程组的求解 本章聚焦于形如 $Ax=b$ 的线性系统的数值解法。首先复习了直接法（如高斯消元法、LU分解、Cholesky分解）的原理、计算复杂度和稳定性。随后，详细阐述了迭代法，包括雅可比（Jacobi）、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）以及超松弛迭代法（SOR）。特别关注了对称正定系统中的共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）的推导过程、收敛性证明及其预处理技术的应用，如不完全LU分解（ILU）和不完全Cholesky分解（IC）。 第二部分：插值、逼近与积分 本部分着重于利用已知数据点构造函数近似以及数值积分技术。 第三章：函数插值与数据拟合 本章系统介绍了插值理论。从基础的拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）和牛顿有限差分法出发，分析了其局限性。随后重点介绍了分段插值，特别是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）的构造原理，证明了其二阶导数的连续性及其在平滑拟合中的优势。同时，本章也涵盖了最小二乘拟合（Least Squares Fitting），包括多项式拟合和线性加性模型拟合，并探讨了病态数据对拟合结果的影响。 第四章：数值微分与积分 本章首先讨论了基于泰勒展开的数值微分公式的推导，包括前向、后向和中心差分公式，并分析了它们的误差阶。随后，核心内容转移到数值积分（Quadrature），从基础的梯形法则（Trapezoidal Rule）和辛普森法则（Simpson's Rule）入手，推广到复合积分公式。重点讲解了高斯求积（Gaussian Quadrature）的理论基础——正交多项式，阐述了其超收敛性及其在精确积分区间的优越性能。 第三部分：常微分方程的数值解法 本部分是工程和物理模拟的基石，详细介绍了求解常微分方程（ODE）的数值方法。 第五章：单步法与稳定性分析 本章针对初值问题 $frac{dy}{dt} = f(t, y)$ 展开。首先介绍了欧拉方法（Euler's Method）的正向、后向形式，并分析了其局部截断误差和全局误差。随后，系统阐述了龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法，特别是二阶和四阶RK方法的具体步骤。重点讨论了局部截数范围（Local Truncation Error）和绝对稳定性域（Region of Absolute Stability）的概念，这是判断方法能否应用于刚性（Stiff）问题的前提。 第六章：多步法与刚性方程组 本章引入了利用多个历史信息点来预测当前值的多步法。详细介绍了Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）公式的构造与收敛性。进一步深入探讨了刚性微分方程组（Stiff ODEs）的特性及其对显式方法造成的计算困难。引入了向后差分公式（BDF）和隐式欧拉法作为求解刚性问题的有效工具，并讨论了在每一步迭代中求解代数方程组的数值策略。 第四部分：特征值问题的数值解法 本部分关注矩阵的固有特性——特征值和特征向量的计算。 第七章：矩阵特征值问题的直接法 本章探讨了计算大型稀疏矩阵特征值的有效策略。首先回顾了幂迭代法（Power Iteration）及其局限性（如无法找到最小特征值）。随后，重点阐述了将一般的对称矩阵转化为对角化矩阵（通过Householder变换）或三对角矩阵（通过Givens旋转）的相似变换方法。详细介绍了QR算法的迭代过程，包括QR分解如何逐步收敛到Schur形式，从而提取特征值。 第八章：大规模稀疏特征值问题的迭代法 针对超大型稀疏矩阵，直接法计算成本过高。本章聚焦于基于投影的方法。详细介绍了Lanczos迭代法在对称矩阵上的应用，该方法通过构造三对角矩阵来近似原问题。对于非对称矩阵，则介绍了Arnoldi迭代法及其在构建Hessenberg矩阵中的应用。最后，讨论了子空间迭代法和瑞利商预处理在加速特征值收敛中的作用。 第五部分：非线性方程组的数值求解 本部分回归到超越方程和方程组的求解，是工程优化和系统辨识的核心工具。 第九章：单变量非线性方程的求解 本章系统介绍了求解 $f(x)=0$ 的方法。从基于区间收敛的二分法（Bisection Method）开始，到要求导数的牛顿法（分析其二次收敛性）。随后，重点介绍了割线法（Secant Method）和假位法（Regula Falsi）作为牛顿法的替代方案。深入分析了全局收敛性，并探讨了阻尼牛顿法在处理病态函数时的鲁棒性增强策略。 第十章：多维非线性方程组的求解 本章扩展至求解 $mathbf{F}(mathbf{x}) = mathbf{0}$。核心在于多维牛顿法，详细推导了雅可比矩阵（Jacobian Matrix）的构建和利用线性系统求解器（如CG或稀疏LU）求解牛顿步长。着重分析了大规模稀疏非线性系统的迭代策略，包括准牛顿法（Quasi-Newton Methods），如BFGS和Broyden方法，它们通过近似雅可比矩阵的逆来避免昂贵的矩阵求逆操作。本章还讨论了信赖域方法（Trust-Region Methods）在确保全局收敛性中的关键作用。 总结 全书结构严谨，覆盖了现代数值分析的主要分支。每个算法都配有详细的数学推导、清晰的收敛性分析以及对计算复杂度和稳定性的深入探讨。书中穿插了大量的算例和应用背景介绍，旨在培养读者利用理论知识解决实际问题的能力。本书不仅适用于课堂教学，更是从事计算科学领域研究工作的专业人士案头必备的工具书。

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这本书的实用性体现在它对“失败案例”的剖析上。很多教科书总是展示算法如何完美工作，但这本书却花了相当的篇幅去探讨：当你的雅可比矩阵病态（ill-conditioned）时会发生什么？当函数值在迭代过程中发散时，你该如何“诊断”问题出在哪里？作者提供了一套非常实用的调试清单和排查思路，这对于那些试图将理论应用于真实世界复杂、往往不那么“听话”的数据集的研究人员来说，是无价之宝。举个例子，它详细分析了有限差分逼近梯度时步长选择的敏感性，并给出了基于相对误差控制的建议步长范围。这种细节上的关注，体现了作者深厚的实践经验。它不仅仅是告诉你“怎么做”，更是在教你“为什么这样做会出错”以及“如何避免出错”，这种教学理念非常成熟和人性化。

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我最近在进行一项关于复杂系统建模的工作，手头正好缺一本能系统梳理和对比主流数值求解算法的参考书。这本书的广度和深度给我留下了非常深刻的印象。它不仅仅停留在牛顿法本身，而是非常深入地探讨了各种变体，比如拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）的实现细节，包括BFGS和DFP算法的推导过程，这一点我非常欣赏。很多同类书籍往往只是蜻蜓点水地提一下，但这里却是详尽地给出了每一步矩阵更新的理由和实际应用中的注意事项。更让我惊喜的是，它对全局收敛性策略的讨论非常到位，不像有些理论书籍只关注局部收敛，这本书花了大量篇幅讲解如何通过线搜索（Line Search）技术，比如Armijo条件或者Wolfe条件，来保证算法在更广泛的初始点附近也能稳定工作。这种将理论推导与实际工程鲁棒性紧密结合的处理方式，极大地提升了这本书作为工具书的价值。我感觉它更像是一个资深顾问，而不仅仅是一个知识的搬运工。

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我从一个侧面评价这本书的价值：它成功地将一个看似单一的数学主题——牛顿迭代，拓展成了一整个数值优化方法论的景观。它不是一本快速入门指南，而是像一本“方法论辞典”，每一个章节都可以单独拿出来进行深入研读。例如，关于信赖域（Trust Region）方法的介绍，不仅涵盖了经典模型，还探讨了在计算量受限时如何动态调整区域大小的启发式算法。这本书的行文风格非常冷静、客观，极少使用夸张的修辞，但其严谨的逻辑链条本身就构成了强大的说服力。它要求读者投入时间去理解每一个数学符号背后的物理意义或几何直觉，一旦跨越了最初的理解门槛，你会发现自己对整个非线性方程求解领域都有了一个全新的、更加结构化的认识。这本书无疑会成为我书架上被频繁翻阅的参考工具之一。

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这本书的装帧设计确实挺有意思，封面选用的那种深蓝色调，配上简洁的几何字体，给人一种既专业又略带复古的感觉。拿到手里掂量了一下，纸张的质感相当不错，印刷清晰，排版也很有条理，这对于一本需要长时间阅读和查阅的专业书籍来说，是至关重要的。我特别注意到，作者在章节的开头似乎加入了一些简短的“思考题”或者“历史背景”的引言，这让原本可能枯燥的数学概念显得生动了一些。它不像很多教材那样只是冷冰冰地罗列公式，而是试图构建一个知识的脉络，让你明白为什么需要发展出某一种特定的数值迭代方法。比如，在讨论到收敛性分析的部分，作者用了大量的图示辅助理解，这些图示的设计非常巧妙，清晰地展示了不同参数下迭代路径的差异，这一点对于我这种更依赖视觉学习的人来说，简直是福音。不过，话说回来，虽然排版和设计上力求友好，但内容的深度显然是为有一定数学基础的读者准备的，那些基础概念的铺垫相对较少，估计初学者上手需要更高的专注度。整体来看，这本书在“阅读体验”这个维度上，是下了不少功夫的。

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坦白说，这本书的阅读过程充满挑战，但收获也颇丰。它对算法收敛速度的分析部分，尤其是涉及高阶导数连续性的假设，写得极其严谨。作者没有回避数学证明的复杂性，而是采取了一种逐步深入的方式，先给出直观的解释，随后是严密的定理阐述，最后辅以反例来界定理论的边界。我个人特别关注非光滑优化问题，而这本书中关于次梯度（Subgradient）方法的介绍，虽然篇幅相对较短，但它精准地指出了这些方法在处理非凸、非光滑函数时的固有局限性，以及何时应该转向更现代的正则化技术。这让我对现有工具的适用范围有了更清醒的认识。唯一让我感到略有遗憾的是，在涉及并行计算或GPU加速求解大型稀疏系统时，书中的案例多倾向于传统的串行实现，对于紧跟当前高性能计算潮流的读者来说，可能需要额外查阅其他资料来弥补这方面的应用视角。

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