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出版者:

作者:蔡泰信等

出品人:

页数:505

译者:

出版时间:2007-6

价格:40.10元

装帧:

isbn号码:9787040212693

丛书系列:

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好的，这是一本关于《应用数学基础》的图书简介，内容详实，旨在服务于工程、物理及信息科学等领域对数学工具深度应用有需求的读者。 --- 图书名称：《应用数学基础：面向工程与科学计算的原理与实践》 导言：跨越理论与应用的桥梁 在当代科学研究和高新技术开发中，数学已不再仅仅是抽象的概念集合，而是解决复杂工程问题的核心语言和工具。本书《应用数学基础：面向工程与科学计算的原理与实践》正是为架设理论严谨性与实际操作性之间的桥梁而设计。本书的编写目标群体主要面向理工科高年级本科生、研究生，以及在科研机构和工业界工作的工程师和研究人员。我们深知，对于这些读者而言，掌握数学工具的“为什么”与“如何用”同等重要。 本书的结构安排遵循循序渐进、学以致用的原则，从坚实的数学基础出发，逐步深入到现代科学计算中最常用、最核心的分析技术。我们力求在保证数学推导严密性的同时，通过丰富的工程实例和计算案例，展示这些理论在解决实际问题中的强大威力。 第一部分：线性代数与矩阵分析的现代视角 线性代数是理解多维空间、数据结构和系统建模的基石。本部分彻底革新了传统的线性代数教学模式，聚焦于其在数值计算和信息科学中的实际应用。 第一章：向量空间与线性变换的几何化理解 本章首先构建了抽象向量空间的严谨框架，但重点立刻转向欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的几何直觉培养。我们将详细探讨内积、范数、正交性在信号处理和最小二乘问题中的核心作用。特设一节讨论矩阵的四种基本子空间的几何意义，并结合投影定理阐述它们在数据降维和求解欠定/超定系统中的决定性作用。 第二章：矩阵分解：现代计算的支柱 我们不再将特征值问题视为孤立的计算任务，而是将其融入到更宏大的矩阵分解框架中。重点剖析LU分解、Cholesky分解（针对对称正定系统）的稳定性与效率；深入讲解QR分解在最小二乘问题求解中的优越性及其与平面旋转的关系；最后，花费大量篇幅系统介绍奇异值分解（SVD）。SVD不仅被视为理解矩阵秩、伪逆和数据压缩的终极工具，更被应用于图像处理中的主成分分析（PCA）和推荐系统的前置知识铺垫。 第三章：迭代法与大规模线性系统的求解 面对现实世界中动辄百万维的稀疏矩阵系统，直接求解法（如高斯消元）往往不切实际。本章聚焦于迭代求解器。详细介绍经典方法如雅可比法、高斯-赛德尔法，并着重分析其收敛性条件。随后，重点阐述现代高效方法，包括Krylov子空间方法的基础（如CG法、GMRES），以及预处理技术（Preconditioning）如何显著加速收敛，使其成为高性能计算（HPC）中的关键技术。 第二部分：实分析与优化理论的工程化应用 本部分将读者从离散的线性世界带入连续的函数空间，探讨函数逼近、微分的精确性以及系统性能的极值点寻找。 第四章：函数空间与傅里叶分析的计算基础 本章从Lp空间的概念入手，强调积分和求和的连续性极限。核心内容聚焦于傅里叶级数与傅里叶变换在周期信号分析中的应用，并扩展至离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法——FFT的实现原理与计算复杂度分析。我们使用实例展示傅里叶方法在滤波、频谱分析以及数字通信中的不可替代性。 第五章：数值微分与积分的高效策略 本章旨在提供可靠的数值近似方法。在微分方面，系统介绍有限差分法（前向、后向、中心差分）的精度分析，并探讨如何利用高阶差分公式提高精度。在积分方面，详细论述牛顿-科特斯公式（梯形法则、辛普森法则）和高斯求积法，强调高斯求积在处理光滑函数时的卓越性能。每一方法都伴随严格的截断误差分析。 第六章：无约束优化：寻找系统的最佳配置 优化是工程设计和机器学习的核心驱动力。本章深入探讨无约束优化问题。从最基础的梯度下降法及其学习率选择策略开始，系统性地介绍牛顿法和拟牛顿法（BFGS, DFP）。我们强调 Hessian 矩阵的计算挑战，以及如何通过秩一或秩二修正来构建高效的近似方法。本章还专门讨论了线搜索（Line Search）技术和信赖域方法（Trust Region Methods）的原理，确保读者理解如何保证优化过程的全局收敛性。 第三部分：常微分方程的数值求解与动力学建模 本部分是连接纯数学与物理世界动态过程的关键环节，侧重于如何用计算机模拟随时间演化的系统。 第七章：常微分方程（ODE）的单步与多步法 本章专注于一阶常微分方程的数值求解。详细分析欧拉法（前向、后向）的稳定性和收敛性，并引入更精确的龙格-库塔（Runge-Kutta）方法，特别是经典的RK4方法的推导与应用。对于涉及时间步长选择的动力学系统，本章引入了局部截断误差的概念，并以此为基础讲解步长自动控制策略。 第八章：刚性方程与高阶系统的处理 许多实际物理系统（如电路、化学反应或结构动力学）的ODE系统具有“刚性”（Stiffness）。本章专门应对这一挑战，介绍隐式方法（如隐式欧拉法）的稳定区间，并阐述向后微分公式（BDF）在求解非线性刚性系统中的重要性。此外，对于二阶动力学方程，我们将讨论如何使用辛积分器（Symplectic Integrators）来更好地保持哈密顿系统的长期保守性，这在分子动力学模拟中至关重要。 结语：计算思维的培养 本书的最终目标是培养读者的“计算思维”。这意味着不仅要理解一个公式或算法的数学原理，更要能够评估其在特定计算环境（如内存限制、浮点精度、并行架构）下的性能和局限性。全书贯穿了对数值稳定性和误差传播的持续讨论，确保读者能够构建出既准确又鲁棒的科学模型。通过大量的理论阐述和配套的计算实例（使用如MATLAB/Python等工具的伪代码演示），我们相信本书将成为读者深入探索现代工程计算领域的必备参考手册。

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我是一位已经工作多年的工程师，重拾这些基础理论，更多是为了弥补当年学习时的知识漏洞，而不是为了应付考试。因此，我更关注的是这些经典理论在现代工程分析中的应用潜力。这本书在介绍完基础理论后，似乎总能不经意间点出其在实际工程、航天动力学或者精密仪器设计中的潜在联系。它没有将理论与实践割裂开来，而是将力学原理视为一种普适的、解决实际问题的强大工具。例如，在讨论刚体运动时，书中对欧拉角和四元数的讲解，不仅限于数学推导，还隐晦地提示了它们在三维姿态控制中的实际应用价值。这种“面向未来应用”的讲解视角，极大地激发了我作为专业人士的兴趣，让我觉得我所阅读的不仅仅是历史悠久的物理学，而是未来工程的基础。

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对于自学爱好者来说，一本好的教材必须具备极强的自洽性，即“你不需要依赖其他任何资料就能独立学习”。这本书在这方面做得相当出色。每一个定理的引入，几乎都有完整的上下文铺垫，从公理性的假设到推导的每一步，都交代得非常清楚，很少出现“显而易见”或者“读者应自行证明”这种令人抓狂的跳跃。我尤其欣赏它在章节末尾设置的那些“思考题”和“拓展阅读”部分。思考题往往不是直接套公式的计算题，而是需要综合运用多个章节知识进行的小型证明或物理情景分析，真正考验了对原理的掌握程度。而拓展阅读则提供了更广阔的视野，引导读者去了解这些理论在现代物理学中的后续发展，这种对学习者全程负责的态度，让人非常信赖。

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这本书的语言风格，简直是学术写作中的一股清流。我读过太多教科书，它们要么过于晦涩艰深，充满了只有行家才能理解的“黑话”；要么就是为了降低门槛，牺牲了严谨性，导致概念模糊不清。但这本读物却奇妙地找到了一个平衡点。它的用词精准、逻辑严密，但同时又保持着一种近乎散文般的流畅感。尤其是在解释一些抽象的力学概念，比如虚功原理或者最小作用量原理时，作者会巧妙地嵌入一些非常生活化、却又恰如其分的类比。这使得原本需要耗费大量时间去消化的概念，变得触手可及。这种行文上的功力，绝非一般作者所能企及，它体现出作者不仅对理论有深刻的理解，更拥有将复杂知识清晰传达出来的非凡能力，极大地提升了阅读的效率和乐趣。

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我最近在为研究生入学考试复习，手边翻过好几本参考书，但说实话，能真正抓住核心脉络的并不多。这本书在处理像拉格朗日方程、哈密顿正则方程这类核心内容时，展现出一种极其精妙的层次感。作者并没有急于抛出复杂的数学形式，而是通过一系列由浅入深的物理直觉引导，先让你理解“为什么需要”这种新的描述体系，然后再逐步引入数学工具。这种教学路径非常符合人类的学习规律，它不是冷冰冰的公式堆砌，更像是与一位经验丰富、善于引导的导师进行对话。读到关于约束力的分析时，那种豁然开朗的感觉，比单纯记住几个定理要深刻得多。它教的不仅仅是解题方法，更是一种系统性的物理思维方式，让人在面对新问题时，能够迅速定位到问题的本质，这对于我们这些需要进行理论研究的人来说，价值无可估量。

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这本书的排版真是让人眼前一亮。那种沉稳的墨绿色和米白色的搭配，让人感觉既专业又带着一丝复古的韵味。装帧的工艺也相当扎实，拿在手里有一种久经考验的厚重感，绝不是那种轻飘飘的应付之作。特别是内页的纸张选择，细腻而不反光，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到明显的疲劳。这种对细节的把控，足以看出出版方在制作这本书时所倾注的心力。我特意翻阅了其中的一些图示部分，那些复杂的物理模型和矢量分解图，线条勾勒得清晰而精准，即便是初学者，也能凭借这些视觉辅助迅速建立起空间想象。比起市面上那些印刷粗糙、图文混杂的教材，这本书的视觉体验简直是一种享受，让人更愿意沉下心来，去探索那些深奥的理论。这种对阅读体验的尊重，是很多学术类书籍所缺乏的，也使得这本书在众多同类读物中脱颖而出，成为案头常备的佳作。

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